チェバの定理のソースを表示

{{otheruses|数学の定理|このペンネームを持つパズル作家|東田大志}}
[[ファイル:Ceva's_theorem_1.svg|thumb|right|チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる]]

[[ファイル:Ceva's_theorem_2.svg|thumb|250 px|right|チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる]]

'''チェバの定理'''（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、平面[[幾何学]]の[[定理]]の1つである。定理の名は、1678年に[[ジョバンニ・チェバ]]が''De lineis rectis''を出版して証明を発表した<ref>[[#Reference-Mathworld-Ceva's Theorem|Weisstein]]</ref>のにちなむ。今判明している初出は、11世紀の[[サラゴサ]]の王で数学者 Yusuf al-Mu'taman ibn Hud[[:en:Yusuf al-Mu'taman ibn Hud|（英語版）]] の数学全書 Kitab al-lstikmalである<ref>{{Cite journal|last=Hogendijk|first=Jan P.|date=1995-02|title=Al-Mu'taman ibn Hūd, 11th century king of Saragossa and brilliant mathematician|url=https://doi.org/10.1006/hmat.1995.1001|journal=Historia Mathematica|volume=22|issue=1|pages=1–18|doi=10.1006/hmat.1995.1001|issn=0315-0860}}</ref>。 

== 定理 ==
[[三角形]]ABCにおいて、任意の点Oをとり、[[直線]]AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の[[等式]]が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

:<math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math>

== 証明の方針 ==
証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。

=== 三角形の面積比を使う証明 ===
線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する<ref>{{Harvtxt|Russell|1905|loc=Ch. 1 §7 Ceva's Theorem}}</ref>。三角形AFOと三角形BFOとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、
:<math>{AF \over FB}={\triangle AFO \over \triangle BFO}.</math>
同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、
:<math>{AF \over FB}={\triangle AFC \over \triangle BFC}.</math>
この2式より、
:<math>{AF \over FB}={\triangle AFC - \triangle AFO \over \triangle BFC - \triangle BFO}={\triangle AOC \over \triangle BOC}.</math>

三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、
:<math>{BD \over DC}={\triangle BDO \over \triangle CDO}.</math>
同様にして、三角形BDAと三角形CDAとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、
:<math>{BD \over DC}={\triangle BDA \over \triangle CDA}.</math>
この2式より、
:<math>{BD \over DC}={\triangle BDA - \triangle BDO \over \triangle CDA - \triangle CDO}={\triangle BOA \over \triangle COA}.</math>

三角形CEOと三角形AEOとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、
:<math>{CE \over EA}={\triangle CEO \over \triangle AEO}.</math>
同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、
:<math>{CE \over EA}={\triangle CEB \over \triangle AEB}.</math>
この2式より、
:<math>{CE \over EA}={\triangle CEB - \triangle CEO \over \triangle AEB - \triangle AEO}={\triangle COB \over \triangle AOB}.</math>

すなわち、定理の左辺は
:<math>{\triangle AOC \over \triangle BOC} \cdot {\triangle BOA \over \triangle COA} \cdot {\triangle COB \over \triangle AOB}</math>
であるので1に等しい。

=== メネラウスの定理を使う証明 ===
チェバの定理は[[メネラウスの定理]]を使って容易に証明できる<ref>{{Harvtxt|Hopkins|1902|loc=Art. 986}}</ref>。
三角形ACFに対して線分BOEが交差するので、メネラウスの定理より、
: <math>\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>
が成り立つ。三角形BCFに対して線分AODが交差するので、メネラウスの定理より、
: <math>\frac{BA}{AF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1.</math>
チェバの定理はこの2つの式の比を計算することで導くことができる。

== 逆 ==
チェバの定理の[[逆]]もまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、

:<math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math>

が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは1点で交わるか、または3直線AD・BE・CFは平行である。ここで、「平行」を「無限遠点で交わる」と解釈すれば、「3直線AD・BE・CFは1点で交わる」と結論づけることができる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Citation|first=George Irving|last=Hopkins|year=1902|title=Inductive plane geometry|publisher=D.C. Heath & Co.}}
*{{Citation|last=Russell|first=John Wellesley|year=1905|title=Pure Geometry|publisher=Clarendon Press|url=https://books.google.co.jp/books?id=r3ILAAAAYAAJ&redir_esc=y&hl=ja}}

== 関連項目 ==
{{Commons|Ceva's theorem}}
*[[三角形の中心]]
*[[メネラウスの定理]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|チェバの定理|2=[[柴田敏男]]}}
*{{高校数学の美しい物語|656|チェバの定理：例題と３通りの証明}}
*{{YouTube|_2LxCpmmJyc|チェバの定理とは【高校数学Ａ】}}
*{{MathWorld|title=Ceva's Theorem|urlname=CevasTheorem}}

{{DEFAULTSORT:ちえはのていり}}
[[Category:三角形に関する定理]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:証明を含む記事]]