チェビシェフ多項式のソースを表示

{{翻訳直後|[http://planetmath.org/chebyshevpolynomial planetmath chebyshevpolynomial v11 (2013-03-22)]より翻訳|date=2013年7月}}
[[File:Chebyshev Polynomials of the First Kind.svg|thumb|300px|最初の5つの第一種チェビシェフ多項式 ''T''<sub>''n''</sub>(''x''), (&minus;1≤''x''≤+1, ''n''=0,...,4)]]
第一種'''チェビシェフ多項式'''（{{lang-en-short|Chebyshev polynomials of the first kind}}）は、以下の式で定義される<ref name="sp">時弘哲治、工学における特殊関数、[[共立出版]]、2006年。</ref>:
:<math>T_n(x)=\cos(nt),</math> ただし ''x'' = cos ''t''

これは[[三角多項式]]（{{en|trigonometric polynomial}}）、[[直交多項式]]の一例である<ref name="sp"/>。

これはcos(''kt'')を[[コサイン]]の加法定理を用いてcos(''t'')の[[多項式]]で表したものと見ることができる。
<!--This can be seen to be a polynomial by expressing $\cos(kt)$ as a polynomial of $\cos(t)$, by using the formula for cosine of angle-sum:-->

:<math>
\begin{align}
\cos 1t & = \cos t, \\
\cos 2t & = 2 \cos^2 t - 1, \\
\cos 3t & = 4 \cos^3 t - 3 \cos t, \dots
\end{align}
</math>

従って、以下の式を得る。
:<math>
\begin{align}
T_0(x)& = 1, \\
T_1(x)& = x, \\
T_2(x)& = 2x^2-1, \\
T_3(x)& = 4x^3-3x, \dots
\end{align}
</math>

これらの多項式は次の三項[[漸化式]]に従うことがわかる。

:<math>T_{n+1}(x) = 2xT_n(x)-T_{n-1}(x)</math> （ただし''n'' = 1, 2, …）

[[File:Chebyshev Polynomials of the Second Kind.svg|thumb|300px|最初の5つの第二種チェビシェフ多項式 ''U''<sub>''n''</sub>(''x''), (&minus;1≤''x''≤+1, ''n''=0,...,4)]]
第二種チェビシェフ多項式（{{lang-en-short|Chebyshev polynomials of the second kind}}）は<math>U_{n-1}(\cos t) = \sin n t / \sin t</math>によって定義される。
これは先ほどと同様の議論または<math>n U_{n-1}(t) = T'_n(t)</math> の関係を用いれば類似した多項式と見ることができる。

従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。
:<math>
\begin{align}
U_0(x)& = 1, \\
U_1(x)& = 2x, \\
U_2(x)& = 4x^2-1, \\
U_3(x)& = 8x^3-4x, \dots
\end{align}
</math>

''T'' と同じ三項漸化式が ''U'' にも成りたち、

:<math>U_{n+1}(x) \;=\; 2xU_n(x)-U_{n-1}(x)</math> （ただし''n'' = 1, 2, …）

となる。

''この記事は、[[Wikipedia:Text of Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License|クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植]]のもと提供されているオンライン数学辞典『[[PlanetMath]]』の項目[http://planetmath.org/chebyshevpolynomial Chebyshev polynomial]の本文を含む''
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== 性質 ==
* 次の[[母関数]]により定義される<ref name="sp"/>：
::<math>\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}</math>
::<math>\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}</math>
* 次の[[常微分方程式]]（[[チェビシェフ方程式|チェビシェフの微分方程式]]）を満たす<ref name="sp"/>：
::<math>(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0\quad\text{ for }y=T_n(x)</math>
::<math>(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0\quad\text{ for }y=U_n(x)</math>

=== 多項式 ===
チェビシェフ多項式は[[ゲーゲンバウアー多項式]]の特別な場合である<ref>岩波数学公式III, p. 86.</ref>。
{{Indent|<math>T_n ( x ) = \frac{ n }{ 2 } \lim_{\nu \to 0} \Gamma ( \nu ) C_n^{(\nu)} ( x )</math>}}
特に、<math>T_n</math> は <math>n</math> 次多項式であり、最高次の項の係数は <math>n \geq 1</math> のとき <math>2^{n - 1}</math> である<ref name="#1">Gil, Segura & Temme, p. 57.</ref>。また偶奇性 
{{Indent|<math>T_n ( - x ) = ( - 1 )^n T_n ( x )</math>}}
を持つ<ref>岩波数学公式III, p. 88.</ref>。

=== 零点と極値 ===
第1種チェビシェフ多項式 <math>T_n ( x )</math> は[[区間 (数学)|区間]] <math>( -1, +1 )</math> に <math>n</math> 個の零点を持つ。その座標は
{{Indent|<math>x_k = \cos \frac{ 2 k + 1 }{ 2 n } \pi \quad (k = 0, 1, \dots, n-1)</math>}}
である<ref name="#1"/>。これを{{ill|チェビシェフノード|en|Chebyshev node}}と呼ぶ。

<math>T_n ( x )</math> (<math>n \geq 1</math>) は区間 <math>[ -1, +1 ]</math> に <math>n + 1</math> 個の極値点を持ち（そのうちの二点は区間の両端）、その座標は
{{Indent|<math>x'_k = \cos \frac{k \pi}{n} \quad ( k = 0, 1, \dots, n)</math>}}
である<ref name="#1"/>。またその極点値は <math>T_n ( x'_k ) = ( - 1 )^k</math> を満たす<ref name="#1"/>。従ってチェビシェフ多項式の区間 <math>[ -1, +1 ]</math> での[[一様ノルム]]は <math>1</math> である。

=== 直交性 ===
第1種チェビシェフ多項式は区間 <math>[ -1, 1 ]</math>, 重み <math>w ( x ) = 1 / \sqrt{ 1 - x^2 }</math> に関する[[直交多項式]]である。すなわち、直交関係
{{Indent|<math>\int_{-1}^{+1} T_n ( x ) T_m ( x ) \frac{ dx }{ \sqrt{ 1 - x^2 } } = N_n \delta_{n m}</math>}}
を満足する<ref>岩波数学公式III, p. 90.</ref>。ただし <math>N_0 = \pi</math>, <math>N_n = \pi / 2</math> (<math>n \geq 1</math>) である。同様に、第2種チェビシェフ多項式は区間 <math>[ -1, 1 ]</math>, 重み <math>w ( x ) = \sqrt{ 1 - x^2 }</math> に関する直交多項式であり、直交関係
{{Indent|<math>\int_{-1}^{+1} U_n ( x ) U_m ( x ) \sqrt{ 1 - x^2 } dx = \frac{ \pi }{ 2 } \delta_{n m}</math>}}
を満足する<ref>{{Cite web |url=https://dlmf.nist.gov/18.3 |title=Classical Orthogonal Polynomials |accessdate=2021-01-21}}</ref>。

また、第1種チェビシェフ多項式について離散的な直交関係が知られている。<math>x_k</math> を <math>T_n ( x )</math> (<math>n \geq 1</math>) の <math>n</math> 個の零点とするとき, <math>i, j < n</math> に対して離散直交関係
{{Indent|<math>\sum_{k = 0}^{n-1} T_i ( x_k ) T_j ( x_k ) = K_i \delta_{i j}</math>}}
が成立する<ref>Gil, Segura & Temme, p. 59.</ref>。ただし <math>K_0 = n</math>, <math>K_i = n / 2</math> (<math>i \geq 1</math>) である。この性質は[[チェビシェフ補間]]において有用である<ref>Gil, Segura & Temme, p. 64.</ref>。

=== 漸化式 ===
微分を含む漸化式<ref name="#2">Gil, Segura & Temme, p. 58.</ref>
{{Indent|<math>(1 - x^2) T'_n ( x ) = n \left[ x T_n ( x ) - T_{n+1} ( x ) \right]</math>}}
乗法関係<ref name="#2"/>
::{{Indent|<math>2 T_n ( x ) T_m ( x ) = T_{n + m} ( x ) + T_{|n - m|} ( x )</math>}}

==応用==
===チェビシェフ補間===
{{main|{{ill2|チェビシェフ補間|en|Chebyshev nodes|ru|Узлы Чебышёва}}}}
{{seealso|多項式補間}}
===共役勾配法の誤差限界===
{{main|共役勾配法}}
[[数値線形代数]]における[[共役勾配法]]の誤差限界はチェビシェフ多項式を用いて表されることが示されている<ref>Axelsson, O., & Barker, V. A. (1984). Finite element solution of boundary value problems: theory and computation. [[:en:Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]].</ref>。

===ガウス-チェビシェフ公式===
{{main|ガウス求積}}
ガウス-チェビシェフ公式はチェビシェフ多項式の[[零点]]を用いる[[数値積分]]公式であり、[[ガウス求積]]の一種である<ref>Weisstein, Eric W. "Chebyshev-Gauss Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Chebyshev-GaussQuadrature.html</ref>。
===クレンショ―＝カーティス求積===
{{main|{{ill2|クレンショ―＝カーティス求積|en|Clenshwa-Curtis quadrature}}}}
チェビシェフ多項式を用いる[[数値積分]]法の一種である<ref>C. W. Clenshaw and A. R. Curtis "A method for numerical integration on an automatic computer [[:en:Numerische Mathematik]] 2, 197 (1960).</ref><ref>Trefethen, Lloyd N. (2008). "Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis?". [[:en:Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] Review. 50 (1): 67–87. CiteSeerX 10.1.1.157.4174. doi:10.1137/060659831.</ref><ref> J. P. Imhof, "On the Method for Numerical Integration of Clenshaw and Curtis", [[:en:Numerische Mathematik]] 5, p. 138-141 (1963).</ref>。

==出典==
{{reflist |2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |和書 |author1=森口繁一 |author2=宇田川銈久 |author3=一松信 |title=岩波数学公式III 特殊函数 |publisher=岩波書店 |date=1987 |isbn=4-00-005509-7}}
* {{Cite book |first1=Amparo |last1=Gil |first2=Javier |last2=Segura |first4=Nico M. |last3=Temme |title=Numerical Methods for Special Functions |date=2007 |isbn=978-0-89871-634-4 |doi=10.1137/1.9780898717822 |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics}}
* {{Cite book |last1=Mason |first1=John |last2=Handscomb |first2=David |title=Chebyshev Polynomials |date=2003 |publisher=Chapman & Hall/CRC |isbn=0-8493-0355-9}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
* [[楕円有理関数]]
* [[ディクソン多項式]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|729|チェビシェフ多項式}}
* [http://www.allisone.co.jp/html/Notes/Mathematics/Function/Chebyshev-polynomials/Chebyshev-polynomials.html チェビシェフ多項式の計算法]
* [https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/69/69-3.pdf チェビシェフの多項式とn倍角の公式]
* [https://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/chebyshev-polinomo.html.ja チェビシェフの多項式]
* [https://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/js/chebyshev-polinomo.html.ja チェビシェフの多項式の実装]
* {{MathWorld|title=Chebyshev Polynomial of the First Kind|urlname=ChebyshevPolynomialoftheFirstKind}}
* {{MathWorld|title=Chebyshev Polynomial of the Second Kind|urlname=ChebyshevPolynomialoftheSecondKind}}
* [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0377042793901485 J. C. Mason: "Chebyshev polynomials of the second, third and fourth kinds in approximation, indefinite integration, and integral transforms", Journal of Computational and Applied Mathematics vol.49 (1993) pp.169-178. ]


{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ちえひしえふたこうしき}}
[[Category:直交多項式]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:パフヌティ・チェビシェフ]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]