ディクソン多項式のソースを表示

[[数学]]において'''ディクソン多項式'''（ディクソンたこうしき、{{Lang-en-short|Dickson polynomials}}）あるいは'''ブリューワ多項式'''（Brewer polynomials）とは、{{harvs|txt=yes|authorlink=レオナード・E・ディクソン|first=L. E. |last=Dickson|year= 1897}} によって導入され、{{harvtxt|Brewer|1961}} による[[ブリューワ和]]の研究において再発見されたある[[多項式列]]で、''D''<sub>''n''</sub>(''x'',α) と記述される。

複素数体上では、ディクソン多項式は変数変換により[[チェビシェフ多項式]]と本質的に同値であり、実際しばしばディクソン多項式はチェビシェフ多項式と呼ばれている。ディクソン多項式は、チェビシェフ多項式と同値でないときは、有限体上で多く研究されている。その興味の一つとして、固定された α に対し、ディクソン多項式は{{仮リンク|置換多項式|en|Permutation polynomial}}の多くの例を与えることが挙げられる。ただし置換多項式とは、有限体の置換として働く多項式のことである。

== 定義 ==

''D''<sub>0</sub>(''x'',α) = 2 であり、''n'' > 0 に対する（第一種）ディクソン多項式は次で与えられる。

:<math>D_n(x,\alpha)=\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n}{n-p} \binom{n-p}{p} (-\alpha)^p x^{n-2p}. </math>

このはじめのいくつかを挙げると、次のようになる。

:<math> D_0(x,\alpha) = 2 \,</math>

:<math> D_1(x,\alpha) = x \,</math>

:<math> D_2(x,\alpha) = x^2 - 2\alpha \,</math>

:<math> D_3(x,\alpha) = x^3 - 3x\alpha \,</math>

:<math> D_4(x,\alpha) = x^4 - 4x^2\alpha + 2\alpha^2. \,</math>

第二種ディクソン多項式 ''E''<sub>''n''</sub> は、次で定義される。

:<math>E_n(x,\alpha)=\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-p}{p} (-\alpha)^p x^{n-2p}. </math>

この研究は多くはなされておらず、その性質は第一種ディクソン多項式と同様である。第二種ディクソン多項式のはじめのいくつかを挙げると、次のようになる。

:<math> E_0(x,\alpha) = 1 \,</math>

:<math> E_1(x,\alpha) = x \,</math>

:<math> E_2(x,\alpha) = x^2 - \alpha \,</math>

:<math> E_3(x,\alpha) = x^3 - 2x\alpha \,</math>

:<math> E_4(x,\alpha) = x^4 - 3x^2\alpha + \alpha^2. \,</math>

== 性質 ==
''D''<sub>''n''</sub> は次の等式

:<math>D_n(u + \alpha/u,\alpha) = u^n + (\alpha/u)^n \, ; </math>
:<math>D_{mn}(x,\alpha) = D_m(D_n(x,\alpha),\alpha^n) \,  </math>

を満たす。''n''≥2 に対し、ディクソン多項式は[[漸化式]]

:<math>D_n(x,\alpha) = xD_{n-1}(x,\alpha)-\alpha D_{n-2}(x,\alpha) \, </math>
:<math>E_n(x,\alpha) = xE_{n-1}(x,\alpha)-\alpha E_{n-2}(x,\alpha) \, </math>

を満たす。ディクソン多項式 ''D''<sub>''n''</sub> = ''y'' は次の[[常微分方程式]]の解である。
:<math>(x^2-4\alpha)y'' + xy' - n^2y=0. \, </math>
また、第二種ディクソン多項式 ''E''<sub>''n''</sub> = ''y'' は次の微分方程式の解である。
:<math>(x^2-4\alpha)y'' + 3xy' - n(n+2)y=0. \, </math>
それらの[[母関数|通常型母関数]]は、次で与えられる。
:<math>\sum_nD_n(x,\alpha)z^n = \frac{2-xz}{1-xz+\alpha z^2} \, </math>
:<math>\sum_nE_n(x,\alpha)z^n = \frac{1}{1-xz+\alpha z^2}. \, </math>

== 他の多項式との関係 ==

* 複素数体上のディクソン多項式は、[[チェビシェフ多項式]] ''T''<sub>''n''</sub> および ''U''<sub>''n''</sub> と次の式で関連付けられる。
:<math>D_n(2xa,a^2)= 2a^{n}T_n(x) \, </math>
:<math>E_n(2xa,a^2)= a^{n}U_n(x). \, </math>
重要なことであるが、ディクソン多項式 ''D''<sub>''n''</sub>(''x'',''a'') は ''a'' が二乗でない環や、[[標数]]が 2 の環の上で定義できる。そのような場合、''D''<sub>''n''</sub>(''x'',''a'') はしばしばチェビシェフ多項式とは関連を持たないことになる。
* パラメータが α = 1 あるいは α = -1 であるディクソン多項式は、[[フィボナッチ多項式]]や[[リュカ数|リュカ多項式]]と関連付けられる。
* α = 0 の場合のディクソン多項式は、次の単項式を与える：
:<math>D_n(x,0) = x^n \, . </math>

== 置換多項式とディクソン多項式 ==

（与えられた[[有限体]]に対する）'''置換多項式'''（permutation polynomial）とは、その体の元の置換として働くもののことを言う。

ディクソン多項式 ''D''<sub>''n''</sub>(''x'',α)（固定された α に対する ''x'' の関数と見なされる）が ''q'' 個の元を持つ体に対する置換行列であるための必要十分条件は、''n'' と ''q''<sup>2</sup>&minus;1 が互いに素であることである<ref name=LN356>Lidl & Niederreiter (1997) p.356</ref>。

M. {{harvtxt|Fried|1970}} は、無限に多くの素体に対する置換行列であるような任意の整数多項式は、ディクソン多項式と（有理係数の）線形多項式の合成であることを示した。この主張はシューアの予想として知られていたが、実際にはシューアはその予想を行っていなかった。Fried の論文は多くのミスを含んでいたため、その訂正は G. {{harvtxt|Turnwald|1995}} によってなされ、P. {{harvtxt|M&uuml;ller|1997}} はシューアのある議論に沿った簡明な証明を与えた。

さらに P. {{harvtxt|M&uuml;ller|1997}} は、次数が ''q''&minus;1 と互いに素で、かつ ''q''<sup>1/4</sup> より小さいような有限体 '''F'''<sub>''q''</sub> 上の任意の置換多項式は、必ずディクソン多項式と線形多項式の合成であることを示した。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{Citation | last1=Brewer | first1=B. W. | title=On certain character sums | url=http://www.jstor.org/stable/1993392 | mr=0120202 | zbl=0103.03205  | year=1961 | journal=[[:en:Transactions of the American Mathematical Society|Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=99 | pages=241–245 | doi=10.2307/1993392}}
*{{cite journal | first=L.E. | last=Dickson | authorlink=レオナード・E・ディクソン | title=The analytic representation of substitutions on a power of a prime number of letters with a discussion of the linear group I,II | journal=Ann. Of Math. | volume=11 | year=1897 | pages=65–120; 161–183 | doi=10.2307/1967217 | issue=1/6 | publisher=The Annals of Mathematics | ref=harv | jstor=1967217 | jfm=28.0135.03 | issn=0003-486X}}
*{{cite journal | first=Michael | last=Fried | title=On a conjecture of Schur | journal=Michigan Math. J. | volume= 17 | year=1970 | pages=41–55 | url=http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029000374 | doi=10.1307/mmj/1029000374 | ref=harv | mr=0257033 | zbl=0169.37702 | issn=0026-2285}}
*{{Cite book
|last=Lidl|first= R.|last2=Mullen|first2= G. L.|last3= Turnwald|first3= G.
|title=Dickson polynomials
|series=Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics|volume= 65|publisher= Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York  |year=1993 | isbn=0-582-09119-5 | ref=harv | zbl=0823.11070 | mr=1237403}}
* {{cite book | zbl=0866.11069 | last1=Lidl | first1=Rudolf | last2=Niederreiter | first2=Harald | title=Finite fields | edition=2nd | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=20 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1997 | isbn=0-521-39231-4 }} 
*{{SpringerEOM|title=Dickson polynomial|last= Mullen|first=Gary L.|urlname=Dickson_polynomial}}
*{{cite journal | first=Peter | last=M&uuml;ller | title=A Weil-bound free proof of Schur's conjecture | journal = Finite Fields Appl. |volume = 3 | year=1997 | pages=25–32 | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WFM-45M8VYC-J&_user=99318&_coverDate=01%2F31%2F1997&_rdoc=1&_fmt=high&_orig=search&_origin=search&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000007678&_version=1&_urlVersion=0&_userid=99318&md5=b40a5d38475bafcd5b0df1826f48680f&searchtype=a| zbl=0904.11040 | doi=10.1006/ffta.1996.0170 | ref=harv}}
* {{cite book | first1=Thermistocles M. | last1=Rassias | first2=H.M. | last2=Srivastava | first3=A. | last3=Yanushauskas | title=Topics in Polynomials of One and Several Variables and Their Applications: A Legacy of P.L.Chebyshev | publisher=World Scientific | year=1991 | isbn=981-02-0614-3 | pages=371–395 }}
*{{cite journal|first=Gerhard |last=Turnwald|title=On Schur's conjecture|journal= J. Austral. Math. Soc. Ser. A |volume= 58 |year=1995|pages=312–357|url=http://journals.cambridge.org./action/displayFulltext?type=1&pdftype=1&fid=4986396&jid=JAZ&volumeId=58&issueId=&aid=4986388|ref=harv|mr=1329867|doi=10.1017/S1446788700038349|issue=03|zbl=0834.11052}}
*{{cite journal|first1=Paul Thomas|last1=Young
|title=On modified Dickson polynomials |year=2002
|journal=Fib. Quaterly | volume=40 | pages=33–40 | number=1
|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/40-1/young.pdf}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ていくそんたこうしき}}
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