ディガンマ関数のソースを表示

{{Otheruses|ガンマ関数の対数微分で定義されるディガンマ関数（digamma function）|多重ガンマ関数（multiple gamma function）の一種である二重ガンマ関数（double gamma function）|多重ガンマ関数}}
[[ファイル:Digamma function.png|right|thumb|実数''x'' に対する&psi;(''x'')の挙動]]
[[ファイル:Complex Polygamma 0.jpg|right|thumb|複素平面上での&psi;(''z'' )。点''z'' における色が &psi;(''z'') の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。]]

数学において、'''ディガンマ関数'''（でぃがんまかんすう、{{lang-en-short|[[Ϝ|digamma]] function}}）あるいは'''プサイ関数'''（ぷさいかんすう、{{lang-en-short|psi function}}）とは[[ガンマ関数]]の[[対数微分]]で定義される[[特殊関数]]<ref>Abramowitz & Stegun 1965, p. 258, 6.3. Psi (Digamma) Function.</ref>。[[ポリガンマ関数]]の一種である。

== 定義 ==
[[ガンマ関数]] <math>
\Gamma(z) 
</math> に対し、その[[対数微分]]

:<math>
\psi(z) 
 = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln{\Gamma(z)}  = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} 
</math>

を'''ディガンマ関数'''と呼ぶ。

ディガンマ関数は、<math>
z = 0,-1,-2,\ldots(z\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}^+)
</math> で一位の[[極 (複素解析)|極]]をもち，それらの点を除く全[[複素平面]]では[[解析関数|解析的]]になる。

== 基本的性質 ==

ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

:<math>
\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n \to \infty} \frac{z(z+1)\cdots(z+n)}{n^z n!}
</math>

を対数微分することで、ディガンマ関数における

:<math>
\psi(z)=\lim_{n \to \infty} 
\left \{ \ln{n}-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{z+k} \right \} 
</math>

という表示を得る。特に <math>
z = 1 
</math>とすれば、次の特殊値

:<math>
\psi(1)=\lim_{n \to \infty} 
\left \{ \ln{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right \} 
=-\gamma
</math>

を得る。但し、<math>
\gamma = 0.5772\ldots 
</math> は[[オイラーの定数]]である。

また、ディガンマ関数は次の[[漸化式]]を満たす<ref>[[差分作用素]] <math>\Delta</math> を用いると、これは <math>\Delta \psi(z) = \frac{1}{z}</math> となる。つまりディガンマ関数 <math>\psi(z)</math> は <math>\frac{1}{z}</math> の[[不定和分]]のひとつである。</ref>。

:<math>
\psi(z+1) = \psi(z) + \frac{1}{z}
</math>

この関係式から、一般に

:<math>
\psi(z+n) = \psi(z) +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z+k-1}
</math>

であり、特に <math>
z = 1 
</math>とすれば、特殊値

:<math>
\psi(n+1) = -\gamma +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
</math>

が得られる。

== 級数表示 ==

ディガンマ関数とその[[導関数]]は <math>
z\neq0,-1,-2,-3,\ldots(z \in \mathbb{C}\setminus\{0,\mathbb{Z}^-\}) 
</math> で次の[[級数]]表示を持つ。

:<math>
\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl ( 
\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )
= -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z-1}{(n+1)(z+n)} 
</math>

:<math>
\psi^{(k)}(z) = (-1)^{k+1} k\,! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^{k+1}}
</math>

これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

:<math>
\frac{1}{\Gamma(z)}= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty}
\biggl ( 1+ \frac{z}{n} \biggr ) e^{-z/n}
</math>

の対数微分から導かれるものである、

また、<math>
z = 0 
</math> での[[テイラー展開]]により、<math>
|\,z\,|<1 
</math> の領域で次のように級数表示される。

:<math>
\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n 
\zeta(n) z^{n-1}
</math>

ただし、<math>
\zeta(n) 
</math> は[[リーマンゼータ関数]]を表す。

== 積分表示 ==

<math>
\mathrm{Re}(z)>0
</math> のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

*<math>
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( e^{-s}-\frac{1}{(1+s)^z}
\biggr) \frac{\mathrm{d}s}{s}
</math>

*<math>
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( \frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-zs}}{1-e^{-s}}
\biggr) \mathrm ds
</math>

*<math>
\psi(z)
 = -\gamma +  \int_{1}^{\infty} \frac{s^{z-1}-1}{s^z (s-1)}\mathrm ds
</math>

*<math>
\psi(z+1) = \ln{z}-\frac{1}{2z}
- \int_{0}^{\infty} \biggl (
\frac{1}{2} \operatorname{coth} \left(\dfrac{s}{2}\right)-  \frac{1}{s}  
\biggr ) e^{-zs} \mathrm ds
</math>

但し、<math>\coth\left(\frac{s}{2}\right)</math> は[[双曲線関数|双曲線余接関数]]を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

*<math>
\psi(y) -\psi(x)
 =  \int_{0}^{1} \frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}\mathrm du
</math>

== 相反公式 ==

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

:<math>
\psi(1-z)-\psi(z) = \pi \operatorname{cot}( \pi z) 
</math>

但し、<math>
\cot(\pi z) 
</math> は[[余接関数]]を表す。

== 漸近展開 ==

<math>
z\to\infty\,(|\arg z|<\pi)
</math> のとき、ディガンマ関数は次の[[漸近展開]]をもつ。

:<math>
\begin{align}
\psi(z) 
& \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} \\
& = \ln{z}- \frac{1}{2z}- \frac{1}{12z^2}+ \frac{1}{120z^4}- \frac{1}{252z^6} +\cdots
\end{align}
</math>

但し、<math>
B_{2n}
</math> は[[ベルヌーイ数]]である。

== 特殊値 ==

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。
*<math>
\psi(1) = -\gamma 
</math>

*<math>
\psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}
= -\gamma + H_{n-1} \qquad \{\,n\mid\,n\in\mathbb{Z}^+\setminus\{1\}\,\}
</math>

但し、<math>
H_{n-1}
</math>は[[調和数 (発散列)|調和数]]を表す。

また、正の[[半整数]]において、次の値をとる。

*<math>
\psi(1/2) = -\gamma -2 \ln{2} 
</math>

*<math>
\psi(n+1/2) = -\gamma  -2 \ln{2} 
+ 2  \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1} \qquad \{\,n\mid\,n\in\mathbb{Z}^+\,\}
</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]''.  Dover (1965) ISBN 978-0486612720
* E. T. Whittaker and G. N. Watson, ''A Course of Modern Analysis''. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
* George B. Arfken and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 [[権平健一郎]]、[[神原武志]]、[[小山直人]] (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

== 関連項目 ==
* [[ガンマ関数]]
* [[ポリガンマ関数]]

{{DEFAULTSORT:ていかんまかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា]]