ダフィング方程式のソースを表示

[[File:Forced Duffing equation Poincaré section.png|thumb|カオス挙動を示す強制ダフィング方程式の[[ポアンカレ写像|ポアンカレ切断面]]]]

[[数学]]における'''ダフィング方程式'''（ダフィングほうていしき、{{Lang-en-short|Duffing equation}}）あるいは'''ダフィング振動子'''（Duffing oscillator）は、ある[[減衰振動|減衰的]]な[[振動子|駆動振動子]]をモデル化するために用いられる[[非線形システム論|非線型]]の二階[[常微分方程式]]である。次の式で与えられる：

:<math>\ddot{x} + \delta \dot{x} + \alpha x + \beta x^3 = \gamma \cos (\omega t). \,</math>

ここで（未知）函数 {{Math|''x'' {{=}} ''x''(''t'')}} は時間 {{Math|''t''}} での位置、<math>\dot{x}</math> は {{Math|''x''}} の時間に関する一階[[導函数]]、すなわち[[速度]]で、<math>\ddot{x}</math> は {{Math|''x''}} の時間に関する二階導函数、すなわち[[加速度]]である。数 <math>\delta,\alpha,\beta,\gamma</math> および <math>\omega</math> は与えられた定数である。

この式は、（<math>\beta = \delta = 0</math> の場合に対応する）[[単振動]]よりも複雑な[[ポテンシャル]]を持つ減衰振動子の動きを表す。例えば、物理学の言葉で言うと、ばねの[[剛性]]が[[フックの法則]]に従わない{{仮リンク|ばね振り子|en|spring pendulum}}のモデルと見なされる。

ダフィング方程式は、[[カオス理論|カオス的挙動]]を示す力学系の一例である。[[ジャパニーズ・アトラクタ]]がダフィング方程式におけるカオスの例としてよく知られている。さらにダフィングシステムは、周波数ヒステリシスの挙動のような、跳躍共振現象を周波数反応において示すものである。

== パラメータ ==
* <math>\delta</math> は[[減衰振動|減衰]]の大きさを制御する。
* <math>\alpha</math> は[[剛性]]の大きさを制御する。
* <math>\beta</math> は復元力に含まれる非線型性の量を制御する。<math>\beta=0</math> であるなら、ダフィング方程式は減衰かつ駆動（driven）な単振動子を表す。
* <math>\gamma</math> は周期駆動力の[[振幅]]を制御する。<math>\gamma=0</math> であるなら、駆動力の無いシステムとなる。
* <math>\omega</math> は周期駆動力の[[周波数]]を制御する。

== 解の方法 ==
[[File:Duffing oscillator limit cycle.gif|thumb|right|300px|<math>\gamma > 0</math> に対するダフィング振動子のリミットサイクル]]
[[File:Duffing oscillator limit cycle phase animation.gif|thumb|right|300px|<math>\gamma > 0</math> に対するダフィング振動子のリミットサイクルの相プロット]]
[[File:Duffing oscillator chaos.gif|thumb|300px|right|<math>\gamma < 0</math> に対するダフィング振動子のカオス振動]]
[[File:Duffing oscillator attractors animation.gif|thumb|right|300px|<math>\gamma < 0</math> に対するダフィング振動子のアトラクターのアニメーション]]

一般に、ダフィング方程式の厳密な記号解が得られるとは限らない。しかし、以下のような多くの近似手法が利用できる：
* [[フーリエ級数]]展開は、任意の正確さでの方程式の運動を与える。
* ダフィング項と呼ばれる <math>x^3</math> の項は、小さいものとして近似でき、システムは[[摂動]]された単振動子として扱われる。
* {{仮リンク|フロベニウス法|en|Frobenius method}}を利用すれば、複雑だが実行可能な解を得ることができる。
* [[オイラー法]]や[[ルンゲ＝クッタ法]]のような様々な[[数値解析|数値的手法]]が利用できる。

非減衰（<math>\delta = 0</math>）かつ非駆動（<math>\gamma = 0</math>）なダフィング方程式の特別な場合においては、{{仮リンク|ヤコビ楕円函数|en|Jacobi elliptic functions}}を利用することで厳密解を得ることができる。

== 非減衰かつ非強制振動子の解の有界性 ==

非減衰かつ非強制（<math>\gamma=\delta=0</math>）なダフィング方程式に <math>\dot{x}</math> を掛けると、次の式が得られる<ref name="BO99">{{harvtxt|Bender|Orszag|1999|p=546}}</ref>：

:<math>
\begin{align}
  & \dot{x} \left( \ddot{x} + \alpha x + \beta x^{3} \right) = 0 
  \\ &\Rightarrow
  \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} \left( \dot{x} \right)^2 + \frac{1}{2} \alpha x^{2} + \frac{1}{4} \beta x^{4} \right] = 0 
  \\ & \Rightarrow
  \frac{1}{2} \left( \dot{x} \right)^{2} + \frac{1}{2} \alpha x^{2} + \frac{1}{4} \beta x^{4} = H.
\end{align}
</math>

ここで {{Mvar|H}} は定数である。{{Mvar|H}} の値は初期条件 <math>x(0)</math> および <math>\dot{x}(0)</math> によって決まる。

{{Mvar|H}} に <math>y=\dot{x}</math> を代入することで、システムは{{仮リンク|ハミルトニアンシステム|label=ハミルトニアン|en|Hamiltonian system}}であることが分かる：

:<math> \dot{x} = + \frac{\partial H}{\partial y}, </math> {{pad|2em}} <math> \dot{y} = - \frac{\partial H}{\partial x} </math> {{pad|1em}} with {{pad|1em}} <math> \quad H = \frac12 y^2 + \frac12 \alpha x^2 + \frac14 \beta x^4.
</math>

<math>\alpha</math> と <math>\beta</math> のいずれも正であるなら、解は[[有界]]である<ref name="BO99"/>：

:<math> |x| \leq \sqrt{\frac{2H}{\alpha}}</math> {{pad|1em}} and {{pad|1em}} <math> |\dot{x}| \leq \sqrt{2H},</math>

ここでハミルトニアン {{Math|''H''}} は正である。

== 参考文献 ==
=== 文中 ===
{{reflist}}

=== その他 ===
{{refbegin}}
*{{Citation
| publisher = Springer
| isbn = 9780387989310
| last1 = Bender
| first1 = C.M.
| author1-link = :en:Carl M. Bender
| first2 = S.A.
| last2 = Orszag
| author2-link = :en:Steven Orszag
| title = Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory
| year = 1999
| pages = 545–551
}}
*{{Citation
| publisher = CRC Press
| isbn = 9780849384431
| last = Addison
| first = P.S.
| title = Fractals and Chaos: An illustrated course
| year = 1997
| pages = 147–148
}}
{{refend}}

== 外部リンク ==
*{{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator |title=Duffing oscillator |date=20080303125643}} - [[スカラーペディア]]百科事典「ダフィング方程式」の項目。
*{{MathWorld|title=Duffing Differential Equation|urlname=DuffingDifferentialEquation}}

{{DEFAULTSORT:たふいんくほうていしき}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]

{{Mathanalysis-stub}}