ソファ問題のソースを表示

{{unsolved|数学上|L字型の通路をとおすことができる、ソファの面積の最大値は?}}
[[Image:Hammersley sofa animated.gif|right|280px|thumb|面積 {{math|''π''/2 + 2/''π'' {{=}} 2.207416...}} の受話器の形をしたソファ。これは最大ではない。]]

'''ソファ問題'''（ソファもんだい）は[[数学]]の[[問題]]のひとつ。[[1966年]]に{{仮リンク|レオ・モーザー|en|Leo Moser}}によって問題が提示された。この問題は「L字型の[[通路]]を通り抜けることができる、[[ソファ]]の[[面積]]の[[最大と最小|最大値]] ''A'' を求めよ」という[[離散幾何学]]、[[数学パズル]]の問題である。

== ''A'' の下界と上界==
=== 下界 ===
通路の幅が1であるとき、[[半径]]1の[[半円]]はL字型の通路を通すことができるので、''A''の[[順序集合#下界|下界]]の一つとして <math> A \geq \frac{\pi}{2} \approx 1.570796</math> が容易に得られる。

[[1968年]]に{{仮リンク|ジョン・ハマーズレイ|en|John Hammersley}}はより優れた''A''の下界の一つを発見した<ref name=hammersley>{{cite journal|author=J. M. Hammersley|author-link=John Hammersley|title=On the enfeeblement of mathematical skills by 'Modern Mathematics' and by similar soft intellectual trash in schools and universities|pages=66–85|url=https://archive.org/details/hammersley1968|journal=Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications|volume=4|year=1968}} Appendix IV, Problems, Problem 8, p. 84を参照。</ref>。<math>1\times\frac{4}{\pi}</math> の[[長方形]]の両脇に半径1の四分円を接合させた図形から、[[直径]] <math>\frac{4}{\pi}</math> の半円をくりぬいた[[受話器]]型のソファで、<math>A \geq \frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi} \approx 2.207416</math>（{{OEIS|id=A086118}}）となる<ref>{{cite book |last1=Croft |first1=Hallard T. |last2=Falconer |first2=Kenneth J. |last3=Guy |first3=Richard K. |authorlink3=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Geometry |series=Problem Books in Mathematics; Unsolved Problems in Intuitive Mathematics |volume=II |editor-last=Hamos |editor-first=Paul R. |publisher=Springer-Verlag |year=1994 |isbn=978-0-387-97506-1 |url=http://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-97506-1 |accessdate=24 April 2013}}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20080107101427/http://mathcad.com/library/constants/sofa.htm Moving Sofa Constant] by Steven Finch at MathSoft, includes a diagram of Gerver's sofa</ref>。

[[Image:Gerver.png|right|280px|thumb|18の線からなるガーバーのソファ]]
[[1992年]]に[[ラトガース大学]]のジョセフ・ガーバー (Joseph L. Gerver) {{Efn|[[作家]]の [[:en:Joseph R. Garber]] とは別人である。}}によって、18の線（3の[[直線]]と15の[[曲線]]）からなる[[図形]]により、さらに優れた''A''の下界の一つ 2.21953166887...（{{OEIS|id=A128463}}）が示された<ref>{{cite journal |last=Gerver |first=Joseph L. |title=On Moving a Sofa Around a Corner |journal=Geometriae Dedicata |issn=0046-5755 |volume=42 |issue=3 |pages=267–283 |year=1992 |doi=10.1007/BF02414066}}</ref>。

=== 上界 ===
一方、''A'' の[[順序集合#上界|上界]]については、ハマーズレイによる簡単な議論によって高々 <math>2\sqrt{2} \approx  2.828427</math> であることが示されていた<ref>{{cite journal |last=Wagner |first=Neal R. |title=The Sofa Problem |journal=The American Mathematical Monthly |volume=83 |issue=3 |year=1976 |pages=188–189 |doi=10.2307/2977022 |url=http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf |jstor=2977022}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |authorlink=Ian Stewart (mathematician) |title=Another Fine Math You've Got Me Into... |date=January 2004 |publisher=Dover Publications |location=Mineola, N.Y. |isbn=0486431819 |url=http://store.doverpublications.com/0486431819.html |accessdate=24 April 2013}}</ref>。

[[2017年]]6月に Yoav Kallus と{{仮リンク|ダン・ロミック|en|Dan Romik}}は新しい上界として、2.37を証明している<ref>{{Cite journal|last=Kallus|first=Yoav|last2=Romik|first2=Dan|date=December 2018|title=Improved upper bounds in the moving sofa problem|journal=Advances in Mathematics|volume=340|pages=960–982|arxiv=1706.06630|doi=10.1016/j.aim.2018.10.022|issn=0001-8708}}</ref>。

== 両手利きのソファ ==
[[Image:Romik.svg|right|280px|thumb|ロミックの両手利きのソファ]]
この問題の変種の一つとして、単位幅の通路の途中にある直角の右折と左折の両方を通過できるようなソファの面積の最大値を求める問題がある（つまり、途中にまず右折があり、その後十分な距離をおいて左折があるような一本道を想定している）。ロミックは18の曲線からなる図形によって、

:<math>\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}-1+\tan^{-1} \left\{{1 \over 2 }\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}-\sqrt[3]{\sqrt{2}-1} \right) \right\}\approx 1.644955218</math>

（{{OEIS|id=A330934}}）という下界を示した<ref name="Dan Romik">{{cite journal |last=Romik |first=Dan |title=Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem |journal=Experimental Mathematics |volume=26 |issue=2 |year=2017 |pages=316–330 |doi=10.1080/10586458.2016.1270858 |arxiv=1606.08111 }}</ref>。

== 解決 ==
[[2024年]][[11月29日]]、[[大韓民国|韓国]]・[[延世大学校]]の[[博士研究員]]であるペク・ジノン（백진언; 白眞言）によって、ソファ問題を解決したとする[[論文]]が [[arXiv]] に投稿された。本論文によれば、ガーバーによる例が実際に最大値を与えるとされている<ref>{{Cite arXiv |last=Baek |first=Jineon |eprint=2411.19826 |title=Optimality of Gerver's Sofa |date=2024-11-29 |class=math.MG}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 外部リンク ==
* {{Cite web |url=https://www.math.ucdavis.edu/~romik/movingsofa/ |title=The moving sofa problem |access-date=2024-12-10 |publisher=[[カリフォルニア大学デービス校|University of California, Davis]] |website=Dan Romik's home page |first=Dan |last=Romik}}
* {{MathWorld|title=Moving Sofa Problem|urlname=MovingSofaProblem}}

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[[Category:数学のオープンプロブレム]]
[[Category:数学パズル]]
[[Category:数学に関する記事]]