チャーン類のソースを表示

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[[数学]]では、特に[[代数トポロジー]]や[[微分幾何学|微分位相幾何学]]や[[代数幾何学]]では、'''チャーン類'''(Chern classes)は[[複素ベクトル束]]に付随する[[特性類]]である。

チャーン類は、{{harvs|txt|authorlink=陳省身|first=Shiing-Shen|last=Chern|year=1946}} で導入された。

== 幾何学的アプローチ ==
=== 基本的アイデアと動機 ===

チャーン類は[[特性類]]である。チャーン類は滑らかな多様体のベクトル束に付随する[[位相幾何学#位相的性質|位相不変量]]である。2つの表向きは異なるベクトル束が同じか否かという疑問は、答えることが非常に難しい。チャーン類は、簡単な検証法を提供する。もし2つのベクトル束のチャーン類が一致しなければ、ベクトル束は異なる。しかし、逆は正しくはない。

トポロジーや微分幾何学や代数幾何学では、しばしば、ベクトル束がいくつの[[線型独立]]な切断を持つのかを数えることが重要となる。チャーン類は、例えば[[リーマン・ロッホの定理]]や[[アティヤ・シンガーの指数定理]]を通して、線型独立な切断の数についていくつかの情報をもたらす。

チャーン類は、実用的な計算にとっても妥当性を持っている。微分幾何学では（また、ある種の代数幾何学では）、チャーン類は[[曲率形式]]の係数の多項式として表すことができる。

=== チャーン類の構成 ===

この問題へのアプローチには数々の方法があり、それらの各々はチャーン類の少しずつ異なる側面に焦点を当てている。

チャーン類への元々のアプローチは、[[代数トポロジー]]を通してであった。チャーン類は、[[分類空間]]への V からの写像（この場合には、無限{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}}(Grassmannian)である）を提供する[[ホモトピー|ホモトピー論]]を通して発生する。多様体上の任意のベクトル束 V は、分類空間の上の普遍束の引き戻しとして実現される。従って、V のチャーン類は、普遍束のチャーン類の引き戻しとして定義することができる。これらの普遍チャーン類は{{仮リンク|シューベルトサイクル|en|Schubert cycle}}(Schubert cycle)によって、明示的に書き下すことができる。

チャーンのアプローチは、微分幾何学を使っていて、この記事において主として述べられる曲率のアプローチを使っていた。彼は以前の定義が実は彼の定義と同値であることを示した。

[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexander Grothendieck)のアプローチもあり、彼は[[線束]]の場合の定義のみが公理論的に必要であることを示した。

チャーン類は[[代数幾何学]]で自然に発生した。代数幾何学での一般化されたチャーン類は、任意の非特異多様体の上のベクトル束（さらに詳しくは、[[局所自由層]]）に対して定義することができる。代数幾何学的なチャーン類は、基礎となる多様体が何らかの特別な性質を持っていることを要求しない。特に、ベクトル束は複素数である必要はない。

特別なことを考えずに、チャーン類の直感的な意味をベクトル束の{{仮リンク|切断 (圏論)|en|Section (category theory)|label=切断}}(section)の｢ゼロ点を要求する｣ことに関係付ける。例えば、髪の毛の生えたボールを櫛で完全にとかすことはできないという定理のようなものです（{{仮リンク|毛の生えたボールの定理|en|hairy ball theorem}}(hairy ball theorem)）。<ref>偶数次元の球面上（例えば 2次元球面の上のベクトル場（髪の毛）には特異点（つむじ）があるという定理</ref>これは厳密に言うと、'''実''' ベクトル束（ボールの上の｢髪の毛｣は、実際には直線のコピーである）についての質問であるにもかかわらず、髪の毛が複素数である場合、あるいは他の多くの場の上の 1-次元射影空間に対し、一般化できる（以下の複素数の髪の毛のボールの定理の例を参照）。

さらなる議論は[[チャーン・サイモンズ理論]]を参照。
<!--=== Construction of Chern classes ===

There are various ways of approaching the subject, each of which focuses on a slightly different flavor of Chern class.

The original approach to Chern classes was via algebraic topology: the Chern classes arise via [[homotopy theory]] which provides a mapping associated to ''V'' to a [[classifying space]] (an infinite [[Grassmannian]] in this case). Any vector bundle ''V'' over a manifold may be realized as the pullback of a universal bundle over the classifying space, and the Chern classes of ''V'' can therefore be defined as the pullback of the Chern classes of the universal bundle; these universal Chern classes in turn can be explicitly written down in terms of [[Schubert cycle]]s.

Chern's approach used differential geometry, via the curvature approach described predominantly in this article. He showed that the earlier definition was in fact equivalent to his.

There is also an approach of [[Alexander Grothendieck]] showing that axiomatically one need only define the line bundle case.

Chern classes arise naturally in [[algebraic geometry]].  The generalized Chern classes in algebraic geometry can be defined for vector bundles (or more precisely, [[locally free sheaves]]) over any nonsingular variety.  Algebro-geometric Chern classes do not require the underlying field to have any special properties.  In particular, the vector bundles need not necessarily be complex.

Regardless of the particular paradigm, the intuitive meaning of the Chern class concerns 'required zeroes' of a [[Section (category theory)|section]] of a vector bundle: for example the theorem saying one can't comb a hairy ball flat ([[hairy ball theorem]]).  Although that is strictly speaking a question about a ''real'' vector bundle (the "hairs" on a ball are actually copies of the real line), there are generalizations in which the hairs are complex (see the example of the complex hairy ball theorem below), or for 1-dimensional projective spaces over many other fields.

See [[Chern–Simons]] for more discussion.-->

== 線束のチャーン類 ==

:層の理論での記述は、[[指数層系列]]を参照。

V が[[線束]]のときが、非常に重要な場合である。非自明なチャーン類のみが第一チャーン類であり、X の二次コホモロジー群の元のことである。チャーン類の先頭として、第一チャーン類は線束の[[オイラー類]]に等しい。

トポロジー的には、第一チャーン類は、複素線束の分類に使う{{仮リンク|完備不変量|en|complete invariant}}(complete invariant)である。すなわち、X の上の線束の同型類と H<sup>2</sup>(X;Z) の元の間には[[全単射]]が存在し、第一チャーン類を線束とを結び付ける。<ref>{{cite book|last1=Tu|first1=Raoul Bott ; Loring W.|title=Differential forms in algebraic topology|date=1995|publisher=Springer|location=New York [u.a.]|isbn=3-540-90613-4|page=267ff|edition=Corr. 3. print.}}</ref>

代数幾何学では、このチャーン類による複素線束の（同型類の）分類は、[[因子 (代数幾何学)|因子]]の[[:en:linear equivalence|線型同値]](linear equivalence)類による正則線束の（同型類の）分類に、実際には非常に近い存在である。

次元が 1 よりも大きな複素ベクトル束では、チャーン類は完備不変量ではない。
<!--== The Chern class of line bundles ==

{{for|a sheaf theoretic description|Exponential sheaf sequence}}

An important special case occurs when ''V'' is a [[line bundle]]. Then the only nontrivial Chern class is the first Chern class, which is an element of the second cohomology group of ''X''. As it is the top Chern class, it equals the [[Euler class]] of the bundle.

The first Chern class turns out to be a [[complete invariant]] with which to classify complex line bundles, topologically speaking. That is, there is a [[bijection]] between the isomorphism classes of line bundles over ''X'' and the elements of ''H''<sup>2</sup>(''X'';''Z''), which associates to a line bundle its first Chern class. Addition in the second dimensional cohomology group coincides with [[tensor product]] of complex line bundles.<ref>{{cite book|last1=Tu|first1=Raoul Bott ; Loring W.|title=Differential forms in algebraic topology|date=1995|publisher=Springer|location=New York [u.a.]|isbn=3-540-90613-4|page=267ff|edition=Corr. 3. print.}}</ref>

In algebraic geometry, this classification of (isomorphism classes of) complex line bundles by the first Chern class is a crude approximation to the classification of (isomorphism classes of) holomorphic line bundles by [[linear equivalence]] classes of [[divisor]]s.

For complex vector bundles of dimension greater than one, the Chern classes are not a complete invariant.-->

==チャーン・ヴェイユ理論でのチャーン類==

[[微分可能多様体]] M の上の[[ベクトル束#定義および定義からただちに証明されること|複素ランク]]（複素階数） n の[[エルミート計量|エルミート]]である複素[[ベクトル束]] V が与えられると、V の各々のチャーン類の表現（チャーン形式とも言う） c<sub>k</sub>(V) は、V の[[曲率形式]] Ω の[[固有多項式|特性多項式]]を係数として与えられる。

:<math>\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k</math>

この行列式は、M 上の偶数の[[複素微分形式]]の可換代数に係数を持つ t の多項式を、各々の要素として持つ n × n 行列の環である。V の曲率形式 Ω は次のように定義される。

: <math>\Omega=d\omega+\tfrac{1}{2}[\omega,\omega]</math>

ここに、ω [[接続形式]]であり、d を[[微分形式#外微分|外微分]]である。さらに、ω を V の[[ゲージ群]]の{{仮リンク|ゲージ形式|en|gauge form}}として表すこととする。ここでは、スカラー t は行列式からの和を[[母函数|生成]]する[[不定元]]であり、I は n × n [[単位行列]]を表すとする。

与えられた表現がチャーン類を'''表している'''ということは、[[ポアンカレの補題#導入|完全形式]]を加えること[[違いを除いて]]、ここでは「類」を意味する。すなわち、チャーン類は、[[ド・ラームコホモロジー]]の意味で[[コホモロジー類]]である。チャーン形式のコホモロジー類が、V の接続の選択には依存していないことを示すことができる。

行列の等式 tr(ln(X))=ln(det(X)) と ln(X + I) のマクローリン級数を使うと、このチャーン類の展開は次のようになる。

:<math>\sum_k c_k(V) t^k = \left[ I 
       + i \frac{\mathrm{tr}(\Omega)}{2\pi} t 
       +   \frac{\mathrm{tr}(\Omega^2)-\mathrm{tr}(\Omega)^2}{8\pi^2} t^2
       + i \frac{-2\mathrm{tr}(\Omega^3)+3\mathrm{tr}(\Omega^2)\mathrm{tr}(\Omega)-\mathrm{tr}(\Omega)^3}{48\pi^3} t^3
       + \cdots
       \right]\ .</math>
<!--==The Chern class in [[Chern–Weil theory]]==

Given a complex [[Hermitian metric|hermitian]] [[vector bundle]] ''V'' of [[vector bundle|complex rank]] ''n'' over a [[smooth manifold]] ''M'', a representative of each Chern class (also called a '''Chern form''') ''c<sub>k</sub>''(''V'') of ''V'' are given as the coefficients of the [[characteristic polynomial]] of the [[curvature form]] Ω of ''V''.

:<math>\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k</math>

The determinant is over the ring of ''n'' × ''n'' matrices whose entries are polynomials in ''t'' with coefficients in the commutative algebra of even complex differential forms on ''M''.  The [[curvature form]] Ω of ''V'' is defined as

: <math>\Omega=d\omega+\tfrac{1}{2}[\omega,\omega]</math>

with ω the [[connection form]]  and ''d'' the [[exterior derivative]], or via the same expression in which ω is a [[gauge form]] for the [[gauge group]] of ''V''.  The scalar ''t'' is used here only as an [[indeterminate (variable)|indeterminate]] to [[generating function|generate]] the sum from the determinant, and ''I'' denotes the ''n'' × ''n'' [[identity matrix]].

To say that the expression given is a ''representative'' of the Chern class indicates that 'class' here means [[up to]] addition of an [[exact differential form]]. That is, Chern classes are [[cohomology class]]es in the sense of [[de Rham cohomology]].  It can be shown that the cohomology class of the Chern forms do not depend on the choice of connection in ''V''.

Using the matrix identity tr(ln(''X''))=ln(det(''X'')) and the Maclaurin series for ln(''X''+''I''), this expression for the Chern form expands as

:<math>\sum_k c_k(V) t^k = \left[ I 
       + i \frac{\mathrm{tr}(\Omega)}{2\pi} t 
       +   \frac{\mathrm{tr}(\Omega^2)-\mathrm{tr}(\Omega)^2}{8\pi^2} t^2
       + i \frac{-2\mathrm{tr}(\Omega^3)+3\mathrm{tr}(\Omega^2)\mathrm{tr}(\Omega)-\mathrm{tr}(\Omega)^3}{48\pi^3} t^3
       + \cdots
       \right].</math>-->

== 例 ==

===例：リーマン球面の複素接束===

'''CP'''<sup>1</sup> を[[リーマン球面]]とすると、'''CP'''<sup>1</sup> は 1-次元[[複素射影空間]]である。z をリーマン球面の[[正則]]な局所座標であると仮定する。a を複素数として、V = T'''CP'''<sup>1</sup> を各々の点で a∂/∂z の形式を持つ複素接ベクトルのベクトル束とする。'''{{仮リンク|髪の毛の定理|en|hairy ball theorem}}'''(hairy ball theorem)の複素数のバージョン、つまり V はいかなる場所でもゼロとはならないような切断を持たないことを証明する。

このために次の事実を必要とする。自明ベクトル束の第一チャーン類はゼロである。

: <math>c_1({\mathbf C\mathbf P}^1\times {\mathbf C})=0</math>

このことは自明ベクトル束は常に平坦接続を持つという事実によって示される。

従って、

:<math>c_1(V) \not= 0</math>

を示すことにする。[[ケーラー計量]]を考える。

:<math>h = \frac{dzd\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math>

曲率 2-形式が

:<math>\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math>

により与えられることを示すことができる。さらに第一チャーン類の定義により、

:<math>c_1= \left[\frac{i}{2\pi} \mathrm{tr} \ \Omega\right]</math>

である。このコホモロジー類がゼロではないことを示す必要がある。このためには、リーマン球面上の積分を計算すればよい。[[極座標]]へ変換した後では、

:<math>\int c_1 dz\wedge d\bar{z} =\frac{i}{\pi}\int \frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=2</math>

となる。[[ストークスの定理]]により、[[ポアンカレの補題|完全形式]]は積分すると 0 でなければならないので、コホモロジー類はゼロではあり得ない。

これで T'''CP'''<sup>1</sup> が自明ベクトル束ではありえないことが証明された。

=== 複素射影空間 ===
層の完全系列
:<math>0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(1)^{\oplus (n+1)} \to T\mathbb{C}P^n \to 0</math>
が存在する<ref>この系列は{{仮リンク|オイラー系列|en|Euler sequence}}(Euler sequence)と呼ばれることもある。</ref>。ここに <math>\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n} </math> は構造層（つまり自明ベクトル束）であり、<math>\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(1)</math> は{{仮リンク|セールのツイスト層|en|Serre's twisting sheaf}}(Serre's twisting sheaf)（つまり、{{仮リンク|超平面バンドル|en|hyperplane bundle}}(hyperplane bundle)である。<!-- explain how to get the sequence. -->

全チャーン類 ''c'' = 1 + ''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub> + …  の加法性（つまり、ホイットニーの和公式）
:<math>c(\mathbb{C}P^n) \overset{\mathrm{def}}= c(T\mathbb{C}P^n) = c(\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(1))^{n+1}= (1+a)^{n+1}</math>,
が成り立つ。ここに ''a'' はコホモロジー群 <math>H^2(\mathbb{C}P^n, \mathbb{Z})</math> の標準的生成子（つまり、''E''<sup>*</sup> を ''E'' の双対としたとき、 <math>c_1(E^*) = -c_1(E)</math> であることに注意して、トートロジー線束 <math>\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(-1)</math> の第一チャーン類の負の部分である）。

特に、任意の ''k'' ≥ 0 に対し、
:<math>c_k(\mathbb{C} P^n) = \binom{n+1}{k} a^k</math>
となる。
<!--===Complex projective space ===
There is an exact sequence of sheaves:<ref>The sequence is sometimes called the [[Euler sequence]].</ref>
:<math>0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(1)^{\oplus (n+1)} \to T\mathbb{C}P^n \to 0</math>
where <math>\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n} </math> is the structure sheaf (i.e., the trivial line bundle) and <math>\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(1)</math> is [[Serre's twisting sheaf]] (i.e., the [[hyperplane bundle]].)

By the additivity of total Chern class ''c'' = 1 + ''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub> + … (i.e., the Whitney sum formula),
:<math>c(\mathbb{C}P^n) \overset{\mathrm{def}}= c(T\mathbb{C}P^n) = c(\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(1))^{n+1}= (1+a)^{n+1}</math>,
where ''a'' is the canonical generator of the cohomology group <math>H^2(\mathbb{C}P^n, \mathbb{Z})</math>; i.e., the negative of the first Chern class of the tautological line bundle <math>\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(-1)</math> (note: <math>c_1(E^*) = -c_1(E)</math> when ''E''<sup>*</sup> is the dual of ''E''.)

In particular, for any ''k'' ≥ 0,
:<math>c_k(\mathbb{C} P^n) = \binom{n+1}{k} a^k.</math>-->

== チャーン多項式 ==
チャーン多項式は、チャーン類を扱い、系統的に考え方を関連付ける便利な方法である。定義により、複素ベクトル束 ''E'' に対し、その'''チャーン多項式'''(Chern polynomial) ''c''<sub>''t''</sub> は、
:<math>c_t(E) =1 + c_1(E) t + \cdots + c_n(E) t^n.</math>
により与えられる。これは新しい不変量ではない。単純に、形式的変数 ''t'' は、次数 ''c''<sub>''k''</sub>(''E'') の跡(track)を追い続ける<ref>環論のことばでは、次数付き環の同型
:<math>H^{2*}(M, \mathbb{Z}) \to \oplus_k^\infty \eta(H^{2*}(M, \mathbb{Z})) [t], x \mapsto x t^{|x|/2}</math>
が存在する。ここに左辺は、偶数の項のコホモロジー環であり、η は次数を無視した環準同型で、''x'' は同次で次数 |''x''| を持つ。</ref>。特に、<math>c_t(E)</math> は ''E'' の'''全チャーン類'''(total Chern class) <math>c(E) =1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E)</math> により完全に決定される。また、逆も成立する。

ホイットニー和公式は、（以下に見るように）チャーン類の公理のひとつであるが、いわば、
:<math>c_t(E \oplus E') = c_t(E) c_t(E')</math>
の意味で、''c''<sub>''t''</sub> は加法的である。

そこで、<math>E = L_1 \oplus ... \oplus L_n</math> が（複素）ラインバンドルの直和であれば、和公式は、
:<math>c_t(E) = (1+a_1(E) t) \cdots (1+a_n(E) t)</math>
から従う。ここに <math>a_i = c_1(L_i)</math> は第一チャーン類である。根 <math>a_i(E)</math> は、''E'' の'''チャーンの根'''(Chern roots)と呼ばれ、多項式の係数を決定する。つまり、
:<math>c_k(E) = \sigma_k(a_1(E), \cdots, a_n(E))</math>
である。ここに σ<sub>''k''</sub> は{{仮リンク|基本対称多項式|en|elementary symmetric polynomials}}(elementary symmetric polynomials)である。言い換えると、''a''<sub>''i''</sub> を形式的変数の式と考えると、''c''<sub>''k''</sub> は、σ<sub>''k''</sub> である。[[対称多項式]]の基本的事実は、任意の多項式、たとえば、''t''<sub>''i''</sub> は、 ''t''<sub>''i''</sub> の基本対称多項式である。{{仮リンク|分裂原理|en|splitting principle}}(splitting principle)や環理論のどちらかにより、任意のチャーン多項式 <math>c_t(E)</math> は、コホモロジー環へ拡張の後、線型要素に分解する。この議論では、''E'' は線束の直和である必要はない。
:「複素ベクトル束 ''E'' の任意の対称多項式 ''f'' を σ<sub>''k''</sub> の基本対称多項式として書くことができ、σ<sub>''k''</sub> を ''c''<sub>''k''</sub>(''E'') へ置き換えることができる。」

'''例'''： 多項式 ''s''<sub>''k''</sub> を <math>s_1 = \sigma_1, s_2 = \sigma_1^2 - 2 \sigma_2</math> などで
:<math>t_1^k + \cdots + t_n^k = s_k(\sigma_1(t_1, \cdots, t_n), \cdots, \sigma_k(t_1, \cdots, t_n))</math>
とすることができる（[[ːenːNewton's identities#Expressing power sums in terms of elementary symmetric polynomials|ニュートンの恒等式]]を参照。）。和
:<math>\operatorname{ch}(E) = e^{a_1(E)} + \cdots + e^{a_n(E)} = \sum s_k(c_1(E), \cdots, c_n(E)) / k!</math>
は ''E'' のチャーン指標と呼ばれ、その始めのいくつかの項は、
:<math>\operatorname{ch}(E) = \operatorname{rk} + c_1 + \frac{1}{2}(c_1^2 - 2c_2) + \frac{1}{6} (c_1^3 - 3c_1c_2 + 3c_3) + ...,</math>
である。

'''例'''： （''E'' を記述からはずし）''E'' のトッド類(Todd class)は、
:<math>
\begin{align}\operatorname{td}(E) &= \prod_1^n {a_i \over 1 - e^{-a_i}} \\
&= 1 + {1 \over 2} c_1 + {1 \over 12} (c_1^2 + c_2) + \dots.
\end{align}
</math>
で与えられる。
<!--== Chern polynomial ==
A Chern polynomial is a convenient way to handle Chern classes and related notions systematically. By definition, for a complex vector bundle ''E'', the '''Chern polynomial''' ''c''<sub>''t''</sub> of ''E'' is given by:
:<math>c_t(E) =1 + c_1(E) t + \cdots + c_n(E) t^n.</math>
This is not a new invariant: the formal variable ''t'' simply keeps track of the degree of ''c''<sub>''k''</sub>(''E'').<ref>In a ring-theoretic term, there is an isomorphism of graded rings:
:<math>H^{2*}(M, \mathbb{Z}) \to \oplus_k^\infty \eta(H^{2*}(M, \mathbb{Z})) [t], x \mapsto x t^{|x|/2}</math>
where the left is the cohomology ring of even terms, η is a ring homomorphism that disregards grading and ''x'' is homogeneous and has degree |''x''|.</ref> In particular, <math>c_t(E)</math> is completely determined by the '''total Chern class''' of ''E'': <math>c(E) =1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E)</math> and conversely.

The Whitney sum formula, one of the axioms of Chern classes (see below), says that ''c''<sub>''t''</sub> is additive in the sense:
:<math>c_t(E \oplus E') = c_t(E) c_t(E').</math>
Now, if <math>E = L_1 \oplus ... \oplus L_n</math> is a direct sum of (complex) line bundles, then it follows from the sum formula that:
:<math>c_t(E) = (1+a_1(E) t) \cdots (1+a_n(E) t)</math>
where <math>a_i = c_1(L_i)</math> are the first Chern classes. The roots <math>a_i(E)</math>, called the '''Chern roots''' of ''E'', determine the coefficients of the polynomial: i.e.,
:<math>c_k(E) = \sigma_k(a_1(E), \cdots, a_n(E))</math>
where σ<sub>''k''</sub> are [[elementary symmetric polynomials]]. In other words, thinking of ''a''<sub>''i''</sub> as formal variables, ''c''<sub>''k''</sub> "are" σ<sub>''k''</sub>. A basic fact on [[symmetric polynomial]]s is that any symmetric polynomial in, say, ''t''<sub>''i''</sub>'s is a polynomial in elementary symmetric polynomials in ''t''<sub>''i''</sub>'s. Either by [[splitting principle]] or by ring theory, any Chern polynomial <math>c_t(E)</math> factorizes into linear factors after enlarging the cohomology ring; ''E'' need not be a direct sum of line bundles in the preceding discussion. The conclusion is
:"One can evaluate any symmetric polynomial ''f'' at a complex vector bundle ''E'' by writing ''f'' as a polynomial in σ<sub>''k''</sub> and then replacing σ<sub>''k''</sub> by ''c''<sub>''k''</sub>(''E'')."

'''Example''': We have polynomials ''s''<sub>''k''</sub>
:<math>t_1^k + \cdots + t_n^k = s_k(\sigma_1(t_1, \cdots, t_n), \cdots, \sigma_k(t_1, \cdots, t_n))</math>
with <math>s_1 = \sigma_1, s_2 = \sigma_1^2 - 2 \sigma_2</math> and so on (cf. [[Newton's identities#Expressing power sums in terms of elementary symmetric polynomials|Newton's identities]]). The sum
:<math>\operatorname{ch}(E) = e^{a_1(E)} + \cdots + e^{a_n(E)} = \sum s_k(c_1(E), \cdots, c_n(E)) / k!</math>
is called the Chern character of ''E'', whose first few terms are:
:<math>\operatorname{ch}(E) = \operatorname{rk} + c_1 + \frac{1}{2}(c_1^2 - 2c_2) + \frac{1}{6} (c_1^3 - 3c_1c_2 + 3c_3) + ...,</math>
(we dropped ''E''.)

'''Example''': (We drop ''E'' from writing.) The Todd class of ''E'' is given by:
:<math>
\begin{align}\operatorname{td}(E) &= \prod_1^n {a_i \over 1 - e^{-a_i}} \\
&= 1 + {1 \over 2} c_1 + {1 \over 12} (c_1^2 + c_2) + \dots.
\end{align}
</math>-->

== チャーン類の性質 ==

[[位相空間]] X の上の複素[[ベクトル束]] V が与えられると、V のチャーン類は X の[[コホモロジー]]の元の系列である。V の k-次チャーン類を普通 c<sub>k</sub>(V) と書き、この元は、

:H<sup>2k</sup>(X;'''Z''')

であり、X の整数係数を持つコホモロジーである。'''全チャーン類'''を次の式で定義することもできる。

:<math>c(V) = c_0(V) + c_1(V) + c_2(V) + \cdots </math>

値は実数係数のコホモロジー群というよりも整数係数コホモロジー群であるから、これらのチャーン類はリーマン多様体のチャーン類の定義よりも少し精密化されている。{{clarify|date=December 2014}}
<!--== Properties of Chern classes ==

Given a [[complex vector bundle|complex]] [[vector bundle]] ''E'' over a [[topological space]] ''X'', the Chern classes of ''E'' are a sequence of elements of the [[cohomology]] of ''X''. The '''''k''-th Chern class''' of ''E'', which is usually denoted ''c<sub>k</sub>''(''V''), is an element of

:''H''<sup>2''k''</sup>(''X'';'''Z'''),

the cohomology of ''X'' with [[integer]] coefficients.  One can also define the '''total Chern class'''

:<math>c(E) = c_0(E) + c_1(E) + c_2(E) + \cdots .</math>

Since the values are in integral cohomology groups, rather than cohomology with real coefficients, these Chern classes are slightly more refined than those in the Riemannian example.{{clarify|date=December 2014}}-->

===古典的な公理的な定義===
チャーン類は次の公理を満たす。

'''公理 1.'''： 全ての V に対して、<math>c_0(V) = 1</math> である。

'''公理 2.'''： 自然さ( Naturality) <math>f : Y \to X</math> が[[連続 (数学)|連続]]で、f*V が V の{{仮リンク|ベクトル束の引き戻し|en|pullback bundle}}であれば、<math>c_k(f^* V) = f^* c_k(V)</math> である。

'''公理 3.''' ホイットニーの和公式：<ref>｢ホイットニー｣の名前は、[[ハスラー・ホイットニー]]にちなんでいる。</ref> <math>W \to X</math> を別の複素ベクトル束とすると、ベクトル束の直和 <math>V \oplus W</math> のチャーン類は、次で与えられる。

:<math>c(V \oplus W) = c(V) \smile c(W)</math>

すなわち、

:<math>c_k(V \oplus W) = \sum_{i = 0}^k c_i(V) \smile c_{k - i}(W)</math>

である。

'''公理 4.''' ： 正規化(Normalization) '''CP'''<sup>k</sup> 上の{{仮リンク|トートロジカル線束|en|tautological line bundle}}(tautological line bundle)<ref>[[標準ベクトル束|標準線束]]と同義語である。</ref>の全チャーン類は、1−H であり、ここに H は[[超平面]] <math>\mathbf{CP}^{k - 1} \subseteq \mathbf{CP}^k</math> の[[ポアンカレ双対]]とする。
<!--===Classical axiomatic definition===
The Chern classes satisfy the following four axioms:

'''Axiom 1.''' <math>c_0(E) = 1</math> for all ''E''.

'''Axiom 2.''' Naturality: If <math>f : Y \to X</math> is [[continuous function (topology)|continuous]] and ''f*E'' is the [[pullback bundle|vector bundle pullback]] of ''E'', then <math>c_k(f^* E) = f^* c_k(E)</math>.

'''Axiom 3.''' [[Hassler Whitney|Whitney]] sum formula: If <math>F \to X</math> is another complex vector bundle, then the Chern classes of the [[direct sum of vector bundles|direct sum]] <math>E \oplus F</math> are given by

:<math>c(E \oplus F) = c(E) \smile c(F);</math>

that is,

:<math>c_k(E \oplus F) = \sum_{i = 0}^k c_i(E) \smile c_{k - i}(F).</math>

'''Axiom 4.''' Normalization: The total Chern class of the [[tautological line bundle]] over '''CP'''<sup>''k''</sup> is 1−''H'', where ''H'' is [[Poincaré duality|Poincaré-dual]] to the [[hyperplane]] <math>\mathbf{CP}^{k - 1} \subseteq \mathbf{CP}^k</math>.-->

===アレクサンドル・グロタンディークの公理的アプローチ===

一方、[[アレクサンドル・グロタンディーク]] {{harvs|txt|authorlink=Alexander Grothendieck|first=Alexander|last=Grothendieck|year=1958}}はこれらを公理を少し小さいものに置き換えた。

* '''函手性'''(Functoriality)： （上記に同じ）

* '''加法性'''(Additivity)： <math>\ 0\to E'\to E\to E''\to 0</math> がベクトル束の[[完全系列]]であれば、<math>c(E)=c(E')\smile c(E'')</math> である。

* '''正規化'''(Normalization)：  ''E'' を線束とすると、<math>c(E)=1+e(E_{\mathbf R})</math> となる。ここに <math>e(E_{\mathbf R})</math> は基礎となる実ベクトル束の[[オイラー類]]である。

グロタンディークは、{{仮リンク|ルレイ・ハーシュの定理|en|Leray-Hirsch theorem}}(Leray-Hirsch theorem)を使い、任意の有限ランクの複素ベクトル束の全チャーン類を、トートロジカルに定義された線束の第一チャーン類の項で定義することができることを示した。

すなわち、ランク n の複素ベクトル束 E → B の射影化 '''P'''(E) を任意の点 <math>b\in B</math> でのファイバーが B のファイバー束となっているバンドルとして導入すると、この射影化されたバンドルはファイバー E<sub>b</sub> の射影空間となっている。このバンドル '''P'''(E) の全空間は、トートロジカル複素線束を持っていて、これを τ と書く。第一チャーン類

:<math>c_1(\tau)=: -a</math> 

を各々のファイバー '''P'''(E<sub>b</sub>) から超平面のポアンカレ双対クラスを引いたものへ制限する。この制限を入れると[[複素射影空間]]の観点からはファイバーのコホモロジー空間を張る。

従って、類

:<math>1, a, a^2, \ldots , a^{n-1}\in H^*(\mathbf{P}(E))</math> 

は、ファイバのコホモロジーに基底へ制限する周囲のコホモロジー類の族を形成する。ルレイ・ハーシュの定理は、H*('''P'''(E)) の任意の元は基底上のクラスを係数に持つ 1, a, a<sup>2</sup>, ..., a<sup>n−1</sup> の線型結合として一意に表されることを言っている。

特に、グロタンディークの意味で、E のチャーン類を定義することができ、<math>c_1(E), \ldots c_{n}(E)</math> と書く。ここで使われるの方法は、次の関係式を満たす類 <math>-a^n</math> へ拡張する方法である。

:<math> - a^n = c_1(E). a^{n-1}+ \ldots c_{n-1}(E) .a + c_{n}(E) .</math>

従って、この代わりの定義が、他の気に入った定義、あるいは前に公理的特徴付けに使った定義に一致しているか否を検証することができるであろう。
<!--===Alexander Grothendieck axiomatic approach===

Alternatively, {{harvs|txt|authorlink=Alexander Grothendieck|first=Alexander|last=Grothendieck|year=1958}} replaced these with a slightly smaller set of axioms:

* Naturality:  (Same as above)

* Additivity: If <math>\ 0\to E'\to E\to E''\to 0</math> is an [[exact sequence]] of vector bundles, then <math>c(E)=c(E')\smile c(E'')</math>.

* Normalization:  If ''E'' is a [[line bundle]], then <math>c(E)=1+e(E_{\mathbf R})</math> where <math>e(E_{\mathbf R})</math> is the [[Euler class]] of the underlying real vector bundle.

He shows using the [[Leray–Hirsch theorem]] that the total Chern class of an arbitrary finite rank complex vector bundle can be defined in terms of the first Chern class of a tautologically-defined line bundle.

Namely, introducing the projectivization '''P'''(''E'') of the rank ''n'' complex vector bundle ''E'' → ''B'' as the fiber bundle on ''B'' whose fiber at any point <math>b\in B</math> is the projective space of the fiber ''E<sub>b</sub>''. The total space of this bundle '''P'''(''E'') is equipped with its tautological complex line bundle, that we denote τ, and the first Chern class

:<math>c_1(\tau)=: -a</math>

restricts on each fiber '''P'''(''E<sub>b</sub>'') to minus the (Poincaré-dual) class of the hyperplane, that spans the cohomology of the fiber, in view of the cohomology of [[complex projective space]]s.

The classes

:<math>1, a, a^2, \ldots , a^{n-1}\in H^*(\mathbf{P}(E))</math>

therefore form a family of ambient cohomology classes restricting to a basis of the cohomology of the fiber. The [[Leray–Hirsch theorem]] then states that
any class in ''H*''('''P'''(''E'')) can be written uniquely as a linear combination of the 1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ..., ''a''<sup>''n''−1</sup> with classes on the basis as coefficients.

In particular, one may define the Chern classes of ''E'' in the sense of Grothendieck, denoted <math>c_1(E), \ldots c_{n}(E)</math> by expanding this way the class <math>-a^n</math>, with the relation:

:<math> - a^n = c_1(E). a^{n-1}+ \ldots c_{n-1}(E) .a + c_{n}(E) .</math>

One then may check that this alternative definition coincides with whatever other definition one may favor, or use the previous axiomatic characterization.-->

===トップチャーン類===
事実、これらの性質はチャーン類を一意に特徴付ける。これらは多くの他のことのなかでも、次のことを意味している。

* n が V の複素ランクであれば、全ての k > n に対し <math>c_k(V) = 0</math> となる。このようにして全チャーン類は終了する。

* V のトップチャーン類は（n は V のランクとしたときの <math>c_n(V)</math>のことを意味する）、いつでも基礎となっている実ベクトルバンドルの[[オイラー類]]に一致する。
<!--===The top Chern class===
In fact, these properties uniquely characterize the Chern classes. They imply, among other things:

* If ''n'' is the complex rank of ''V'', then <math>c_k(V) = 0</math> for all ''k'' > ''n''. Thus the total Chern class terminates.

* The top Chern class of ''V'' (meaning <math>c_n(V)</math>, where ''n'' is the rank of ''V'') is always equal to the [[Euler class]] of the underlying real vector bundle.-->

==近接概念==

===チャーン指標===
チャーン類は{{仮リンク|位相的K-理論|en|topological K-theory}}(topological K-theory)から有理コホモロジー（の完備化）への準同型の環の構成に使うことができる。線束 L に対し、チャーン指標(Chern character) ch は、次のように定義される。

:<math>\operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}</math>

さらに一般的には、<math>V = L_1 \oplus ... \oplus L_n</math> を第一チャーン類 <math>x_i = c_1(L_i),</math> をもつ線束の直和とすると、チャーン指標は加法的に次のように定義される。

:<math> \operatorname{ch}(V)  = e^{x_1} + \dots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + ... + x_n^m) </math>

V が線束の和であるとき、V のチャーン類は <math>x_i</math> の{{仮リンク|基本対称多項式|en|Elementary symmetric polynomial}}(Elementary symmetric polynomial)で <math>c_i(V) = e_i(x_1,...,x_n).</math> と表すことができることに注意する。

特に、一方では、
:<math>c(V) := \sum_{i=0}^n c_i(V)</math>
であり、他方では、
:<math>c(V) = c(L_1 \oplus \dots \oplus L_n) = \prod_{i=1}^n c(L_i) = \prod_{i=1}^n (1+x_i) = \sum_{i=0}^n e_i(x_1,\dots,x_n) </math>
である。

結局、[[ニュートンの恒等式]](Newton's identities)が、V のチャーン類の項のみで、ch(V) の中のベキ和を再表現できて、次の関係式を与える。
:<math> \operatorname{ch}(V) = \operatorname{dim}(V) + c_1(V) + \frac{1}{2}(c_1(V)^2 - 2c_2(V)) + \frac{1}{6} (c_1(V)^3 - 3c_1(V)c_2(V) + 3c_3(V)) + ..., </math>

この表現は、{{仮リンク|分裂原理|en|splitting principle}}(splitting principle)を必須とすることにより得られるが、任意のベクトル束 V に対して ch(V) の定義として採用される。

底空間が多様体のときに接続をチャーン類の定義に使う（チャーン・ヴェイユ理論）ならば、チャーン指標の明確な形式は、
: <math>\hbox{ch}(V)=\hbox{tr}\left(\exp\left(\frac{i\Omega}{2\pi}\right)\right)</math>
である。ここに Ω は接続の[[曲率形式|曲率]]である。

チャーン指標は、ある部分では有用である。なぜならば、チャーン指標はテンソル積のチャーン類の計算することに役に立つからである。特に次の恒等式がチャーン指標の定義より結果する。
:<math>\hbox{ch}(V\oplus W)=\hbox{ch}(V)+\hbox{ch}(W)</math>
:<math>\hbox{ch}(V\otimes W)=\hbox{ch}(V)\hbox{ch}(W).</math>

上に述べたように、チャーン類のグロタンディークの加法公理を使い、これらの恒等式の最初の式は、[[K-理論]] K(X) から X 上の有理コホモロジーへの[[準同型]]の[[アーベル群]]が ch であるということへ一般化できる。第二の恒等式はこの準同型が K(X) の中の積を定義し、ch が環の準同型であるという事実を確立する。

チャーン指標は、[[ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理]]で使われる。
<!--This last expression, justified by invoking the [[splitting principle]], is taken as the definition ''ch(V)'' for arbitrary vector bundles ''V''.

If a connection is used to define the Chern classes when the base is a manifold (i.e., the [[Chern–Weil theory]]), then the explicit form of the Chern character is
: <math>\hbox{ch}(V)=\left[\hbox{tr}\left(\exp\left(\frac{i\Omega}{2\pi}\right)\right)\right]</math>
where Ω is the [[curvature form|curvature]] of the connection.

The Chern character is useful in part because it facilitates the computation of the Chern class of a tensor product.  Specifically, it obeys the following identities:
:<math>\hbox{ch}(V\oplus W)=\hbox{ch}(V)+\hbox{ch}(W)</math>
:<math>\hbox{ch}(V\otimes W)=\hbox{ch}(V)\hbox{ch}(W).</math>

As stated above, using the Grothendieck additivity axiom for Chern classes, the first of these identities can be generalized to state that ''ch'' is a [[homomorphism]] of [[abelian groups]] from the [[K-theory]] ''K''(''X'') into the rational cohomology of ''X''.  The second identity establishes the fact that this homomorphism also respects products in ''K''(''X''), and so ''ch'' is a homomorphism of rings.

The Chern character is used in the [[Hirzebruch-Riemann-Roch theorem]].-->

===チャーン数===

次元 2n の[[向き付け可能性|向き付け可能]]な多様体を考えると、任意の全次数 2n のチャーン類の積は、[[基本類]](orientation homology class)（もしくは｢多様体上の積分｣）によりある整数、ベクトル束の'''チャーン数'''(Chern number)が与えられる。例えば、多様体の次元が 6 であれば 3 つの線型独立なチャーン数が、c<sub>1</sub><sup>3</sup>, c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>, と c<sub>3</sub> により与えられる。一般に、多様体の次元が 2n であれば、独立したチャーン数の可能な数は n の[[分割数]]となる。

複素（もしくは概複素）多様体の接束のチャーン数は、多様体のチャーン数と呼ばれ、重要な不変量である。

===一般コホモロジー論の中のチャーン類===

チャーン類の理論には一般化があり、通常のコホモロジーが{{仮リンク|一般コホモロジー論|en|generalized cohomology theory}}へ置き換わる。そのような一般化が可能である理論は、'''{{仮リンク|複素向き付け|en|Complex_cobordism#Formal group laws}}可能'''(complex orientable)という。チャーン類の形式的な性質は同じままであり、一点だけ異なっている重大な部分がある。それは線束のテンソル積の第一チャーン類をファクタの第一チャーン類の項で計算するルールが、（通常の）加法的ではなく、{{仮リンク|形式群|en|formal group}}の法則(formal group law)に従う。

=== 構造を持った多様体のチャーン類 ===

チャーン類の理論は[[概複素多様体]]の[[コボルディズム]]不変量を引き起こす。

M が概複素多様体であれば、その[[接束]]は複素ベクトル束である。従って、M の'''チャーン類'''は接束のチャーン類であると定義される。M が[[コンパクト空間|コンパクト]]でもあり、次元 2d を持つとすると、チャーン類の全 2d 次の[[単項式]]は、M の[[基本類]]と対にすることができ、M の'''チャーン数'''と呼ばれる整数を与える。M′が同じ次元の別の概複素多様体であれば、M′が M とコボルダントであることと、M′ のチャーン数と M のチャーン数が一致することとは同値である。

理論を、整合性のある概複素構造を媒介として、実[[シンプレクティック幾何学|シンプレクティック]]ベクトル束へ拡張することもできる。特に、[[シンプレクティック多様体]]は整合性を持つチャーン類を持つ。

=== 数論的スキームの上のチャーン類とディオファントス方程式 ===

（{{仮リンク|アラケロフ幾何学|en|Arakelov geometry}}(Arakelov geometry)を参照）

==脚注==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[ポントリャーギン類]]
* [[スティーフェル・ホイットニー類]]
* [[オイラー類]]
* {{仮リンク|セグレ類|en|Segre class}}(Segre class)

==参考文献==
* {{Citation | last1=Chern | first1=S. S. | title=Characteristic classes of Hermitian Manifolds | year=1946 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=47 | issue=1 | pages=85–121 | doi=10.2307/1969037 | publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 47, No. 1 |jstor=1969037}}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=La théorie des classes de Chern | mr=0116023 | year=1958 | journal=Bulletin de la Société Mathématique de France | issn=0037-9484 | volume=86 | pages=137–154
|url= http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__137_0}}
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=4th | isbn=978-3-540-25907-7 | year=2005}} (Provides a very short, introductory review of Chern classes).
* {{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=John Milnor | last2=Stasheff | first2=James D. |author2-link=Jim Stasheff| title=Characteristic classes | publisher=Princeton University Press; University of Tokyo Press | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-08122-9 | year=1974 | volume=76}}

==外部リンク==
* [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory] - A downloadable book-in-progress by [[Allen Hatcher]]. Contains a chapter about characteristic classes.
*[[Dieter Kotschick]], [http://www.physorg.com/news163858041.html Chern numbers of algebraic varieties]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ちやあんるい}}
[[Category:特性類]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]