ディラック場のソースを表示

'''ディラック場'''（{{Lang-en|Dirac field}}）とは、[[場の理論]]において[[スピン角運動量|スピン]] 1/2 の[[フェルミ粒子]]を記述する[[スピノル場]]である。[[相対論的量子力学]]において、[[ディラック方程式]]に従う場として[[ポール・ディラック]]により導入された。

== 概要 ==
ディラック場 {{math|''&psi;''(''x'')}} は微小[[ローレンツ変換]]の下で
:<math>i[M_{\mu\nu},\psi_a(x)] = x_\mu\partial_\nu\psi_a -x_\nu\partial_\mu\psi_a + i(S_{\mu\nu})_a{}^b\, \psi_b</math>
と変換する。スピン行列 {{mvar|S}} は[[ガンマ行列]]によって
:<math>S_{\mu\nu} = \frac{i}{4}(\gamma_\mu\gamma_\nu-\gamma_\nu\gamma_\mu)</math>
と表される。ディラック場はガンマ行列の行列成分と同じ添え字をもち、4次元時空においては4成分の場である。ディラック表示やカイラル表示などガンマ行列の表示によって見かけの成分は変化する。

== 自由場 ==
相互作用をしない自由ディラック場は[[ディラック方程式]]
:<math>i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi = 0</math>
に従う。{{mvar|m}} はディラック場を量子化した粒子の質量と解釈される。
ディラック方程式を導く[[ラグランジアン]]は
:<math>\mathcal{L}(\psi,\partial\psi) = i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\bar\psi\psi</math>
である。ここで {{math|{{overline|''&psi;''}}}} は {{mvar|&psi;}} の[[ディラック共役]]。

== カイラリティー ==
4次元時空において、ガンマ行列により
:<math>\gamma_5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3</math>
で定義される行列 {{math|''&gamma;''{{sub|5}}}}  は
:<math>(\gamma_5)^\dagger = \gamma_5,~(\gamma_5)^2 = 1,~\{ \gamma^\mu,\gamma_5 \} = 0</math>
の性質を持つ。{{math|''&gamma;''{{sub|5}}}} は[[カイラリティー]]と呼ばれる。
{{math|''&gamma;''{{sub|5}}}} は[[固有値]] {{math|&plusmn;1}} をもち、固有値 {{math|+1}} の部分空間は左手型成分（{{en|left-handed}}, LH）、{{math|&minus;1}} の部分空間は右手成分（{{en|right-handed}}, RH）と呼ばれる。[[射影演算子]]を
:<math>P_L \equiv \frac{1-\gamma_5}{2},~P_R \equiv \frac{1+\gamma_5}{2}</math>
により定義すれば、
:<math>\psi_L = P_L\psi</math>,
:<math>\psi_R = P_R\psi</math>
として左手型、右手型の成分に分解することが出来る。
定義から明らかなように、左手型成分と右手型成分を足せば元のスピノルとなる。
:<math>\psi_L + \psi_R = \psi</math>
また、ガンマ行列をかけるとカイラリティーが変わる。
:<math>\gamma_5(\gamma^\mu\psi_L)=+\gamma^\mu\psi_L,~\gamma_5(\gamma^\mu\psi_R)=-\gamma^\mu\psi_R</math>

== ワイルスピノル ==
ワイル表示ではカイラリティは
:<math>\gamma_5 = \begin{pmatrix}
 -\mathbf{1} & \mathbf{0} \\
 \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
\end{pmatrix}
</math>
となる。つまり、スピノルの上2成分が左手型成分、下2成分が右手型成分となる。
ディラック・スピノルをカイラリティーで分けた2成分スピノルをワイル・スピノルと呼ぶ。
:<math>\psi = \begin{pmatrix}
 \xi \\
 \bar\eta \\
\end{pmatrix}
</math>.
{{mvar|&psi;}} はディラック・スピノル（4成分）、{{mvar|&xi;}}, {{mvar|&eta;}} はワイル・スピノル（2成分）。

ディラック方程式をワイルスピノルで書けば、
:<math>i\frac{\partial\bar\eta}{\partial t}
 +i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\bar\eta -m\xi=0</math>
:<math>i\frac{\partial\xi}{\partial t}
 -i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\xi -m\bar\eta=0</math>
となる。質量がゼロのとき
:<math>i\frac{\partial\xi}{\partial t}
 =i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\xi</math>
:<math>i\frac{\partial\bar{\eta}}{\partial t}
 =-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\bar{\eta}</math>
となり、これは[[ワイル方程式]]と呼ばれる。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=九後汰一郎
|title=ゲージ場の量子論Ⅰ
|series=新物理学シリーズ
|publisher=[[培風館]]
|year=1989
|isbn=978-4-563-02423-9
|ref=kugo
}}
* {{Cite book|和書
|author=坂井典佑
|title=場の量子論
|series=裳華房フィジックスライブラリー
|publisher=[[裳華房]]
|year=2002
|isbn=4-7853-2212-8
|ref=sakai
}}
* {{Cite book|和書
|author=V.P.ナイア
|title=現代的な視点からの場の量子論 基礎編
|publisher=[[丸善雄松堂|丸善]]
|others=阿部泰裕, 磯暁 訳
|yer=2012
|isbn=978-4-621-06172-5
|ref=nair
}}
* {{Cite book
|author=M.E.Peskin, D.V.Schroeder
|title=An Introduction to Quantum Field Theory
|publisher=Westview Perss
|year=1995
|isbn=978-0-201-50397-5
|ref=peskin
}}

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[[Category:場の量子論]]
[[Category:ポール・ディラック]]