ソボレフ共役のソースを表示

[[数学]]において、空間の次元を ''n'' とするとき、<math>1\leq p <n</math> を満たす ''p'' の'''ソボレフ共役'''（ソボレフきょうやく、{{Lang-en-short|Sobolev conjugate}}）は

:<math> p^*=\frac{pn}{n-p}>p</math>

で与えられる。このパラメータは特に[[ソボレフ不等式]]において重要となる。

== 動機 ==

ある ''q'' >''p'' に対し、[[ソボレフ空間]] <math>W^{1,p}(\mathbb{R}^n)</math> の元 ''u'' が <math>L^q(\mathbb{R}^n)</math> に属するかという問題が考えられる。より具体的に、<math>\|Du\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}</math> が <math>\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}</math> を制御するのはいつか、という問題が考えられる。次の不等式が任意の ''q'' に対して成立することはないということは、容易に確かめられる。

:<math>\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}\leq C(p,q)\|Du\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}</math>     (*)

コンパクトな台を持つ無限回微分可能な函数 <math>u(x)\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n)</math> を考える。<math>u_\lambda(x):=u(\lambda x)</math> とすると、次が成り立つ。

:<math>\|u_\lambda\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q=\int_{\mathbb{R}^n}|u(\lambda x)|^qdx=\frac{1}{\lambda^n}\int_{\mathbb{R}^n}|u(y)|^qdy=\lambda^{-n}\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q</math>
:<math>\|Du_\lambda\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^p=\int_{\mathbb{R}^n}|\lambda Du(\lambda x)|^pdx=\frac{\lambda^p}{\lambda^n}\int_{\mathbb{R}^n}|Du(y)|^pdy=\lambda^{p-n}\|Du\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^p</math>

<math>u_\lambda</math> に対する不等式 (*) の結果、<math>u</math> に対する次の不等式が得られる。

:<math>\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}\leq \lambda^{1-n/p+n/q}C(p,q)\|Du\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}</math>

<math>1-n/p+n/q\not = 0</math> なら、<math>\lambda</math> をゼロあるいは無限大とすることで矛盾が導かれる。したがって不等式 (*) は

:<math>q=\frac{pn}{n-p}</math>

に対してのみ成立する。これがソボレフ共役である。

== 関連項目 ==
* [[セルゲイ・ソボレフ]]

== 参考文献 ==
* Lawrence C. Evans. Partial differential equations. Graduate studies in Mathematics, Vol 19. American Mathematical Society. 1998.  ISBN 0-8218-0772-2

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