タイル張りのソースを表示

{{Redirect|平面充填|特定の領域への図形の詰め込み（パッキング）の意味での"充填"|パッキング問題|その中でも特に円に関するもの|球充填#円充填}}
{{Redirect|テセレーション|コンピュータグラフィックスにおける画像演算手法|テッセレーション}}
{{出典の明記|date=2016年11月}}
[[幾何学]]において、'''タイル張り'''（タイルばり、{{lang-en-short|tiling, tessellation}}）の問題とは、タイルと呼ばれる特定の種類の[[平面図形|図形]]を用いて隙間も重なりもなく平面を敷き詰める問題のことである{{Sfn|秋山|2020|p=1}}。タイリング、タイル貼り、平面分割、平面充填{{Efn2|「充填」という語は[[球充填]]のように特定の図形を隙間を最小化しながら可能な限り密に詰め込む「[[パッキング問題|パッキング]]」を意味する言葉として用いられることも多いため注意を要する。}}、テセレーション、平面の敷き詰めなどと呼ばれることもある。ただし「平面」を明言しない場合は、平面に限らず[[曲面]]のタイル張りを含む。例えば、[[多面体]]は[[多角形]]による[[球面]]のタイル張りともみなせる。

2次元以外の空間における広義のテセレーション等については、[[空間充填]]を参照。

== 1種類のタイルによるタイル張り ==
=== 正多角形 ===
'''単一タイル張り'''（monohedral tiling）、すなわち1種類でのタイル張りができる[[正多角形]]は、[[正三角形]]、[[正方形]]、[[正六角形]]の3種類のみであり{{Sfn|秋山|2020|p=5}}、[[ピタゴラス]]によって証明された{{要出典|date=2023年7月}}。これらは以下のようにどの頂点も別のタイルの辺と（端点以外で）接しないようにタイル張りできる。
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画像:Tile 3,6.svg|正三角形によるタイル張り
画像:Tile 4,4.svg|正方形によるタイル張り
画像:Tile 6,3.svg|正六角形によるタイル張り
</gallery>
このようなタイル張りは、[[正多面体]]や[[星型正多面体]]と同様に[[シュレーフリ記号]] {''p'', ''q''} （正 ''p'' 角形が ''q'' 個頂点に集まる）で表せる。
*正三角形 {3, 6}
*正方形 {4, 4}
*正六角形 {6, 3}
単一タイル張り可能な正 ''p'' 角形の内角を ''q'' 倍すると 360° になるので、
:<math>\frac{(p-2) \times 180^\circ}{p} \times q = 360^\circ</math>
が成り立つ。これを整理すると
:<math>(p - 2) (q - 2) = 4</math>
と表せて、正整数の解は上の3つだけであることから、単一タイル張り可能な正多角形はこの3つしか存在しないことが[[証明 (数学)|証明]]できる{{Efn2|厳密にはここで導かれたのは「頂点が別のタイルの辺に接しないような」単一タイル張りを可能とする正多角形がこの3つしか存在しないことである。しかし、''n'' ≥ 5 の正 ''n'' 角形の内角は必ず鈍角なので、頂点が別のタイルの辺に接するような単一タイル張りも明らかに不可能である。}}。

正三角形と正方形については、頂点が別のタイルの辺と接するようにもできる。ただし、その辺をその接点で2辺に分け、内角180°で接しているとみなせば、これらは後述する一般の四角形や平行六角形によるタイル張りの特殊な場合である。

=== 平行四辺形・任意の三角形 ===
全ての[[平行四辺形]]は単一タイル張り可能であり、また、全ての[[三角形]]は[[図形の合同|合同]]なものを2つ組み合わせることで平行四辺形となることから、全ての三角形は単一タイル張り可能である{{Sfn|秋山|2020|p=3}}。

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画像:Shikitume01.gif
画像:Shikitume02.gif
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=== 平行六角形・任意の四角形 ===
全ての合同な平行六角形（parallelohexagon、3組の対辺がいずれも平行で等長な[[六角形]]）は単一タイル張り可能であり、また、全ての[[四角形]]は合同なものを二つ組み合わせることで平行六角形となることから、全ての四角形は単一タイル張り可能である。
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画像:Shikitume03.gif
画像:Shikitume04.gif
</gallery>

平行六角形は、中心を通る直線で合同な2つの[[五角形]]に分けられる。このような五角形も単一タイル張り可能である。
<gallery>
画像:Shikitume05.gif
画像:Shikitume06.gif
</gallery>

===これらの変形===
単一タイル張り可能な図形に対して、対応する場所に凹凸をつけた場合も単一タイル張り可能である。

正方形の例：
[[画像:Shikitume07.gif|left|400px]]{{clear}}
[[画像:Mozaiku201.gif|left|300px]]{{clear}}
[[画像:mozaiku104.gif|left|200px]]{{clear}}

平行六辺形の例：
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画像:mozaiku101.gif
画像:mozaiku102.gif
画像:mozaiku103.gif
</gallery>
[[画像:Mozaiku202.gif|left|300px]]{{clear}}

=== 多角形 ===
==== 五角形 ====
{{節スタブ}}
{{Main|:en:Pentagonal tiling}}
[[File:PentagonTilings15.svg|thumb|知られている平面充填可能な15種類の五角形]]
{{仮リンク|五角形のタイル張り|en|Pentagonal tiling}}は現代においても未解明の事柄が多く、研究の対象になっている。
とくに、それ一種類で平面を周期的にタイル張りできるような凸[[五角形]]の形状は、これまでに15種類の型(type)が知られている。驚くべきことに、そのうちの4種類は[[1976年]]と[[1977年]]にアマチュアの数学者である主婦[[マージョリー・ライス]]によって発見された。最新となる15番目の型が[[ワシントン大学]]ボセル校の{{仮リンク|ケイシー・マン|en|Casey Mann}}ら3人によって発見されたのは[[2015年]]のことである。そして、これら15種類で全てであるとする論文を2017年にRaoが発表した<ref name="ichigaku20240706">{{Cite web|url=https://www.ichigaku.ac.jp/wp-content/uploads/2021/09/Mathstory24.pdf|title=平面充填 〜 その 4 〜|accessdate=2024-07-06|publisher=市川高等学校}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/|title=Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem|accessdate=2024-07-06|publisher=Quanta Magazine}}</ref>。現在査読中<ref name="ichigaku20240706"/>。
[[File:P5-type15.png|thumb|left|2015年に発見された、15番目の凸五角形タイル張り。]]
{{clear}}

このほか、凸でない五角形を用いたものや、非周期的なタイル張りも研究されている。
[[File:Hirschhorn 6-fold-rotational symmetry pentagonal tiling.svg|thumb|none|x200px|Hirschhornによる例。6回[[回転対称]]性をもつが、平行移動による周期性をもたない。]]

==== 六角形 ====
{{Main|:en:Hexagonal tiling}}
* {{仮リンク|六角形のタイル張り|en|Hexagonal tiling}}
一種類で平面を周期的にタイル張りできるような凸六角形の形状は3種類の型(type)が知られている。
{{See Also|:en:Hexagonal tiling#Monohedral convex hexagonal tilings}}

==== 七角形 ====
{{Main|:en:Heptagonal tiling}}
* {{仮リンク|七角形のタイル張り|en|Heptagonal tiling}}

==== 八角形 ====
{{Main|:en:Octagonal tiling}}
* {{仮リンク|八角形のタイル張り|en|Octagonal tiling}}

{{clear}}

=== アルキメデスのタイル張りの双対 ===
[[#タイル張りの双対]]を参照。

== 複数種類のタイルによるタイル張り ==
=== 正多角形 ===
一種類の場合と同じように、正多角形のみでできていて、頂点形状が一様な'''アルキメデスのタイル張り'''と呼ばれる平面充填が8種類あり{{Sfn|秋山|2020|p=1}}、[[半正多面体]]の一種とされることもある。括弧中は[[頂点形状]]（各頂点に集まる正多角形の種類と順序）を表す。
<gallery>
画像:Tile 33336.svg|正三角形4枚、正六角形1枚 (3, 3, 3, 3, 6)
画像:Tile 33344.svg|正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 3, 4, 4)
画像:Tile 33434.svg|正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 4, 3, 4)
画像:Tile 3464.svg|正三角形1枚、正方形2枚、正六角形1枚 (3, 4, 6, 4)
画像:Tile 3636.svg|正三角形2枚、正六角形2枚 (3, 6, 3, 6)
画像:Tile 3bb.svg|正三角形1枚、正十二角形2枚 (3, 12, 12)
画像:Tile 46b.svg|正方形1枚、正六角形1枚、正十二角形1枚 (4, 6, 12)
画像:Tile 488.svg|正方形1枚、正八角形2枚 (4, 8, 8)
</gallery>

=== ペンローズ・タイル ===
[[ペンローズ・タイル]]、[[#非周期的タイル張り]]を参照。

== タイル張りの双対 ==
多角形（特に正多角形）によるタイル張りには、多面体に対する[[双対多面体]]のように、[[双対]]を考えることが可能である。

正多角形の単一タイル張りの双対は次のとおり。シュレーフリ記号の値が入れ替わる。
*正方形 {4, 4} ⇔ 正方形 {4, 4}
*正三角形 {3, 6} ⇔ 正六角形 {6, 3}

アルキメデスのタイル張りの双対は、1種類の（[[鏡像]]は同じと考える）多角形によるタイル張りとなる。

== 特殊なタイル張り ==
=== 中心のあるタイル張り ===
[[Image:Voderberg-1.png|thumb|Voderbergタイル。有名な螺旋充填。]]
ここまでのタイル張りには平行移動に対する周期性があるが、そうでないタイル張りもある。平面上に中心を定め、そこから放射状にタイルを敷き詰める放射充填 (radial tiling) や、[[螺旋]]状にタイルを敷き詰める螺旋充填 (spiral tiling) である。

放射充填は、中心を通る放射状の直線で平面を[[楔形]]に分割し、そのそれぞれを三角形タイルで充填したものの変形である。直線の1つについて、その両側をタイル1つ分だけずらせば、螺旋充填となる。一見、複雑に見えるが、[[回転対称性]]などの対称性を持つ周期的タイル張りである。

=== 非周期的タイル張り ===
{{main|{{ill2|アインシュタイン・タイル|en|Einstein problem}}}}
一切周期性を持たないタイル張りも存在する。ただし、周期的タイル張りを非周期的に変形させたもの（場所によってランダムな方法でタイルを分割するなど）は、非周期的タイル張りとは考えない。

最初の非周期的タイル張りは、[[1966年]]に発見された、20426種類のタイルを使うものである。その後、より少ない種類数のタイルによるタイル張りが発見され、1974年には[[イギリス]]の[[物理学者]][[ロジャー・ペンローズ]]が非周期的タイル張りの可能な2種類の[[菱形]]のタイル「[[ペンローズ・タイル]]」を考案したが、非周期的モノタイル（単一で非周期的タイル張り可能なタイル）が存在するかどうかは長らく未解決であり、'''アインシュタイン問題'''と呼ばれていた<ref name="itmedia20230607">{{Cite web|和書|url=https://www.itmedia.co.jp/news/articles/2306/07/news054.html|title=数学の未解決問題「アインシュタイン問題」を“完全解決”する新図形発見　「The hat」を改良|accessdate=2023-06-07|publisher=ITmedia}}</ref>。

[[File:MonotilePolygon.svg|thumb|「Spectre」]]
しかし、2011年に[[:en:Socolar–Taylor tile|Socolar–Taylor tile]]と呼ばれる一種類の[[連結空間|非連結]]なタイルで非周期的タイル張りが可能であることが発見され、2023年にはDavid Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Straussが、初めは裏返しを使ってもよいという弱い条件のもとで"帽子"（"hat"）と名付けられた13角形のタイル1種類で非周期的タイル張りが可能であることを報告し{{r|web-csk2023}}{{r|arxiv2023}}{{r|web-texal2023}}、それから間もなく、"帽子"の改良によって裏返しの不要な14角形の非周期的モノタイル「Spectre」を発表してアインシュタイン問題の完全解決に至った<ref name="itmedia20230607"/>。

ちなみに高次元では1種類のブロックによる3次元空間の非周期充填が[[1993年]]に発見されている。

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Pen0305c.gif|ペンローズタイル。有名な非周期タイル張り。
Aperiodic tiling by hats.png|Smithらの“帽子”による非周期タイル張り。
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== 建築 ==
=== 歴史 ===
{{節スタブ}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===<!-- {{Efn2| }} で注釈追加  -->
{{notelist2}}
=== 出典 ===<!-- {{Sfn| }} で出典追加 -->
{{reflist|colwidth=25em|refs=
<ref name="web-csk2023">{{Cite|title=An aperiodic monotile|author=David Smith|author2=Joseph Samuel Myers|author3=Craig S. Kaplan|author4=Chaim Goodman-Strauss|year=2023|url=https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/|access-date=2023-04-05}}</ref>
<ref name="arxiv2023">{{Cite|title=An aperiodic monotile|author=David Smith|author2=Joseph Samuel Myers|author3=Craig S. Kaplan|author4=Chaim Goodman-Strauss|year=2023|arxiv=https://arxiv.org/abs/2303.10798|access-date=2023-04-05}}</ref>
<ref name="web-texal2023">{{Cite web|和書|url=https://texal.jp/2023/03/29/finally-a-single-shape-that-can-be-laid-down-infinitely-without-repeating-the-same-pattern-has-been-discovered/ |title=ついに同じパターンを繰り返さず無限に敷き詰められる単一の形状が発見された |access-date=2024-04-05 |author=masapoco |date=2023年3月29日 |website=TEXAL}}</ref>
}}
=== 文献 ===
; 英語
* {{Cite book|last1=Grünbaum|first1=Branko|last2=Shephard|first2=Geoffrey Colin|title=Tilings and Patterns|url={{google books|0x0vDAAAQBAJ|plainurl=yes}}|publisher=W. H. Freeman and Company|isbn=0-7167-1193-1|year=1989|zbl=0601.05001|mr=0857454|ref=harv}}
* {{Cite book|last=Adams|first=Colin|title=The Tiling Book: An Introduction to the Mathematical Theory of Tilings|url={{google books|LvGGEAAAQBAJ|plainurl=yes}}|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-1-4704-6897-2|year=2022|zbl=1503.52001|mr=4567741|ref=harv}}
; 日本語
* {{Cite book|和書|author=秋山 仁|title=離散幾何学フロンティア　タイル・メーカー定理と分割回転合同|date=2020-01-31|publisher=近代科学社|isbn=978-4-7649-0607-5|ref={{SfnRef|秋山|2020}}|authorlink=秋山仁}}

== 関連項目 ==
{{Commons category|Tessellations}}
* [[テッセラ]]
* [[ルジンの問題]] - 「任意の正方形を、全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題
* [[模様]]
* [[空間充填]]
* [[球充填]]
* [[マウリッツ・エッシャー]]
* [[テッセレーション]]
* [[敷き詰めパズル]]

== 外部リンク ==
* [https://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/7856_y5.htm 凹正奇数角形タイル　　（中川宏）]

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[[category:平面充填|*]]
[[Category:モザイク]]
[[Category:数学に関する記事]]