チェザロ平均のソースを表示

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[[数学]]における'''チェザロ平均'''（チェザロへいきん、{{lang-en-short|Cesàro mean, Cesàro average}}）とは、[[数列]]の最初の有限個の項から作られる[[算術平均]]である。[[イタリア]]の数学者[[アーネスト・チェザロ|エルネスト・チェザロ]]にちなむ。

== 定義 ==
与えられた数列 (''a''<sub>''n''</sub>) に対してその最初の ''n'' 項の[[算術平均]]

:<math>c_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i</math>

を ''n'' に依らず総称して、数列 (''a''<sub>''n''</sub>) の'''チェザロ平均'''と呼ぶ<ref name="Hardy">{{cite book | last = Hardy | first = G. H.| title = Divergent Series | publisher = American Mathematical Society | location = Providence | year = 1992 | isbn = 9780821826492 }}</ref><!--{{rp|96}}-->。各 ''n'' に対するチェザロ平均を第 ''n'' 項とする新たな数列 (''c''<sub>''n''</sub>) を考えることができる。

== 性質と応用 ==
基本的な結果<ref name="Hardy"/><!--{{rp|100-102}}-->として、
:<math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math>
ならば、
:<math>\lim_{n \to \infty} c_n = A</math>
が成立することが挙げられる。すなわち、チェザロ平均をとる操作は、[[数列の収束性]]とその極限を保存する。

このことを基にすれば、[[発散級数]]論における[[総和法]]としてチェザロ平均を利用することができる。級数 &sum; ''a''<sub>''n''</sub> の部分和の列 (''s''<sub>''n''</sub>) から作ったチェザロ平均の列 (''c''<sub>''n''</sub>) が収束するならば、もとの級数 &sum; ''a''<sub>''n''</sub> は'''チェザロ総和可能''' {{lang|en|(Cesàro summable)}} であるという。

チェザロ平均の列は収束するのにもとの数列は収束しないという例は実にたくさん存在する。例えば

:<math>a_n = (-1)^n</math>

で与えられる数列 (''a''<sub>''n''</sub>) は振動するにもかかわらず、そのチェザロ平均の列は 0 を極限にもつ（[[グランディ級数]] ([[:en:Grandi's series|en]]) も参照）。

チェザロ平均はしばしば[[フーリエ級数]]に対して用いられる<ref name="Katznelson">
{{cite book | last = Katznelson | first = Yitzhak | title = An Introduction to Harmonic Analysis | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 1976 | isbn = 9780486633312 }}
</ref>。そのような級数の和としては部分和の[[各点収束]]極限を考えるよりもチェザロ平均（を[[三角多項式]]の対称部分和を作ったものに対して適用したもの）を考えるほうがより強力だからである。このとき、チェザロ和に対応する[[積分核]]は[[フェイェール核]]となる（各点収束の場合に対応するのは[[ディリクレ核]]）。ディリクレ核が正負いずれの値もとるのに対し、フェイェール核は正値である。このことは、[[近似単位元]]の一般論に従えば、フーリエ級数の和に対するチェザロ平均の優位性を示している。

チェザロ平均の一般化のひとつは[[ストルツ＝チェザロの定理]]である。

[[リース平均]]は、より強力だが実質的に同様の総和法として[[マルツェル・リース]]によって導入された。

== 関連項目 ==
* [[チェザロ和]]

== 出典 ==
<references/>

== 外部リンク ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/CesaroMean2.html Cesaro mean at PlanetMath]
* [http://www.sosmath.com/calculus/sequence/hardlim/hardlim.html Cesaro mean at SOS Math]

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