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''n'' 番目の'''タクシー数'''（タクシーすう、{{lang|en|taxicab number}}、Ta(''n'')もしくはTaxicab(''n'')と表記される）とは、2つの[[立方数]]の和として ''n'' 通りに表される最小の正の[[整数]]と定義される。[[1954年]]に[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]と{{仮リンク|エドワード・メートランド・ライト|en|E. M. Wright}}が全ての正の[[整数]] ''n'' に対し、Ta(''n'')が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として ''n'' 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(''n'')であるとは限らない。 「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることを[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]が指摘したエピソードから来ている（後述）。そのため、この数の問題と[[タクシー]]との関連は全く無い。 なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。[[0]]と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返して'''[[キャブタクシー数]]'''と呼ばれる。 == 概要 == 与えられた正の整数 ''N'' に対し、[[不定方程式]] :<math>x^3+y^3=N</math> の整数解 ''y'' ≥ ''x'' > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < ''y''<sup>3</sup> < ''N'' であるため）。これを ''s''(''N'') とおく。Ta(''n'') は ''s''(''N'') ≥ ''n'' となる最小の ''N'' である。 任意の ''n'' に対して ''s''(''N'') ≥ ''n'' となる整数 ''N'' が存在することが知られており、したがって Ta(''n'') は存在する。実際 ''m'' を正の整数とすると :<math>x^3+y^3=m</math> は[[楕円曲線]]なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 <math>(x_i/d_i, y_i/d_i) (i=1, 2, \ldots, k)</math> を選んで分母を払うことにより :<math>(x_iD_i)^3+(y_iD_i)^3=md_1^3d_2^3\cdots d_k^3, D_i=(d_1d_2\cdots d_k)/d_i</math> が成り立つ。 <math>N=md_1^3d_2^3\cdots d_k^3</math> ととれば <math>s(N)\geq k</math> が成り立つ。''m'' = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから ''s''(''N'') がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(''n'') は確かに存在する。 一般に ''F'' が3次形式で :<math>F(x, y)=m_0</math> が階数 ''r'' の楕円曲線を与えているとき、 :<math>F(x, y)=m, m=m_0 d^3</math> の解の個数が > ''c''(log ''m'')<sup>''r''/(''r''+2)</sup> となる ''m'' が無数に存在する（''c''> 0 は ''F'' と ''m''<sub>0</sub> のみに依存し ''d'' には依存しない）。 :<math>x^3+y^3=657</math> は階数3を持つことが知られている（実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる）。よって :<math>s(N)>c\log^{3/5} N</math> となる ''N'' が無数に存在する<ref>{{harvtxt|Silverman|1983}}</ref>。したがって :<math>\text{Ta}(n)<\exp (cn^{5/3})</math> が無数の ''n'' に対して成り立つ。 == 既知のタクシー数 == 現在までに以下の6つのタクシー数が知られている（{{OEIS|id=A011541}}参照）。 :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(1) = 2 & = 1^3 + 1^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(2) = 1729 & = 1^3 + 12^3 \\ & = 9^3 + 10^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(3) = 87539319 & = 167^3 + 436^3 \\ & = 228^3 + 423^3 \\ & = 255^3 + 414^3 \end{align}</math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(4) = 6963472309248 & = 2421^3 + 19083^3 \\ & = 5436^3 + 18948^3 \\ & = 10200^3 + 18072^3 \\ & = 13322^3 + 16630^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(5) = 48988659276962496 & = 38787^3 + 365757^3 \\ & = 107839^3 + 362753^3 \\ & = 205292^3 + 342952^3 \\ & = 221424^3 + 336588^3 \\ & = 231518^3 + 331954^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(6) = 24153319581254312065344 & = 582162^3 + 28906206^3 \\ & = 3064173^3 + 28894803^3 \\ & = 8519281^3 + 28657487^3 \\ & = 16218068^3 + 27093208^3 \\ & = 17492496^3 + 26590452^3 \\ & = 18289922^3 + 26224366^3 \end{align} </math> == タクシー数の上限 == 以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。 :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(7) \le 24885189317885898975235988544 & = 2648660966^3 + 1847282122^3 \\ & = 2685635652^3 + 1766742096^3 \\ & = 2736414008^3 + 1638024868^3 \\ & = 2894406187^3 + 860447381^3 \\ & = 2915734948^3 + 459531128^3 \\ & = 2918375103^3 + 309481473^3 \\ & = 2919526806^3 + 58798362^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(8) \le 50974398750539071400590819921724352 & = 299512063576^3 + 288873662876^3 \\ & = 336379942682^3 + 234604829494^3 \\ & = 341075727804^3 + 224376246192^3 \\ & = 347524579016^3 + 208029158236^3 \\ & = 367589585749^3 + 109276817387^3 \\ & = 370298338396^3 + 58360453256^3 \\ & = 370633638081^3 + 39304147071^3 \\ & = 370779904362^3 + 7467391974^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(9) \le 136897813798023990395783317207361432493888 & = 41632176837064^3 + 40153439139764^3 \\ & = 46756812032798^3 + 32610071299666^3 \\ & = 47409526164756^3 + 31188298220688^3 \\ & = 48305916483224^3 + 28916052994804^3 \\ & = 51094952419111^3 + 15189477616793^3 \\ & = 51471469037044^3 + 8112103002584^3 \\ & = 51518075693259^3 + 5463276442869^3 \\ & = 51530042142656^3 + 4076877805588^3 \\ & = 51538406706318^3 + 1037967484386^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(10) &\le 7335345315241855602572782233444632535674275447104 \\ & = 15695330667573128^3 + 15137846555691028^3 \\ & = 17627318136364846^3 + 12293996879974082^3 \\ & = 17873391364113012^3 + 11757988429199376^3 \\ & = 18211330514175448^3 + 10901351979041108^3 \\ & = 19262797062004847^3 + 5726433061530961^3 \\ & = 19404743826965588^3 + 3058262831974168^3 \\ & = 19422314536358643^3 + 2059655218961613^3 \\ & = 19426825887781312^3 + 1536982932706676^3 \\ & = 19429379778270560^3 + 904069333568884^3 \\ & = 19429979328281886^3 + 391313741613522^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(11) &\le 87039729655193781808322993393446581825405320183232000 \\ & = 381087194739069520^3 + 316469686016945240^3 \\ & = 385744811881975000^3 + 309479752750029680^3 \\ & = 390662458762053660^3 + 301539992238035460^3 \\ & = 392138457234189120^3 + 299032406381730840^3 \\ & = 426267111265435440^3 + 212424209933109720^3 \\ & = 426887616463852180^3 + 209891877907138700^3 \\ & = 428126038425768228^3 + 204623083640747772^3 \\ & = 438609133406051160^3 + 138573856797762960^3 \\ & = 439653507772479000^3 + 127174000598779680^3 \\ & = 443138459854855128^3 + 27089483598685872^3 \\ & = 443171971973855943^3 + 5134510178400057^3 \end{align} </math> :<math> \begin{align} \operatorname{Ta}(12) &\le 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000 \\ & = 21721970100126962640^3 + 18038772102965878680^3 \\ & = 21987454277272575000^3 + 17640345906751691760^3 \\ & = 22267760149437058620^3 + 17187779557568021220^3 \\ & = 22351892062348779840^3 + 17044847163758657880^3 \\ & = 24297225342129820080^3 + 12108179966187254040^3 \\ & = 24332594138439574260^3 + 11963837040706905900^3 \\ & = 24403184190268788996^3 + 11663515767522623004^3 \\ & = 25000720604144916120^3 + 7898709837472488720^3 \\ & = 25060249943031303000^3 + 7248918034130441760^3 \\ & = 25258892211726742296^3 + 1544100565125094704^3 \\ & = 25260575914339118080^3 + 771180546485662040^3 \\ & = 25260802402509788751^3 + 292667080168803249^3 \end{align} </math> == 発見の歴史 == ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は[[1657年]]に{{ill2|バーナード・フラン・ベッシー|en|Bernard Frénicle de Bessy}}によって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された<ref>{{harvtxt|Dickson|1919|page=552}}</ref>。[[レオンハルト・オイラー]]は :<math>X^3+Y^3=Z^3+W^3</math> の有理数解の一般解を与えており、その後[[アドルフ・フルヴィッツ]]はそれを単純化した<ref>{{harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=Theorem 235}}</ref>： :<math>X=t(1-(a-3b)(a^2+3b^2)), Y=t((a+3b)(a^2+3b^2)-1), Z=t((a+3b)-(a^2+3b^2)^2), W=t((a^2+3b^2)^2-(a-3b)).</math> ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。''t'', ''a'', ''b'' が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (''a'', ''b'', ''t'') = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており ''t'', ''a'', ''b'' が整数であるものからは与えられない（もちろん ''t'', ''a'', ''b'' をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する ''t'', ''a'', ''b'' がどのようなものかは明らかではない）。またオイラーは :<math>(9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1</math> を発見している（''t'' = 1 とおくとタクシー数を得る）。 Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば<ref>{{Wayback|url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Hardy.html|date=20170829164940|title=Quotations by Hardy}}</ref> {{cquote|私は彼をパットニーの療養所に見舞ったことを覚えている。私はナンバーが[[1729]]のタクシーに乗り、その数は無味乾燥なもののように思え、それが不吉なことの前兆でないことを願っていた。しかし彼は「そんなことはありません、とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。}} ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式 :<math>(6A^2-4AB+4B^2)^3+(-3A^2-5AB+5B^2)^3=(4A^2-4AB+6B^2)^3+(5A^2-5AB-3B^2)^3</math> を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には :<math>X^3+Y^3=Z^3\pm 1</math> の無限個の整数解を得る（オイラーとは別の）方法が述べられている<ref> {{harvard citations|txt|first1=Ken|last1=Ono|first2= Sarah |last2=Trebat-Leder |year=2016|year2=2017}}</ref>。 ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、[[コンピュータ]]による発見が常となった。{{ill2|ジョン・リーチ (数学者)|label=ジョン・リーチ|en|John Leech (mathematician)}}は[[1957年]]にTa(3)を発見した。[[1991年]]にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは[[1994年]]にTa(5)を発見し、[[1999年]]にデービッド・W・ウィルソンによって確認された<ref>Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20050215201136/http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/wilson10.html "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson]</ref>。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって[[2008年]]3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが<ref>[http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0803&L=nmbrthry&T=0&P=1059 NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach]</ref>、これは[[2003年]]に Claude et al. によって99％の確率でTa(6)であろうとされていたものだった<ref>C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203</ref>。[[2006年]]にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた<ref>[http://www.christianboyer.com/taxicab/TaxicabTable2007.htm Tables of best known results (in May 2007) on Taxicab and Cabtaxi numbers]</ref>。[[2008年]]にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された<ref>[http://www.christianboyer.com/taxicab/ New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi numbers]</ref>。 より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり1<sup>3</sup>以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 ''T'' が ''T'' = ''x''<sup>3</sup>+''y''<sup>3</sup>と書かれるとき、全ての組 (''x'', ''y'') に対して ''x'', ''y'' は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、[[1981年]]に大学院生だったポール・ボイタによって発見された（未発表）。これは以下の通りである。 :15170835645 ::= 517<sup>3</sup> + 2468<sup>3</sup> ::= 709<sup>3</sup> + 2456<sup>3</sup> ::= 1733<sup>3</sup> + 2152<sup>3</sup>. 4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、[[2003年]]にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。 :1801049058342701083 ::= 92227<sup>3</sup> + 1216500<sup>3</sup> ::= 136635<sup>3</sup> + 1216102<sup>3</sup> ::= 341995<sup>3</sup> + 1207602<sup>3</sup> ::= 600259<sup>3</sup> + 1165884<sup>3</sup>. （{{OEIS|id=A080642}}参照） 上記の通り制限のない場合には ''s''(''N'') はいくらでも大きくできるが、''N'' が立方因子をもたないとき、 :<math>x^3+y^3=N</math> の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を ''r''(''N'') とすると :<math>s(N)<c^{r(N)}</math> となる絶対定数 ''c'' が存在する。 ''N'' が大きいときは :<math>s(N)<9(15^{r(N)}+1)</math> が成り立つ<ref>{{harvtxt|Silverman|1982}}</ref>。 == 脚注 == <references /> == 参考文献 == * {{cite book | last1=Hardy | first1=G.H. | author1-link=G. H. Hardy | last2=Wright | first2=E.M. | author2-link=E. M. Wright | edition=6th | others=Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. | title=An Introduction to the Theory of Numbers | publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] | location=Oxford | isbn=978-0-19-921986-5 | mr= | zbl=1159.11001 | year=2008 | origyear=1938 | ref=harv }} * {{cite book | first1=Lernard Eugene | last1=Dickson | title=History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis | publisher=Carnegie Institute of Washington | year=1919 | url = https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft | ref=harv }} *J. Leech, ''Some Solutions of Diophantine Equations'', Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957. * {{cite journal | first1=Ken | last1=Ono | first2=Sarah | last2=Trebat-Leder | title=The 1729 K3 surface | journal=Res. Number Theory | volume=2 | pages= No. 26 | year=2016 | doi=10.1007/s40993-016-0058-2 | ref=harv }} * {{cite journal | first1=Ken | last1=Ono | first2=Sarah | last2=Trebat-Leder | title=Erratum to: The 1729 K3 surface | journal=Res. Number Theory | volume=3 | pages= No. 12 | year=2017 | doi=10.1007/s40993-017-0076-8 | ref=harv }} *E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, ''The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> + w<sup>3</sup> = u<sup>3</sup> + v<sup>3</sup> = m<sup>3</sup> + n<sup>3</sup>'', Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, [http://www.cix.co.uk/%7Erosenstiel/cubes/welcome.htm online]. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。 *David W. Wilson, ''The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496'', Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), [http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/wilson10.html#RDR91 online]. (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった） *D. J. Bernstein, ''Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d)'', Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394. *C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: ''What is the value of Taxicab(6)?'', Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203 * {{cite journal | first=Joseph H. | last=Silverman | title=Integer points on curves of genus 1 | journal=J. London Math. Soc. (2) | volume=28 | year=1983 | pages=1-7 | doi=10.1112/jlms/s2-28.1.1 | mr=0703458 | ref=harv }} * {{cite journal | first=Joseph H. | last=Silverman | title=Integer points and the rank of Thue elliptic curves | journal=Invent. Math. | volume=66 | year=1982 | pages=395-404 | doi=10.1007/BF01389220 | mr=0662599 | ref=harv }} == 関連項目 == * [[キャブタクシー数]] * [[一般化タクシー数]] == 外部リンク == *{{MathWorld|title=Taxicab Number|urlname=TaxicabNumber}} *[http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0207&L=nmbrthry&F=&S=&P=1278 A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun] *[http://euler.free.fr/ Taxicab and other maths at Euler] {{DEFAULTSORT:たくしいすう}} [[Category:数論]] [[Category:整数の類]] [[Category:シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]] [[Category:数学に関する記事]]
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