テニスラケットの定理のソースを表示

[[File:tennis_racquet_principal_axes.svg|thumb|テニスラケットの慣性主軸]]
[[File:tennis_racket_theorem.gif|thumb|upright=1.5|link={{filepath:tennis_racket_theorem.ogv}}|三つの軸を中心に回転される動画。]]
[[古典力学]]における'''テニスラケットの定理'''（テニスラケットのていり、{{Lang-en-short|tennis racket theorem}}）または'''中間軸の定理'''とは、3つの異なった[[慣性モーメント|主慣性モーメント]]を持つ[[剛体]]の運動に関する結果の一つである。この定理に基づく現象を1985年に宇宙空間で再発見した<ref>[http://oko-planet.su/science/sciencehypothesis/15090-yeffekt-dzhanibekova-gajka-dzhanibekova.html Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова)], 23 July 2009 {{ru icon}}. The software can be downloaded [http://live.cnews.ru/forum/index.php?s=5091d296ac0d22ad6b6e9712f3b0edbe&act=Attach&type=post&id=87112 from here]</ref>[[ロシア]]人[[宇宙飛行士]][[ウラジーミル・ジャニベコフ]]にちなんで'''ジャニベコフ効果'''と呼ばれることもある。ただし、この効果自体は少なくとも150年以上前には知られており<ref>Poinsot (1834) ''Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps'', Bachelier, Paris</ref>、現代の古典力学の教科書にも詳述されている<ref>Goldstein H. (1980) ''Classical Mechanics'', 2nd. ed., Addison-Wesley. {{ISBN2|0-201-02918-9}}</ref><ref>Landau LD and Lifshitz EM (1976) ''Mechanics'', 3rd. ed., Pergamon Press. {{ISBN2|0-08-021022-8}} (hardcover) and {{ISBN2|0-08-029141-4}} (softcover).</ref>ので、ジャニベコフも既に知っていたと思われる。この効果を説明する論文が1991年に出ている<ref>{{Cite journal |last=Ashbaugh |first=Mark S. |last2=Chicone |first2=Carmen C. |last3=Cushman |first3=Richard H. |date=January 1991 |title=The Twisting Tennis Racket |journal=Journal of Dynamics and Differential Equations |volume=3 |pages=67–85 |bibcode=1991JDDE....3...67A |doi=10.1007/BF01049489 |number=1}}</ref>。

定理の内容は次の通りである。主慣性モーメントが大きい方から慣性主軸を並べると、『剛体の第1，第3の[[慣性モーメント|慣性主軸]]のまわりの回転は安定しているが、第2の慣性主軸（中間軸）のまわりの回転は不安定である。』

このことは次のような実験で確かめられる。面（ラケットフェイス）を水平にして[[テニスラケット]]のグリップを握り、グリップと垂直・面と平行な軸のまわりに1回転するようにラケットを放り上げ、キャッチする。ほとんどの場合、この回転の間に面もまた半回転し、逆の面が上になる。対照的に、（他の軸のまわりに半回転させることなしに）グリップと平行な軸（第3の軸）のまわりに1回転させることは容易い。（他の軸のまわりに半回転させることなしに）面に垂直な軸（第1の軸）のまわりに1回転させることもまた容易い。

あるいは、スマートフォンを空中に回転させながら放りあげる場合、ピザ回しのように回転させる(第一軸)のと、縦に持ったときに横向きに回転させる(第三軸)のは安定しているが、縦向きに回転させる(第二軸)と横向きにも回転する。

他に本やリモコンなど、3つの異なった主慣性モーメントを持つ物体であれば何を使ってもこの実験はできる。この効果は、回転の軸が第2慣性主軸から大きく乖離していないときにはいつでも起き、[[空気抵抗]]や[[重力]]とは関係がない<ref>{{Cite book |url={{google books|plainurl=yes|id=uVSYswEACAAJ|page=151}} |title=Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction |last=Levi |first=Mark |publisher=American Mathematical Society |year=2014 |isbn=9781470414443 |pages=151–152}}</ref>。

== 理論 ==
[[File:Intersecting ellipsoids.gif|thumb|upright=1|中間軸の不安定性を視覚化したもの。[[角運動量]]と[[運動エネルギー]]の大きさがいずれも保存されているとき、[[角速度]]ベクトルは2つの[[楕円体]]の交線上を指し続ける。]]
[[File:Dzhanibekov effect.ogv|thumb|upright=1|{{仮リンク|マイクロg環境|en|Micro-g environment}}におけるジャニベコフ効果（[[NASA]]）。]]

テニスラケットの定理は[[オイラーの運動方程式]]を用いて定量的に分析できる。[[トルク]]がゼロであれば次の方程式が成り立つ：

:<math>
\begin{align}
I_1\dot{\omega}_{1}&=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}\\
I_2\dot{\omega}_{2}&=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}\\
I_3\dot{\omega}_{3}&=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(3)}
\end{align}
</math>

ここで <math>I_1, I_2, I_3</math> は物体の主慣性モーメントを表し、 <math> I_1 > I_2 > I_3</math> であるとする。物体の3つの慣性主軸のまわりの角速度を <math>\omega_1, \omega_2,  \omega_3</math> それらの時間微分を <math>\dot\omega_1, \dot\omega_2, \dot\omega_3</math> で表す。

=== 第1慣性主軸のまわりの回転の安定性 ===
第1慣性主軸（主慣性モーメント <math>I_1</math> ）のまわりの回転を考える。つり合いでの性質（the nature of equilibrium）を決定するため、他の2軸のまわりの角速度の初期値は小さいものと仮定する。このとき式 (1) から、<math>~\dot{\omega}_{1}</math> は非常に小さくなる。よって、<math>~\omega_1</math> の時間変化は無視してよい。

ここで式 (2) を微分し、式 (3) を代入すると

:<math>
\begin{align}
I_2 I_3 \ddot{\omega}_{2}&= (I_3-I_1) (I_1-I_2)(\omega_1)^2\omega_{2}\\
\text{i.e.}~~~~ \ddot{\omega}_2 &= \text{(negative quantity)} \cdot \omega_2
\end{align}
</math>

<math>\omega_2</math> が（その2階時間微分と）逆向きであるため、この軸のまわりの回転は安定する。

同様に考えて、<math>I_3</math> に対応した軸まわりの回転も安定的である。

=== 第2慣性主軸のまわりの回転の不安定性 ===
次は同じことを主慣性モーメント <math>I_2</math> に対して考える。今度は <math>\dot{\omega}_{2}</math> が非常に小さい。よって <math>~\omega_2</math> の時間変化は無視できる。

ここで式 (1) を微分して式 (3) を代入すると

:<math>
\begin{align}
I_1 I_3 \ddot{\omega}_{1}&= (I_2-I_3) (I_1-I_2) (\omega_{2})^2\omega_1\\
\text{i.e.}~~~~ \ddot{\omega}_1 &= \text{(positive quantity)} \cdot \omega_1
\end{align}
</math>

今度は <math>\omega_1</math>  が（その2階時間微分と）逆向きで'''ない'''（よって一方向に増幅していく）ことに注意すると、第2軸のまわりの回転は'''不安定'''である。このようにして、他の軸のまわりの揺らぎがたとえわずかであったとしても物体をひっくり返す。

== 関連項目 ==
*[[オイラー角]]
*{{仮リンク|MacCullagh ellipsoid and Galois axis|en|MacCullagh ellipsoid and Galois axis}}（マカラ楕円体とガロア軸）
*[[慣性モーメント]]
*[[ポワンソーの楕円体]]
*{{仮リンク|ポールホード|en|Polhode}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

==外部リンク==
* {{cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=4dqCQqI-Gis|title=Slow motion Dzhanibekov effect demonstration with table tennis rackets|first=|last=Dan Russell|date=5 March 2010|publisher=|accessdate=2 February 2017|via=YouTube}}
* この効果のデモンストレーション（djanibek.zip）へのリンク - [http://evstoliya-3.livejournal.com/115466.html Dzhanibekov's Effect]（ロシア語）
* {{cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw|title=Dzhanibekov effect demonstration|first=|last=zapadlovsky|date=16 June 2010|publisher=|accessdate=2 February 2017|via=YouTube}} on [[Mir]] [[International Space Station]]
* {{cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=VHNvzXy-Iqs|title=Djanibekov effect modeled in  Mathcad 14|first=|last=Viacheslav Mezentsev|date=7 September 2011|publisher=|accessdate=2 February 2017|via=YouTube}}<!--Modeling in software of the Djanibekov effect with Mathcad 14 -->
*[[Louis Poinsot]], [https://catalog.hathitrust.org/Record/100228096 Théorie nouvelle de la rotation des corps], Paris, Bachelier, 1834, 170 p. {{OCLC| 457954839}}：この効果に関する科学史上最初の数学的記述。

{{DEFAULTSORT:てにすらけつとのていり}}
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