チェビシェフ方程式のソースを表示

{{出典の明記| date = 2023年6月}}
'''チェビシェフ方程式'''（チェビシェフほうていしき、{{lang-en|''Chebyshev equation''}}）は、''p'' を実定数とする二階線型[[常微分方程式]]

:<math>(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0 </math>

のことである。方程式の名称は、[[ロシア]]の数学者[[パフヌティ・チェビシェフ]]にちなむ。

この方程式の解の全体は、[[冪級数]]
:<math>y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math>
で、その各係数が[[漸化式]]
:<math> a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n</math>
によって与えられるものの全体として得られる。上述の級数は漸化式に対して[[ダランベールの収束判定法]]を用いることにより、''x'' &isin; [&minus;1, 1] において収束することが示される。この漸化式は勝手な ''a''<sub>0</sub> および ''a''<sub>1</sub> を初期値にとれる。それゆえ、二階方程式から生じる二次元の解空間が上記の冪級数解全体として得られるのである。通常は

* ''a''<sub>0</sub> = 1, ''a''<sub>1</sub> = 0 のときの解<div style="margin: 1ex 0 2ex 2em;"><math>F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots </math></div>
および
* ''a''<sub>0</sub> = 0, ''a''<sub>1</sub> = 1 のときの解<div style="margin: 1ex 0 2ex 2em;"><math>G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots </math></div>
を選び、一般解はこの2つの任意の[[線型結合]]で与えられる。

''p'' が[[整数]]ならば、2つの関数のいずれか一方はその和が有限個の項で終わる（''p'' が[[偶数]]なら ''F'' の、''p'' が[[奇数]]なら ''G'' の項がたかだか有限個である）。このとき関数は''p''-次多項式（もちろん全域で収束する）となる。また、この多項式は[[チェビシェフ多項式]]に比例する。すなわち、

:<math>T_p(x) = (-1)^{p/2}\ F(x)\,</math> （''p''が偶数の場合）
:<math>T_p(x) = (-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,</math> （''p''が奇数の場合）

{{PlanetMath attribution|title=Chebyshev equation|id=33616}}

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