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[[解析学]]における'''チェザロ総和法'''（チェザロそうわほう、{{lang-en|''Cesàro summation''}}）とは[[無限級数]]に「和」と呼ばれる値を結びつける[[総和法]]の一種である。無限級数が通常の意味で収束して値 ''A'' を持つならば、その級数はチェザロの意味でも総和可能であり、同じ ''A'' をチェザロ和として持つ。チェザロ和の重要性は、収束しない級数のなかにもチェザロ和が矛盾なく定義できるものがありうるという点にある。ただし、<!-- positively が何処に掛かってるかの解釈が違うのだと思うが、原文の positively diverge to an infinite value は最初の訳者の解釈のような正の無限大 (positive infinite) に発散という意味ではなくて（少なくとも負の無限大でも話は同じであることは明らかで）、たとえば形式的には ∞-∞ のような不定形で発散するようなものとかだとチェザロ和が計算できたりする(?)ので、そういうことではない強い意味での発散 (positively diverge) という話だと思う（たぶん。いや、ちゃんと考えてないので間違えてる気もするが）。感覚的には「単調に発散する」とかいいそうなのだが Web 検索とかで引っかかってこないので却下、うまく訳せそうにないので直訳はあきらめた。-->たとえば無限大に収束する正項級数などはいかなる場合も有限の値の和を持つことはない。 名称は19世紀の[[イタリア]]の[[数学者]]である[[アーネスト・チェザロ|エルネスト・チェザロ]]に因む。 == 定義 == [[数列]] {''a''<sub>''n''</sub>} の第 ''k''-部分和を :<math>s_k = a_1 + \cdots + a_k = \sum_{i=1}^k a_i</math> とする。 ここで、極限 :<math>A := \lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n s_i</math> が有限確定であるとき、数列 {''a''<sub>''n''</sub>} は'''チェザロ総和可能'''あるいは'''チェザロの意味で総和可能'''であるといい、極限の値 ''A'' を数列 {''a''<sub>''n''</sub>} あるいは級数 ∑ ''a''<sub>''n''</sub> の'''チェザロ和'''あるいは'''チェザロの意味での和'''という。 == 例 == ''n'' ≥ 1 に対して ''a''<sub>''n''</sub> = (−1)<sup>''n''+1</sup> とする。つまり {''a''<sub>''n''</sub>} は :<math>1, -1, 1, -1, \ldots</math> のような数列である。このとき、その部分和の列 (''s''<sub>''n''</sub>) は、 :<math>1, 0, 1, 0, \ldots</math> で与えられ、その和は（[[グランディ級数]] ([[:en:Grandi's series|en]]) として有名なものだが）明らかに収束しない。にもかかわらず、数列 {(''s''<sub>1</sub> + ... + ''s''<sub>''n''</sub>)/''n''} の各項は :<math>\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots</math> のようになり、極限では :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2</math> が成立する。ゆえに、数列 {''a''<sub>''n''</sub>} のチェザロ和は 1/2 である。 == (C, α)-総和法 == 1890年、エルネスト・チェザロは非負の整数 ''n'' に対し '''(C, ''n'')-総和法'''あるいはチェザロの ''n''-次総和法などと呼ばれるチェザロ和の一般化について発表した。この枠組みでは (C, 0)-和は通常の意味の和に相当し、(C, 1)-和は上記のチェザロ和に相当する。高次のチェザロ総和法は次のように記述される。 まず、与えられた級数 Σ''a''<sub>''n''</sub> に対し、''A''<sub>''n''</sub><sup>α</sup> を :<math>A_n^{-1}=a_n;\quad A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}</math> と帰納的に定め、''E''<sub>''n''</sub><sup>α</sup>を級数 1 + 0 + 0 + 0 + … に対する ''A''<sub>''n''</sub><sup>α</sup> となるように定義する。このとき、Σ''a''<sub>''n''</sub> の (C, α)-和とは、極限 :<math>\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}</math> が存在するとき、その極限をいう {{harv|Shawyer|Watson|1994|loc=pp.16-17}}<!-- {{harv}} はインライン出典表示のためのテンプレートなので ref 外した-->。これは上で最初に述べた意味のチェザロ和を α 回繰り返し適用して得られることを表しており、 :<math>\begin{align} (\mathrm{C},\alpha)-\sum_{j=0}^\infty a_j &= \lim_{n\to\infty} \sum_{j=0}^n \frac{{n \choose j}}{{n+\alpha \choose j}} a_j\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^n\frac{\left(n-j+1\right)_\alpha}{\left(n+1\right)_\alpha}a_j \end{align}</math> のように書き直すことができる。もっと一般に、負の整数でない実数 α に対して、 ''A''<sub>''n''</sub><sup>α</sup> は以下の級数 :<math>\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}}</math> の係数として陰伏的に与えられるものとし、''E''<sub>''n''</sub><sup>α</sup> は上と同様に定める。特に ''E''<sub>''n''</sub><sup>α</sup> は冪指数が −(1 + α) であるような[[二項係数]]として得られる。このとき、Σ ''a''<sub>''n''</sub> の (C, α)-和は上述と同様に商 ''A''<sub>''n''</sub><sup>α</sup>/''E''<sub>''n''</sub><sup>α</sup> として定められる。 級数に (C,α)-和が存在すれば、それより高次のチェザロ和も存在することが言える。また、 α > −1 で (C,α)-和が存在すれば、''a''<sub>''n''</sub> = o(''n''<sup>α</sup>) であることもわかる。 == 積分のチェザロ総和法 == α > 0 とする。[[積分]] ∫<sub>0</sub><sup>∞</sup> ''f''(''x'')''dx'' が (C, α)-総和可能であるとは :<math>\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^\lambda\left(1-\frac{x}{\lambda}\right)^{\!\alpha}\! f(x)\, dx </math> が有限確定であることを言い、この極限の収束値をこの積分の (C, α)-和という {{harv|Titchmarsh|1948|loc=§1.15}}。数列の和の場合と同様に、α = 0 のとき (C,0)-総和可能性とは通常の意味での[[広義積分|無限積分]]の収束性をいうものであり、α = 1 のとき (C,1)-収束とは有限区間での積分<!-- 原文の partial integral は級数の部分和に当たる内側の積分を指していて, 最初の訳者が混同していたいわゆる部分積分 (integral by parts) とは違うもの. 偏微分に対する概念としての partial で偏積分にすればいいのかとおもったけど、やっぱ部分和 partial sum の積分版という意味での partial かなあということでこうしておく。-->の平均<!-- 外側の lambda で割って積分してる部分が相加平均の対応物（なので普通に平均と呼ばれる） -->の極限 :<math>\lim_{\lambda\to \infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^\lambda\left\{\int_0^xf(y)\, dy\right\}\,dx</math> の存在をいうに等しい。 数列の場合と同様に、α ≥ 0 に対して、ある積分が (C, α)-総和可能であれば、β ≥ α なるすべての β についてその積分は (C, β)-総和可能であり、そのチェザロ和はまったく同じ値を持つ。 == 関連項目 == *[[アーベル和]] *[[ボレル総和|ボレル総和法]] *[[オイラー和]] *[[チェザロ平均]] *[[発散級数]] *[[フェイェールの定理]] *[[リース平均]] *[[アーベルの定理とタウバーの定理]] *[[シルバーマン＝テープリッツの定理]] *[[総和法]] ==参考文献== <references/> *{{citation |last1=Shawyer|first1=Bruce|first2=Bruce|last2=Watson |title=Borel's Methods of Summability: Theory and Applications |publisher=Oxford UP |year=1994 |id=ISBN 0-19-853585-6}}. * {{citation|last=Titchmarsh|first=E|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title=Introduction to the theory of Fourier integrals|isbn=978-0828403245|year=1948|edition=2nd|publication-date=1986|publisher=Chelsea Pub. Co.|location=New York, N.Y.}}. * {{SpringerEOM|title=Cesàro summation methods|last=Volkov|first=I.I.|urlname=Cesàro_summation_methods}} * {{citation|title=Trigonometric series|first=Antoni|last=Zygmund|authorlink=Antoni Zygmund|publisher=Cambridge University Press|year=1968|publication-date=1988|isbn=978-0521358859|edition=2nd}}. {{DEFAULTSORT:ちえさろわ}} [[Category:数列]] [[Category:総和法]] [[Category:解析学]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:数学のエポニム]]
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