チャンパーノウン定数のソースを表示

{{複数の問題
| 脚注の不足 =2024-10
| 出典の明記 =2024-10
| 独自研究 =2024-10
}}
[[画像:David Champernowne.jpg|thumb|デヴィッド・チャンパーノウン]]
'''チャンパーノウン定数'''（チャンパーノウンていすう、{{lang-en-short|Champernowne constant}}）は、[[数学定数]]の一つで、[[0]] と[[小数点]]のあとに[[自然数]]を [[1]] から小さい順に並べた十進小数表示をもつ[[実数]]
:''C''{{sub|10}} = 0.1234567891011121314151617…（{{OEIS|A033307}}）
である。名前の由来の{{仮リンク|デヴィッド・チャンパーノウン|en|D. G. Champernowne}} は、この数が十進[[正規数]]であることを示した[[経済学者]]である。

== 数学的性質 ==
この定数 ''C''{{sub|10}} は単純な形で定められるにもかかわらず[[無理数]]であり、[[超越数]]でもある。''C''{{sub|10}} は
:<math>\textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sum\limits_{k=10^{n-1}}^{10^n-1} k \times 10^{-n \{ k-( 10^{n-1} -1) \}}}{10^{\sum\limits_{k=0}^{n-1} k \times 9 \cdot 10^{k-1}}}</math>
と表すこともできる。また、この数の[[連分数]]表示は
: [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, ''K'', …]（{{OEIS|id=A030167}}）
と書ける。ここで19番目の数 ''K'' は166桁の数
:4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987
である。連分数表示においてこのような大きい数が現れるということはこの連分数を数値計算する際に大きな負荷がかかることになるが、一方でこの19番目の数 ''K'' を付け加えた際に[[近似値|近似]]精度が大きく向上することにもなる。実際、
: ''C''{{sub|10}} − [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15] ≈ −9 ×10{{sup|−190}}
: ''C''{{sub|10}} − [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, ''K''] ≈ 3 ×10{{sup|−356}}
となり、''K'' を含めることによって近似精度が 166桁分向上することになる。

{{sfrac|1111111111|9000000000}} = 0.123456790<u>111</u>… や {{sfrac|10|81}} = <u>0.12345679</u>… はチャンパーノウン定数に比較的近い（下線部は循環節）。実際 {{sfrac|10|81}} は主近似分数の一つ [0; 8, 9, 1] である。

1933年、チャンパーノウンはこの数が十進[[正規数]]であることを示した。他の[[記数法|基数]]に関して正規か否かは分かっていない。

0.4938271564044485256606… は、一見すると何の変哲もない無理数のようだが、これは実際のところチャンパーノウン定数を4倍して得られる数である。このように、規則性があるこの数に[[乗法]]や[[累乗]]などの演算をほどこすとその規則性が消えて（見えなくなって）しまう。<!--

この数も十進正規数であり、すなわち小数部分は統計的な意味で[[乱数]]である。元のチャンパーノウン定数よりは乱数として優秀であると考えられるが、簡単な規則で作られる数であるということで、厳密な意味で乱数とは言えない。

[[プログラミング]]において、[[疑似乱数]]発生器の実装に際して、12345…といった整数値が定数項に使用される例がままあり、チャンパーノウン定数の乱数性を効果的に利用していると言えるだろう。--><!--

前の段落、「乱数列であれば、正規数でなければならない」とは言えるが、逆は言えない。従ってここで言っていることはおかしい。

後の段落、おそらく「X(n) = ( X(n-1) * 1103515245 + 12345 ) mod 2**32」のような線型合同法（特に、混合合同法）のことを指しているのだと思うが、この「12345」の部分が、他の奇数と比べて、そうすることによって何か特に優れた性質を持つ、という話は無いと思う。線型合同法において、この「12345」の部分は、得られる乱数の質について最も影響しない部分だったはず。-->

== 類似の数 ==
* 他の[[記数法|進法]]で同様の数を考えることができる。例えば、二進法に関するチャンパーノウン定数 ''C''{{sub|2}} は 0.11011100101110111…{{sub|(2)}}（{{OEIS2C|id=A030190}}）であり、十進法で表記すると 0.86224012586805457… ({{OEIS2C|id=A066716}}) である。この数は二進正規数である。一般に、''r'' 進法に関するチャンパーノウン定数 ''C{{sub|r}}'' は、基数 ''r'' に関して正規である。
一般に {{math2|''m'' ≥ 2}} である任意の整数 {{mvar|m}} について、{{mvar|m}}進チャンパーノウン定数は以下の式で表せる。
:<math>C_m = \textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{m^{n+ \sum\limits_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \log_m(k+1) \right\rfloor}}</math>
なお、空和は 0 と定義する。
* [[コープランド–エルデシュ定数]]は 0. の後に[[素数]]を小さい方から順に並べた表示をもつ数である。
* [[リウヴィル数]]は、歴史上最初に超越数であることが示された数で、小数第 ''n'' [[階乗|!]] 位が 1、その他は 0 という小数表示を持つ数である。

== 関連項目 ==
* [[正規数]]
* [[無理数]]
* [[超越数]]

== 参考文献 ==
* D. G. Champernowne, ''The construction of decimals normal in the scale of ten'', Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
* K. Mahler, ''Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen'', Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p. 421-428. 
* Rytin, M. ''Champernowne Constant and Its Continued Fraction Expansion'', (1999), http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/2876/

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|2281|チャンパーノウン定数}}

{{DEFAULTSORT:ちやんはあのうんていすう}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]