ダイヤモンド原理のソースを表示

[[数学]]、特に[[公理的集合論]]において、'''ダイヤモンド原理''' ◊ （ダイヤモンドげんり、{{lang-en-short|diamond principle}}）
とはB. イェンセンによって1972年に導入された組み合わせ論的原理で、[[構成可能集合]]で真になり、[[連続体仮説]]を含意する。イェンセンは{{仮リンク|構成可能性公理|en|axiom of constructibility|label=V=L}}から[[ススリンの問題|ススリン木]]の存在を導く証明の中からダイヤモンド原理を抽出、提唱した。

== 定義 ==
ダイヤモンド原理 ◊ は'''◊-列'''の存在を主張する。すなわち、各α<ω<sub>1</sub>に対し、''A''<sub>α</sub>⊆α があって、それがいかなるω<sub>1</sub>の部分集合''A''に対しても、''A''∩α = ''A''<sub>α</sub>となるαの集合がω<sub>1</sub>の中で定常集合になる。

もっと一般には、[[基数]] <math>\kappa</math>と[[定常集合]]<math> S\subset\kappa </math>が与えられたとき、
言明 ◊<sub>''S''</sub> (◊(''S'') or ◊<sub>&kappa;</sub>(''S'')とも書かれる) は以下の項目を満たす列<math>\langle A_\alpha: \alpha \in S \rangle </math>の存在を主張する

* 各αに対し、<math> A_\alpha \subset \alpha </math>
* 各<math> A \subset \kappa</math>に対し、<math>\{\alpha \in S: A \cap \alpha = A_\alpha\} </math>は<math>\kappa</math>の中で定常である

この原理の意味において◊<sub>ω<sub>1</sub></sub>は◊と同じ意味である。

== 性質と使われ方 ==
イェンセンは1972年にダイヤモンド原理 ◊ が[[ススリンの問題|ススリン木]]の存在を含意することを示した。彼はダイヤモンド原理が[[連続体仮説|CH]]を含意することも示した。

任意の基数κと&kappa;<sup>+</sup>の定常集合''S''に対して◊<sub>''S''</sub>は[[構成可能集合]]で真である。近年、[[サハロン・シェラハ]]によって非可算な基数κに対して、<math>2^\kappa=\kappa^+</math>から◊<sub>κ<sup>+</sup></sub>が示されることが示された。

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== 関連項目 ==
*[[構成可能集合]]
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== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Akemann | first1=Charles | last2=Weaver | first2=Nik | title=Consistency of a counterexample to Naimark's problem | doi=10.1073/pnas.0401489101 | mr=2057719 | year=2004 | journal=Proceedings of the National Academy of Sciences | volume=101 | issue=20 | pages=7522–7525|arxiv=math.OA/0312135}}
*{{Citation | last1=Jensen | first1=R. Björn | title=The fine structure of the constructible hierarchy | doi=10.1016/0003-
4843(72)90001-0 | mr=0309729 | year=1972 | journal=Annals of Mathematical lLogic | volume=4 | pages=229–308}}
* Assaf Rinot, ''Jensen's diamond principle and its relatives'', [http://papers.assafrinot.com/?num=s01 online]
* S. Shelah: Whitehead groups may not be free, even assuming CH, II, ''Israel J. Math.'', '''35'''(1980), 257&ndash;285.

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