ディラック・スピノルのソースを表示

{{出典の明記| date = 2022年4月}}
{{独自研究|date=2025年3月}}

'''検索からたどり着いた方は [[ディラック方程式]]や[[スピノール]] を参考にすることをお勧めします．'''

'''ディラックスピノル'''（{{lang-en-short|Dirac spinor}}）とは、[[場の量子論]]において[[フェルミ粒子]]である既知のあらゆる[[素粒子 |基本粒子]]（ただし[[ニュートリノ]]を除く）を記述するのに用いられる数学的対象である。

本項は'''ディラック表現'''におけるディラックスピノルに焦点を当てたものである。これは[[ガンマ行列]]の固有表現に対応しており、ディラック方程式の正と負のエネルギー解を示す場合に最も適したものである。それ以外の表現もあり、特にカイラル表現はディラック方程式の解の[[カイラル対称性]]を明示的にみるのに適している。

== 定義 ==
ディラックスピノルは、自由粒子のディラック方程式の解を表現できる数学的対象である。
:<math>\psi = \omega_{\vec{p}} \exp(-ipx)</math>
:<math>\left(i\hbar\gamma^\mu \partial_\mu - mc\right)\psi = 0 \;\Rightarrow \left(i\gamma^\mu \partial_\mu - m\right)\psi = 0 \;</math>

ここで (<math>c = \hbar = 1</math>の結合内で)
:<math>\psi</math> は[[相対性理論|相対的]]な[[スピン角運動量|スピン1/2]]の場である。
:<math>\omega_\vec{p}</math> は[[波数ベクトル]]<math>\vec{p}</math>を有する平面波に関連するディラックスピノルである。
:<math>px \equiv p_\mu x^\mu \equiv E t - \vec{p} \cdot \vec{x}</math>,
:<math>p^\mu = \left\{\pm\sqrt{m^2 + \vec{p}^2}, \vec{p}\right\}</math>は平面波の[[4元ベクトル|4元]]波数ベクトルであり、ここでの<math>\vec{p}</math> は任意である。
:<math>x^\mu</math>は与えられた[[慣性系]]にある4座標である。

正周波数の解にとってのディラックスピノルは次のように書き表すこともできる。
:<math>
  \omega_\vec{p} = \begin{bmatrix}
    \phi \\ \dfrac{\vec{\sigma} \cdot \vec{p}}{E_\vec{p} + m} \phi
  \end{bmatrix},
</math>

ここで
:<math>\phi</math>は任意の2成分スピノル
:<math>\vec{\sigma}</math> は[[パウリ行列]] 
:<math>E_\vec{p}</math>は正の平方根<math>E_\vec{p} = + \sqrt{m^2 + \vec{p}^2}</math>

[[自然単位系]]において、''m''<sup>2</sup> が''p''<sup>2</sup> に追加されたり''m'' が<math>{p\!\!\!/}</math>に追加される場合、''m'' は通常単位系での''mc''を意味する。''m'' が''E''に追加される場合、''m'' は通常単位系での''mc''<sup>2</sup> を意味する。''m'' が<math>\partial_\mu</math> や<math>\nabla</math>に追加される場合、それは通常単位系での<math>mc/\hbar</math>（逆[[コンプトン波長]]と呼ばれる）を意味する。

== ディラック方程式からの導出 ==
ディラック方程式は以下の形式を取る。
{{Indent|<math>\left(-i \sum_{j} \alpha_i \cdot \frac{\partial}{\partial x_j} + \beta m \right) \psi = i \frac{\partial \psi}{\partial t}</math>}}

四成分スピノル <math>\omega</math> の形式を導出するために、まずは行列 <math>\mathbf{\alpha} </math> 及び <math>\beta</math> の値を示す必要がある:
{{Indent|<math>\alpha_i = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \sigma_i \\ \sigma_i & \mathbf{0} \end{bmatrix} \quad \quad \beta = \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{I} \end{bmatrix}</math>}}
これら2種類の 4 × 4 行列は、ディラック基底の[[ガンマ行列]]([[:en:Gamma matrices|Gamma matrices]])と関係する。ここで、<math>\sigma_i</math>は[[パウリ行列]], <math>\mathbf{0} </math> と <math>\mathbf{I} </math> はそれぞれ 2 × 2 行列の零行列及び単位行列を示す。

次のステップは、この形式に対する解の計算である。
{{Indent|<math>\psi = \omega e^{-i p \cdot x} </math>,}}
同時に、<math>\omega</math>を2つの2成分スピノルに分割する:
{{Indent|<math>\omega = \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix}</math>.}}

=== 結果 ===
上記の関係全てをディラック方程式に代入すると、以下のようになる:
{{Indent|<math>E \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}  m \mathbf{I} & \mathbf{\sigma \cdot p} \\ \mathbf{\sigma \cdot p} & -m \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix}</math>.}}

この行列方程式は、実は2つの対となる方程式である:
*<math>\left(E - m \right) \phi = \left(\mathbf{\sigma \cdot p} \right) \chi</math>
*<math>\left(E + m \right) \chi = \left(\mathbf{\sigma \cdot p} \right) \phi</math>

2つ目の方程式を <math>\chi</math> について解くと、以下のように書ける:
{{Indent|<math>\omega = \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  \phi \\ \dfrac{\mathbf{\sigma \cdot p}}{E + m} \phi \end{bmatrix}</math>}}

1つめの方程式を <math>\phi</math> について解くと、次式が求まる:
{{Indent|<math>\omega = \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  - \dfrac{\mathbf{\sigma \cdot p}}{-E + m} \chi \\ \chi \end{bmatrix}</math>}}
この解は、反粒子と粒子との関係を見るのに都合がよい。

==詳細==
===2成分スピノル===
2成分スピノルのもっとも便利な定義は次の通りである。
{{Indent|<math>\phi^1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \phi^2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>}}
及び
{{Indent|<math>\chi^1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \chi^2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}</math>}}


==粒子の4成分スピノル==
粒子は「正」のエネルギーを持つ物として定義される。4成分スピノル <math>\omega</math> は、 <math>\omega^\dagger \omega = 2 E</math> となるように正規化される。これらのスピノルは、<math>u</math> と表記される。
{{Indent|
{{Indent|<math> u(\mathbf{p}, s) = \sqrt{E+m} 
\begin{bmatrix} 
\phi^{(s)}\\ 
\dfrac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \phi^{(s)}
\end{bmatrix}</math>}}
ここで <math>s = 1</math> または <math>2</math> (「上」と「下」のスピン)}}

明らかに、次の様になる:
{{Indent|<math>u(\mathbf{p}, 1) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
\dfrac{p_3}{E+m} \\
\dfrac{p_1 + i p_2}{E+m}
\end{bmatrix} \quad \mathrm{and} \quad
u(\mathbf{p}, 2) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
0\\
1\\
\dfrac{p_1 - i p_2}{E+m} \\
\dfrac{-p_3}{E+m} \\
\end{bmatrix} </math>}}

==反粒子の4成分スピノル==
「正」のエネルギー <math>E</math> を持つ反粒子は、「負」のエネルギーを持ち、時間を遡る向きに伝わる、粒子として定義される。

そこから、粒子の4成分スピノルにおいて、<math>E</math> と <math>\mathbf{p}</math> の符号を変えることによって、反粒子の4成分スピノルが得られる:

{{Indent|<math> v(\mathbf{p},s) = \sqrt{E+m} 
\begin{bmatrix} 
\dfrac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \chi^{(s)} \\
\chi^{(s)} \\
\end{bmatrix}</math>}}

ここで、<math>\chi</math> による解を選ぶと、次の式は自明に導かれる:

{{Indent|<math>v(\mathbf{p}, 1) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
\dfrac{p_1 - i p_2}{E+m} \\
\dfrac{-p_3}{E+m} \\
0\\
1
\end{bmatrix}</math> 　及び　 <math>
v(\mathbf{p}, 2) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
\dfrac{p_3}{E+m} \\
\dfrac{p_1 + i p_2}{E+m} \\
1\\
0\\
\end{bmatrix} </math>}}

==完備性の関係式==
4成分スピノル <math>u</math> 及び <math>v</math> に対する完備性の関係式は次の通りである:
{{Indent|
{{Indent|
<math>\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{u}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ + m</math><br />
<math>\sum_{s=1,2}{v^{(s)}_p \bar{v}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ - m</math>
}}
ここで、
{{Indent|
<math>p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ([[ファインマンのスラッシュ記法]]([[:en:Feynman_slash_notation#With_four-momentum|Feynman slash notation]])を参照のこと)<br />
<math>\bar{u} = u^{\dagger} \gamma^0</math>
}}
}}
==ディラック・スピノルとディラック代数==
ディラック表記の[[ガンマ行列]]は4×4[[行列]]の組で、[[スピン角運動量|スピン]]や[[電荷]]、[[演算子 (物理学)|演算子]]として用いられる。

===取り決め===
計量表示と[[群表現]]については、物理学の文献においても、慣用されるいくつかの取り方がある。ディラック表記のガンマ行列は、普通、<math>\mu</math> を0から3の値として、<math>\gamma^{\mu}</math>と書かれる。この表記において、0は時間に、1から3は空間のx、y、zに相当する。

(+ - - -) の計量表示は時々[[アメリカ西海岸|西海岸]]計量と呼ばれる。一方 (- + + +) は[[アメリカ東海岸|東海岸]]計量と呼ばれる。今日では、(+ - - -) の計量表示が一般的であり、以下で例を示す際もこちらを用いる。計量表示を切り替える場合は、全ての <math>\gamma^{\mu}</math> に <math>i</math> を乗じる。

計量表示を定めても、4×4行列による群表現を構築する方法は沢山あり、多くの方法が広く使われている。ここでの例を極力一般化した形で見せるために、最後の段階まで群表現を固定せずに、話を進める。最後にPeskin&Schroederに倣って、「[[カイラル]]{{enlink|Chirality (physics)|chiral}}表現」もしくは「[[ヘルマン・ワイル|ワイル]]{{enlink|Hermann Weyl|Weyl}}表現」と呼ばれる群表現を代入する。

===構築===
まず電子と陽電子についての[[スピン角運動量|スピン]]の向きを選択する。上で議論したパウリ代数の例<ref>原文ママ。例の指す物が不明確だが、[[スピノル]]英語版記事の [[:en:Spinor#Examples|Examples]] での3次元の部分と見られる。</ref>と同様、スピンの向きを3次元[[単位ベクトル]] <math>(a, b, c)</math> で定義する。ペスキンとシュレーダーの教科書での取り決めと同様に、方向 <math>(a, b, c)</math> のスピンに対応するスピン演算子は、<math>(a, b, c)</math> と <math>(i\gamma^2\gamma^3,\;\;i\gamma^3\gamma^1,\;\;i\gamma^1\gamma^2)
=-(\gamma^1,\;\gamma^2,\;\gamma^3)i\gamma^1\gamma^2\gamma^3</math> との内積として定義する:

{{Indent|<math>\sigma_{(a, b, c)} = ia\gamma^2\gamma^3 + 
ib\gamma^3\gamma^1 + ic\gamma^1\gamma^2</math>}}

注目すべきは、上のが[[1の冪根|1の累乗根]]で有ることで、すなわち、二乗すると1になる。続けて、この演算子から、ディラック代数の、<math>(a, b, c)</math> の方向に合わせたスピンを持つ部分代数を、映し出す[[射影作用素]]を、導くことができる:

{{Indent|<math>P_{(a,b,c)} = \frac{1 + \sigma_{(a,b,c)}}2</math>}}

この段階で、電荷を +1 (陽電子) に取るか -1 (電子) に取るか選択する必要がある。ペスキンとシュレーダーの教科書での取り決めに従うと、電荷の演算子は <math>Q = -\gamma^0</math> となる。即ち、電子の状態は、この演算子についての固有値 -1 を取り、一方陽電子の状態は固有値 +1 を取ることになる。

注目すべきは、<math>Q</math> もまた1の累乗根となることである。その上、<math>Q</math> は <math>\sigma_{(a,b,c)}</math> と交換関係がある。
これらはディラック代数に対する[[交換するオブザーバブルの完全集合]]を形成する。この例で続けて、<math>(a,b,c)</math> の方向のスピンを持つ電子の表現を求める。

{{翻訳中途| [[:en:Dirac spinor]] 22:24, 2 January 2008 UTC|date=2008年3月}}

==脚注==
<references/>

== 参考文献 ==
{{節スタブ|date=2022年6月}}

{{DEFAULTSORT:ていらくすひのる}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:スピノル]]
[[Category:ポール・ディラック]]