ゼータ函数正規化のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]や[[理論物理学]]において、 '''[[リーマンゼータ函数|ゼータ函数]]正規化'''({{lang-en-short|Zeta function regularization}}) とは、物理学での{{仮リンク|正則化 (物理学)|en|regularization (physics)|label=正則化}}や、[[発散級数]]と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させ、特に、自己[[随伴作用素]]の行列式やトレースを定義することに使うことができる．現在は物理学の中の問題に適用することが行われているが、元来は、[[数論]]におけるうまく定義できない和について、実際の意味を与えようとすることに原点がある．なお、物理学では「正規化」ではなく「正則化」と呼ぶが、この記事中では物理学に関する記述でも「正規化」で統一する。また、「自己随伴作用素」という用語を使用した。通常は「自己共役作用素」と呼ぶが、問題の作用素は共役だけでなく転置共役を意味する「自己随伴作用素」という用語を使用した。
<!---In [[mathematics]] and [[theoretical physics]], '''[[Riemann zeta function|zeta function]] regularization''' is a type of [[regularization (physics)|regularization]] or [[summability method]] that assigns finite values to [[Divergent series|divergent sums]] or products, and in particular can be used to define determinants and traces of some [[self-adjoint operator]]s. The technique is now commonly applied to problems in physics, but has its origins in attempts to give precise meanings to ill-conditioned sums appearing in [[number theory]].-->

==定義==

発散する可能性を持つ級数 a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + .... の和を定義するのに、ゼータ函数正規化と呼ばれる和を取る方法がいくつかある。

一つの方法として、（無限級数の）ゼータ正規化された和を、ζ<sub>A</sub>(&minus;1) が定義できるならばその値で定義する．ここで、ゼータ函数は、Re(s) が大きな数に対して次の和が収束するならばその値で定義し、そうでない（発散する）場合は[[解析接続]]することで定義する。
:<math> \zeta_A(s) = \frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s} +\cdots.</math>
a<sub>n</sub> = n の場合には、このゼータ函数は通常の[[リーマンゼータ函数]]となり、この方法はオイラーによって級数 [[1+2+3+4+…]] の｢和｣を ζ(&minus;1) = &minus;1/12 として求めることに使われた。他の s の値に対しても、発散する和を ζ(0)=[[1 + 1 + 1 + 1 + ...]] = -1/2, ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0 と計算でき、一般的な場合は、B<sub>k</sub> を[[ベルヌーイ数]](Bernoulli number)として、
:<math>\zeta(-s)=\sum_{n=1}^\infty n^s=1^s + 2^s + 3^s + \ldots = -\frac{B_{s+1}}{s+1}</math>
と表すことができる<ref>{{cite web|url=http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ |title=The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation|first=Terence|last=Tao |date=10 April, 2010 |accessdate=2014-02-07}}</ref>。

{{harvtxt|Hawking|1977}} は平坦な空間の場合には、その場合は[[ラプラシアン]]の[[固有値]]が知られている場合が多いが、[[分配函数]]に対応する[[ゼータ函数 (作用素)|ゼータ函数]]が明確に計算できることを示した。温度 T=β<sup>-1</sup> の平坦な時空で体積 V を持つ大きな箱の中のスカラー場 φ を考える。分配函数は、箱の端ではゼロとなり、τ について周期 β である、τ=it という変換をして得られるユークリッド空間の上のすべての場 φ を渡る[[経路積分]]によって得られる。この状況下では、彼は分配函数から場 φ の輻射のエネルギー、エントロピーと圧力を計算した。平坦な空間の場合は、物理量に現れる固有値が一般には知られているが、一方、曲がった空間ではいつも一般的に知られているとは限らない．従って、漸近的な方法が（問題を解くために）必要である。

別な方法としては、発散する可能性のある無限積 a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>.... を、<math>\exp(-\zeta'_A(0))</math> として定義する方法がある。{{harvtxt|Ray|Singer|1971}} ではこの方法を使い、正の値を[[固有値]] a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...., として持つ自己[[随伴作用素]]の[[行列式]]を定義することに使われた。（これの[[リーマン多様体]]への応用としては[[ラプラス作用素|ラプラシアン]]となる。）また、この場合にはゼータ函数は、形式的に A<sup>&minus;s</sup> のトレースとなる。{{harvtxt|Minakshisundaram|Pleijel|1949}} は、もし A がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンであれば、ここで定義したゼータ函数である[[ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数]]は収束し、全複素平面へ有理型函数として解析接続されることを示した。セーレイ {{harvtxt|Seeley|1967}} はこの事実をコンパクトリーマン多様体上の A の[[楕円型作用素|楕円型微分作用素]]へ拡張した。従って、そのような作用素に対しゼータ函数正規化を使い、行列式を定義することができる。[[解析的トーション]]を参照。

{{harvtxt|Hawking|1977}} はこのアイデアを使い、曲がった時空での経路積分を評価できることを示唆した。彼がゼータ函数を研究したのは、逆[[メリン変換]]を使い、曲がった時空であるブラックホールの地平線上やドジッター時空という背景場での熱力学的な重力や量子化された物質の分配函数を、[[熱方程式]]の核のトレースへ関係させることで計算するためであった。
<!---==Definition==

There are several different summation methods called zeta function regularization for defining the sum of a possibly divergent series ''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub> + .... 

One method is to define its zeta regularized sum to be ζ<sub>''A''</sub>(&minus;1) if this is defined, where the zeta function is defined for Re(''s'') large by
:<math> \zeta_A(s) = \frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s} +\cdots</math>
if this sum converges, and by [[analytic continuation]] elsewhere. In the case when ''a''<sub>''n''</sub> = ''n'' the zeta function is the ordinary [[Riemann zeta function]], and this method was used by Euler to "sum" the series [[1 + 2 + 3 + 4 + ...]] to ζ(&minus;1) = &minus;1/12. Other values of ''s'' can also be used to assign values for the divergent sums ζ(0)=[[1 + 1 + 1 + 1 + ...]] = -1/2, ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0 and in general <math>\zeta(-s)=\sum_{n=1}^\infty n^s=1^s + 2^s + 3^s + \ldots = -\frac{B_{s+1}}{s+1}</math>, where ''B''<sub>k</sub> is a [[Bernoulli number]].<ref>{{cite web|url=http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/|title=The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation|first=Terence|last=Tao|date=10 April, 2010}}</ref>

{{harvtxt|Hawking|1977}} showed that in flat space, in which the eigenvalues of Laplacians are known, the [[zeta function (operator)|zeta function]] corresponding to the [[partition function (quantum field theory)|partition function]] can be computed explicitly. Consider a scalar field ''φ'' contained in a large box of volume ''V'' in flat spacetime at the temperature ''T=β<sup>-1</sup>''. The partition function is defined by a [[path integral formulation|path integral]] over all fields ''φ'' on the Euclidean space obtained by putting ''τ=it'' which are zero on the walls of the box and which are periodic in ''τ'' with period ''β''. In this situation from the partition function he computes energy, entropy and pressure of the radiation of the field ''φ''. In case of flat spaces the eigenvalues appearing in the physical quantities are generally known, while in case of curved space they are  not known: in this case asymptotic methods are needed.

Another method defines the possibly divergent infinite product ''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>.... to be  exp(&minus;ζ&prime;<sub>''A''</sub>(0)). {{harvtxt|Ray|Singer|1971}} used this to define the [[determinant]] of a positive [[self-adjoint operator]] ''A'' (the [[Laplacian operator|Laplacian]] of a [[Riemannian manifold]] in their application) with [[eigenvalue]]s ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...., and in this case the zeta function is formally the trace of ''A''<sup>&minus;''s''</sup>. {{harvtxt|Minakshisundaram|Pleijel|1949}} showed that if ''A'' is the Laplacian of a compact Riemannian manifold then the [[Minakshisundaram–Pleijel zeta function]]  converges and has an analytic continuation as a meromorphic function to all complex numbers, and {{harvtxt|Seeley|1967}} extended this to [[Elliptic_differential_operator|elliptic pseudo-differential operator]]s ''A'' on compact Riemannian manifolds. So for such operators one can define the determinant using zeta function regularization. See "[[analytic torsion]]."

{{harvtxt|Hawking|1977}} suggested using this idea to evaluate path integrals in curved spacetimes. He studied zeta function regularization in order to calculate the partition functions for thermal graviton and matter's quanta in curved background such as on the horizon of black holes and on de Sitter background using the relation by the inverse [[Mellin transform|Mellin transformation]] to the trace of the kernel of [[heat equation]]s.-->

==例==

ゼータ函数正規化が有効な最初の例は、[[カシミール効果]]に現れる。カシミール効果は、3次元の空間の中の量子場のバルクの寄与を持つ平坦な空間である．この場合には[[リーマンゼータ函数]]の -3 での値を計算せねばならない。-3 での値は明らかに発散する。しかし、s = -3 は極ではないと期待されるが、s = -3 まで[[解析接続]]することにより、有限な値が得られる。この正規化の詳細な例は、[[カシミール効果|ゼータ正規化によるカシミール効果の導出]]に詳細な記事があり、そこで結果として出てくる和が明らかに[[リーマンゼータ函数]]となっている。（そして、解析接続は出てきた無限を取り去り、物理的に意味のある有限な値を導く）

ゼータ函数正規化の別の例は、[[場の量子論]]での粒子の場の[[エネルギー]]の[[真空期待値]]の計算である。より一般的には、ゼータ函数のアプローチは、曲がった時空での全体の[[エネルギー・運動量テンソル]]を正規化することに使われる。{{ref|Mo97}} {{ref|BCEMZ}}

エネルギーの正規化していない値は、次の式のように真空の励起の全てのモードの[[零点振動|ゼロ点エネルギー]]を渡る和を取ることで得られる：

:<math>\langle 0|T_{00} |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2}</math>

ここに、<math>T_{00}</math> はエネルギー運動量テンソルの第ゼロ成分で、和（積分かもしれないが）は、全て（正と負の）エネルギーモード <math>\omega_n</math> を渡っているものと解釈する；ここの絶対値はエネルギーは正の値のみとることを想起させる．上記のように書かれた和は普通は無限大となる（<math>\omega_n</math> は典型的には ''n'' について線型）．和は次のように書くことで物理学の{{仮リンク|正規化 (物理学)|label=正規化|en|regularization (physics)}}とできる。

:<math>\langle 0|T_{00}(s) |0\rangle =
\sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2} |\omega_n|^{-s}</math>

ここで s は複素数のパラメータで、（3次元の場合には）4より大きな実数 s に対し、和は明らかに有限で、しばしば理論的に評価できる．

ゼータ正規化は、物理系の様々な対称性が保存される場合に使うことができるので、有益である．[[カシミール効果]]に加えて、ゼータ函数正規化は、[[共形場理論]]や[[繰り込み]]や[[弦理論]]の臨界時空次元を固定するときに使われる。

==他の正規化との関係==

ファインマン図に起源を持つ{{仮リンク|次元正規化|en|dimensional regularization}}との関係はあるのだろうかという疑問も沸く。しかしこれらは互いに同値ということができる。( {{ref|BCEMZ}}参照 ）しかし、ゼータ正規化の最も有利な点は、次元正規化がうまく行かないときでも使うことができることである。例えば、行列やテンソルが <math> \epsilon _{i,j,k} </math> の中にある場合でもゼータ正規化が使用することが可能であることである。

<!---We can ask if are there any relation to the [[dimensional regularization]] originated by the Feynman diagram. But now we may say they are equivalent each other. ( see {{ref|BCEMZ}}.) However the main advantage of the zeta regularization is that it can be used whenever the dimensional regularization fails , for example if there are matrices or tensors inside the calculations <math> \epsilon _{i,j,k} </math>-->

==ディリクレ級数との関係==

ゼータ函数正規化は、[[数論的函数]] f(n) の任意の和の素晴らしい解析構造を与える。そのような和は、[[ディリクレ級数]]として知られている。正規化された形

:<math>\tilde{f}(s) = \sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s}</math>

は、発散する和を複素 s-平面上の[[一位の極]]へ変換する。数値計算では、ゼータ函数正規化は収束が極めて遅いので不適当である。数値計算のためのより急速に収束する和が指数正規化であり、これは、

:<math>F(t)=\sum_{n=1}^\infty f(n) e^{-tn}.</math>

で与えられる．この形を f の[[Z変換]]ということもある。ここに z&nbsp;=&nbsp;exp(&minus;t) である。指数正規化とゼータ正規化の解析構造は関連していて、指数和を[[ローラン級数]]として展開して

:<math>F(t)=\frac{a_N}{t^N} + \frac{a_{N-1}}{t^{N-1}} + \cdots</math>

とすると、ゼータ級数は次の構造を持つことが分かる。

:<math>\tilde{f}(s) = \frac{a_N}{s-N} + \cdots. \, </math>

指数正規化とゼータ正規化は、[[メリン変換]]で関連付けられている。[[ガンマ函数]]の積分表示

:<math>\Gamma(s+1)=\int_0^\infty x^s e^{-x} \, dx</math>

を使い、それらを相互に変換することができる．この式は等式

:<math>\Gamma(s+1) \tilde{f}(s+1) = \int_0^\infty t^s F(t) \, dt</math>

を導き、指数正規化とゼータ正規化を関連付け、s-平面の極をローラン級数の発散する項へ変換する。

==熱核正規化==

:<math>f(s)=\sum_n a_n e^{-s|\omega_n|}</math>

この和は、'''熱核'''正規化、もしくは'''熱核で正規化された和'''と呼ばれることがあり、名前は <math>\omega_n</math> が[[熱核]]の固有値と考えられることがあることに由来している。数学的には、そのような和は一般化された[[ディリクレ級数]]と呼ばれ、平均を取ることにそれを使うことをは[[発散級数#アーベル平均|アーベル平均]] と呼ばれる。これは[[ラプラス＝スティルチェス変換]]と密接に関連していて、次のように表される。

:<math>f(s)=\int_0^\infty e^{-st} \, d\alpha(t)</math>

ここに、<math>\alpha(t)</math> は[[階段関数|ステップ函数]]で、このステップとは <math>t=|\omega_n|</math> で <math>a_n</math> ジャンプする函数を意味する。そのような級数の収束についての定理は多く存在し、例えば、ハーディ-リトルウッドのタウバー型定理がある。彼らによれば、{{ref|Apostol}}

:<math>L=\limsup_{n\to\infty} \frac{\log\vert\sum_{k=1}^n a_k\vert}{|\omega_n|}</math>

とおくと、<math>f(s)</math> の級数は半平面 <math>\Re(s)>L</math> で収束し、半平面 <math>\Re(s)>L</math> の任意の[[コンパクト空間|コンパクト部分集合]]の上で[[一様収束]]する。物理への応用のほとんどで、<math>L=0</math> となっている。

==歴史==
熱核正規化の方法とゼータ函数正規化の方法の収束性と同値性を確立する初期の仕事の多くは、1916年に[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド]]{{ref|Hard16}} により成し遂げられ、彼らの仕事は[[メリン変換#カヘン-メリン積分|カヘン-メリン積分]]への応用に基礎を持っていた。この効果は様々なうまく定義できない値、[[数論]]に現れる[[条件収束]]和を求める目的でなされた。

物理的な問題への正規化の応用としては、{{harvtxt|Hawking|1977}}よりも前に、J. Stuart Dowker と Raymond Critchley は1976年に量子物理の問題に対するゼータ函数正規化の方法を提案していた。{{ref|Do76}}　エミリオ・エリザルデ(Emilio Elizalde)たちは、積分 <math> \int_{a}^{\infty}x^{m-s}dx </math> のゼータ正規化を基礎とする方法を提案した。ここに <math> x^{-s} </math> はレギュレータで、発散する積分は、極限 <math> s \to 0 </math> での数値 <math> \zeta (s-m) </math> に依存する。[[繰り込み]]の記事を参照のこと。{{仮リンク|次元正規化|en|dimensional regularization}}(dimensional regularization)や解析的正規化のようなほかの正規化とは異なり、ゼータ函数正規化は
（キャンセルするための)反対項を持たなく、有限の結果のみを与える。

<!---Much of the early work establishing the convergence and equivalence of series regularized with the heat kernel and zeta function regularization methods was done by [[G.H. Hardy]] and [[J. E. Littlewood]] in 1916{{ref|Hard16}} and is based on the application of the [[Cahen–Mellin integral]]. The effort was made in order to obtain values for various ill-defined, [[conditionally convergent]] sums appearing in [[number theory]].

In terms of application as the regulator in physical problems, before {{harvtxt|Hawking|1977}}, J. Stuart Dowker and Raymond Critchley in 1976 proposed a zeta-function regularization method for quantum physical problems. {{ref|Do76}}. Emilio Elizalde and others have also proposed a method based on the zeta regularization for the integrals <math> \int_{a}^{\infty}x^{m-s}dx </math> , here <math> x^{-s} </math> is a regulator and the divergent integral depends on the numbers <math> \zeta (s-m) </math> in the limit <math> s \to 0 </math> see [[renormalization]]. Also unlike other regularizations such as [[dimensional regularization]] and analytic regularization, zeta regularization has no counterterms and gives only finite results.-->

==関連項目==
* [[母函数]]
* [[ペロンの公式]]
* [[繰り込み]]
* [[1+2+3+4+…]]
* [[1+1+1+1+…]]
* [[解析的トーション]]
* [[ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数]]
* [[ゼータ函数 (作用素)]]

==参考文献==

* {{note|Apostol}} Tom M. Apostol, "Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory", "Springer-Verlag New York. (See Chapter 8.)"
* {{note|BCEMZ}}A. Bytsenko, G. Cognola,  E. Elizalde,   V. Moretti and S. Zerbini, "Analytic Aspects of Quantum Fields", World Scientific Publishing, 2003,  ISBN 981-238-364-6
* {{note|Hard16}}G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", ''Acta Mathematica'', '''41'''(1916) pp.&nbsp;119–196. ''(See, for example, theorem 2.12)''
*{{Citation | last1=Hawking | first1=S. W. | author1-link=Stephen Hawking | title=Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime | doi=10.1007/BF01626516 | mr=0524257 | year=1977 | journal=Communications in Mathematical Physics | issn=0010-3616 | volume=55 | issue=2 | pages=133–148|bibcode = 1977CMaPh..55..133H }}
* {{note|Mo97}} V. Moretti, ''Direct z-function approach and renormalization of one-loop stress tensor in curved spacetimes'', ''Phys. Rev.D 56, 7797 ''(1997).
*{{Citation | last1=Minakshisundaram | first1=S. | last2=Pleijel | first2=Å. | title=Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds | url=http://math.ca/10.4153/CJM-1949-021-5 | doi=10.4153/CJM-1949-021-5 | mr=0031145 | year=1949 | journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] | issn=0008-414X | volume=1 | pages=242–256}}
*{{Citation | last1=Ray | first1=D. B. | last2=Singer | first2=I. M. | title=''R''-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. | doi=10.1016/0001-8708(71)90045-4 | mr=0295381 | year=1971 | journal=Advances in Math. | volume=7 | pages=145–210}}
* {{SpringerEOM|title=Zeta-function method for regularization|urlname=Zeta-function_method_for_regularization}}
*{{Citation | last1=Seeley | first1=R. T. | editor1-last=Calderón | editor1-first=Alberto P. | title=Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) | publisher=Amer. Math. Soc. | location=Providence, R.I. | series=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics | isbn=978-0-8218-1410-9 | mr=0237943 | year=1967 | volume=10 | chapter=Complex powers of an elliptic operator | pages=288–307}}
* {{note|Do76}} J.S. Dowker and R. Critchley, "Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space'', ''Phys. Rev.D 13, 3224 ''(1976).
<references/>

{{DEFAULTSORT:せえたかんすうせいきか}}

[[Category:場の量子論]]
[[Category:弦理論]]
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:総和法]]
[[Category:数学に関する記事]]

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