ディリクレの単数定理のソースを表示

数学において、'''ディリクレの単数定理'''(Dirichlet's unit theorem)は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]] {{harv|Dirichlet|1846}} による[[代数的整数論]]の基本的な結果である{{sfn|Elstrodt|2007|loc=§8.D}}。ディリクレの単数定理は、[[代数体]] {{mvar|K}} の[[代数的整数]]がなす[[環 (数学)|環]] <math>\mathcal{O}_K</math> の[[単数群]] <math>\mathcal{O}_K^\times</math> の[[アーベル群のランク|階数]]を決定する。'''単数基準'''（あるいは'''レギュレータ'''）(regulator)とは、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。
<!--In [[mathematics]], '''Dirichlet's unit theorem''' is a basic result in [[algebraic number theory]] due to [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]].<ref>{{harvnb|Elstrodt|2007|loc=§8.D}}</ref> It determines the [[rank of an abelian group|rank]] of the [[group of units]] in the [[ring (mathematics)|ring]] ''O''<sub>''K''</sub> of [[algebraic integer]]s of a [[number field]] ''K''. The '''regulator''' is a positive real number that determines how "dense" the units are.-->

==ディリクレの単数定理==
ディリクレの単数定理は、[[単数群]]が[[有限生成群|有限生成]]であり、[[アーベル群のランク|階数]]（乗法的に独立な元の最大数）が
:{{math|1=''r'' = ''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub> &minus; 1}}
に等しいと主張する。ここに {{math|''r''<sub>1</sub>}} は、[[代数体]] {{mvar|K}} の'''[[埋め込み_(数学)|実埋め込み]]'''<ref>代数体 {{mvar|K}} から {{math|'''Q'''}} の代数体閉包 {{math|{{overline| '''Q'''}}}} の中への同型写像のうち、像が {{math|'''R'''}} の中にあるもの</ref>の数で、{{math|''r''<sub>2</sub>}} は虚埋め込みの共役ペア<ref>虚埋め込みとは、同型写像の像が {{math|'''R'''}} にないものを指す。写像の像について複素共役をとったものも同様に同型写像となるため、この共役ペアを単位に数える。</ref>の数である。この {{math|''r''<sub>1</sub>}} と {{math|''r''<sub>2</sub>}} は、[[複素数]]体への {{mvar|K}} の埋め込みが次数 {{math|1=''n'' = [''K'' : '''Q''']}} と同じだけあるという考えの元に特徴付けられている。これらの埋め込みは、[[実数]]への埋め込みか、または、[[複素共役]]のペアとなる埋め込みのいずれかであるので、
:{{math|1=''n'' = ''r''<sub>1</sub> + 2''r''<sub>2</sub>}}
となる。

{{mvar|K}} が {{math|'''Q'''}} 上の[[ガロア拡大]]であれば、{{math|''r''<sub>1</sub>}} と {{math|''r''<sub>2</sub>}} のいずれかは 0 でないが、両方が同時に 0 にならないことに注意する。
<!--==Dirichlet's unit theorem==
The statement is that the group of units is finitely generated and has [[Rank of an abelian group|rank]] (maximal number of multiplicatively independent elements) equal to

:''r'' = ''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub> &minus; 1

where ''r''<sub>1</sub> is the ''number of real embeddings'' and ''r''<sub>2</sub> the ''number of conjugate pairs of complex embeddings'' of ''K''.  This characterisation of
''r''<sub>1</sub> and ''r''<sub>2</sub> is based on the idea that there will be as many ways to embed ''K'' in the [[complex number]] field as the degree ''n'' = [''K'' : '''Q''']; these will either be into the [[real number]]s, or pairs of embeddings related by [[complex conjugation]], so that

:''n'' = ''r''<sub>1</sub> + 2''r''<sub>2</sub>.

Note that if ''K'' is Galois over ''Q'' then either ''r''<sub>1</sub> is non-zero or ''r''<sub>2</sub> is non-zero, but not both.-->

{{math|''r''<sub>1</sub>}} と {{math|''r''<sub>2</sub>}} を決定する他の方法は以下のとおりである。

* [[原始元 (有限体)|原始元]]の定理を使い {{math|1=''K'' = '''Q'''(''α'')}} と書くと、{{mvar|α}} の実数である[[複素共役|共役]]元の数は {{math|''r''<sub>1</sub>}} 個であり、虚数である共役元の数は {{math|2''r''<sub>2</sub>}} 個である。

* [[体のテンソル積]] {{math|''K'' ⊗<sub>'''Q'''</sub>'''R'''}} を体の積として書くと、これは、{{math|''r''<sub>1</sub>}} 個の {{math|'''R'''}} のコピーと {{math|''r''<sub>2</sub>}} 個の {{math|'''C'''}} のコピーの積である。
<!--Other ways of determining ''r''<sub>1</sub> and ''r''<sub>2</sub> are

* use the [[Primitive element (field theory)|primitive element]] theorem to write ''K'' = '''Q'''(α), and then ''r''<sub>1</sub> is the number of [[conjugate element (field theory)|conjugates]] of α that are real, 2''r''<sub>2</sub> the number that are complex;

* write the [[tensor product of fields]] ''K'' ⊗<sub>'''Q'''</sub>'''R''' as a product of fields, there being ''r''<sub>1</sub> copies of '''R''' and ''r''<sub>2</sub> copies of '''C'''.-->

例として {{mvar|K}} を[[二次体]]とすると、実二次体ではランクは 1 であり、虚二次体ではランクは 0 である。実二次体の理論は本質的には、[[ペル方程式]]の理論である。

ランクが 0 の {{math|'''Q'''}} と虚二次体を例外として除くと、全ての数体に対するランクは正になる。単数の「サイズ」は一般に単数基準と呼ばれる[[行列式]]により測られる。原理上は、単数の基底は実効的に計算することができるが、実際の計算は {{mvar|n}} が大きいときには非常に煩雑になる。
<!--As an example, if ''K'' is a [[quadratic field]], the rank is 1 if it is a real quadratic field, and 0 if an imaginary quadratic field. The theory for real quadratic fields is essentially the theory of [[Pell's equation]].

The rank is > 0 for all number fields besides '''Q''' and imaginary quadratic fields, which have rank 0. The 'size' of the units is measured in general by a [[determinant]] called the regulator. In principle a basis for the units can be effectively computed; in practice the calculations are quite involved when ''n'' is large.-->

単数群の[[捩れ (代数学)|捩れ]]は、{{mvar|K}} の 1 のすべての冪根の集合で、有限[[巡回群]]となる。少なくとも 1つの実埋め込みを持つ数体では、捩れは {{math|{{mset|1, &minus;1}}}} のみとなるはずである。[[虚二次体]]のように、単数群の捩れが {{math|{{mset|1, &minus;1}}}} であるような実埋め込みを持たない数体もある。

[[総実体]]は単数の観点からは特別に重要である。{{math|''L''/''K''}} を次数が 1 より大きな有限次拡大として、{{mvar|L}} と {{mvar|K}} の整数体の単数群が同じランクとすると、{{mvar|K}} は総実で、{{mvar|L}} は[[総虚体|総虚]]な二次拡大となり、逆もまた正しい。（例として、{{mvar|K}} が有理数体、{{mvar|L}} が虚二次体の場合、双方ともランク 0 である。）

[[ヘルムート・ハッセ]]により（後日、[[クロード・シュヴァレー]]により）単数定理は一般化され、整数環の[[環の局所化|局所化]]での単数群の階数を決定する'''{{仮リンク|S-単数|en|S-unit}}'''(S-unit)の群の構造が記述された。また、[[ガロア加群]]構造 <math>\mathbf{Q} \oplus \mathcal{O}_{K,S} \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q}</math> が決定された{{sfn|Neukirch|Schmidt|Wingberg|2000|loc=Proposition VIII.8.6.11}}。
<!--The torsion in the group of units is the set of all roots of unity of ''K'', which form a finite [[cyclic group]]. For a number field with at least one real embedding the torsion
must therefore be only {1,&minus;1}.  There are number fields, for example most [[imaginary quadratic field]]s, having no real embeddings which also have {1,&minus;1} for the torsion of its unit group.

Totally real fields are special with respect to units.  If ''L/K'' is a finite extension of number fields with degree greater than 1 and the units groups for the integers of ''L'' and ''K'' have the same rank then ''K'' is totally real and ''L'' is a totally complex quadratic extension.  The converse
holds too. (An example is
''K'' equal to the rationals and ''L'' equal to an imaginary quadratic field; both have unit rank 0.)

There is a generalisation of the unit theorem by [[Helmut Hasse]] (and later [[Claude Chevalley]]) to describe the structure of the group of ''[[S-unit]]s'', determining the rank of the unit group in [[localization of a ring|localizations]] of rings of integers. Also, the [[Galois module]] structure of <math>\mathbf{Q} \oplus O_{K,S} \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q}</math> has been determined.{{sfn|Neukirch|Schmidt|Wingberg|2000|loc=proposition VIII.8.6.11}}-->

==単数基準==
{{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''r''</sub>}} を 1 のべき根を法とした単数群の生成元の集合とする。{{mvar|u}} が代数的数であれば、{{math|''u''<sup>1</sup>, ..., ''u''<sup>''r''+1</sup>}} を {{math|'''R'''}} や {{math|'''C'''}} への埋め込みとして、{{mvar|N<sub>j</sub>}} をそれぞれ実埋め込み・虚埋め込みに対応して 1, 2 とすると、各要素が <math>N_j\log|u_i^j|</math> である {{math|''r'' × (''r''&nbsp;+&nbsp;1)}} 行列は、どの行の和も 0 であるという性質をもつ（何故ならば、全ての単数はノルムが 1 であり、ノルムの log は、行の要素の和とであるからである）。このことは、任意の列を除去して作られる部分行列の行列式の絶対値 {{mvar|R}} が除去した列に依存しないことを意味する。数値 {{mvar|R}} は代数体の'''単数基準'''（あるいは'''レギュレータ'''）(regulator)と呼ばれる（この値は {{mvar|u<sub>i</sub>}} の選び方には依存しない）。この値は単数の「密度」を測るものであり、単数基準が小さければは単数が「多く」存在することを意味する。
<!--==The regulator==

Suppose that ''u''<sub>1</sub>,...,''u''<sub>r</sub> are a set of generators for the unit group modulo roots of unity. If ''u'' is an algebraic number, write ''u''<sup>1</sup>, ..., ''u''<sup>''r+1''</sup> for the different embeddings into '''R''' or '''C''', and set
''N''<sub>''j''</sub> to 1, resp. 2 if corresponding embedding is real, resp. complex.
Then the ''r'' by ''r''&nbsp;+&nbsp;1 matrix whose entries are <math>N_j\log|u_i^j|</math> has the property that the sum of any row is zero (because all units have norm 1, and the log of the norm is the sum of the entries of a row). This implies that the absolute value ''R'' of the determinant of the submatrix formed by deleting one column is independent of the column.
The number ''R'' is called the '''regulator''' of the algebraic number field (it does not depend on the choice of generators ''u''<sub>i</sub>). It measures the "density" of the units: if the regulator is small, this means that there are "lots" of units.-->

単数基準は次のように幾何学的に解釈される。単数 {{mvar|u}} を、要素 <math>N_j\log|u^j|</math> からなるベクトルへ写す写像は、{{math|'''R'''<sup>''r''+1</sup>}} の {{mvar|r}} 次元部分空間の中に像を持ち、要素の和が 0 となる全てのベクトルからなり、ディリクレの単数定理により像はこの空間の中の格子となる。この格子の基本領域の体積は、{{math|''R''√(''r''+1)}} である。

次数が 2 以上の代数体の単数基準の計算は、普通は非常に難しいが、現在は多くの場合に計算可能なコンピュータ用の代数パッケージが存在する。普通は[[類数公式]]を使い[[イデアル類群|類数]] {{mvar|h}} に単数基準をかけた積 {{mvar|hR}} の計算は容易であるので、代数体の類数の計算における困難な点は、主に単数基準を計算することにある。
<!--The regulator has the following geometric interpretation. The map taking a unit ''u'' to the vector with entries <math>N_j\log|u^j|</math> has image in the ''r''-dimensional subspace of '''R'''<sup>''r''+1</sup> consisting
of all vector whose entries have sum 0, and by Dirichlet's unit theorem the image is a lattice in this subspace. The volume of a fundamental domain of this lattice is  ''R''√(''r''+1).

The regulator of an algebraic number field of degree greater than 2 is usually quite cumbersome to calculate, though there are now computer algebra packages that can do it in many cases. It is usually much easier to calculate the product ''hR'' of the [[class number (number theory)|class number]] ''h'' and the regulator using the [[class number formula]], and the main difficulty in calculating the class number of an algebraic number field is usually the calculation of the regulator.-->

===例===
[[Image:Discriminant49CubicFieldFundamentalDomainOfUnits.png|thumb|300px|right|{{math|'''Q'''}} へ {{math|1=''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1}} の根を添加することで得られる三次の円分体の単数群の、対数空間中の基本領域。基本単数の集合は {{math|{{mset|''ε''<sub>1</sub>,&nbsp;''ε''<sub>2</sub>}}}} である。ここで{{mvar|&alpha;}} で {{math|''f''(''x'')}} の根を表すと、 {{math|1=''ε''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''α''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''α''&nbsp;&minus;&nbsp;1}} で {{math|1=''ε''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;&minus;&nbsp;''α''<sup>2</sup>}} である。基本領域の面積はおよそ 0.910114 であるので、{{mvar|K}} の単数基準はおよそ 0.525455 である。]]
<!--===Examples===
[[Image:Discriminant49CubicFieldFundamentalDomainOfUnits.png|thumb|300px|right|A fundamental domain in logarithmic space of the group of units of the cyclic cubic field ''K'' obtained by adjoining to '''Q''' a root of ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1. If &alpha; denotes a root of ''f''(''x''), then a set of fundamental units is {ε<sub>1</sub>,&nbsp;ε<sub>2</sub>} where ε<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;α<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;α&nbsp;&minus;&nbsp;1 and ε<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;&minus;&nbsp;α<sup>2</sup>. The area of the fundamental domain is approximately 0.910114, so the regulator of ''K'' is approximately 0.525455.]]-->
*[[二次体|虚二次体]]や有理整数体の単数基準は 1 である。（0&times;0 行列の行列式は 1 とする)
*[[二次体|実二次体]]の単数基準は、[[代数体#基本単数系|基本単数]]の log である。例えば、{{math|'''Q'''(√5)}} の単数基準は {{math|log((√5&nbsp;+&nbsp;1)/2)}} である。このことは次のようにして分かる。基本単数は {{math|(√5 + 1)/2}} であり、{{math|'''R'''}} への 2つの埋め込みの像は {{math|(√5&nbsp;+&nbsp;1)/2}} と {{math|(&minus;√5&nbsp;+&nbsp;1)/2}} であるので、{{math|''r'' × (''r''&nbsp;+&nbsp;1)}} 行列は、
::<math>\left[1\cdot\log\left|{\sqrt{5} + 1 \over 2}\right|, \quad 1\cdot \log\left|{-\sqrt{5} + 1 \over 2}\right|\ \right]</math>
:である。
*{{mvar|α}} を {{math|''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2x&nbsp;&minus;&nbsp;1}} の根とすると、{{仮リンク|三次体|label=巡回三次体|en|cyclic cubic field}} {{math|'''Q'''(''α'')}} の単数基準は、およそ 0.5255 となる。べき根を法とした単数群の基底は、{{math|{{mset|''ε''<sub>1</sub>,&nbsp;''ε''<sub>2</sub>}}}} である。ここに {{math|1=''ε''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''α''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''α''&nbsp;&minus;&nbsp;1}} であり、{{math|1=''ε''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;&minus;&nbsp;''α''<sup>2</sup>}} である{{sfn|Cohen|1993|loc=Table B.4|p={{google books quote|id=5TP6CAAAQBAJ|page=511|511}}}}。
<!--*The regulator of an [[imaginary quadratic field]], or of the rational integers, is 1 (as the determinant of a 0&times;0 matrix is 1).
*The regulator of a [[real quadratic field]] is the logarithm of its [[Fundamental unit (number theory)|fundamental unit]]: for example, that of '''Q'''(√5) is log((√5&nbsp;+&nbsp;1)/2). This can be seen as follows. A fundamental unit is (√5 + 1)/2, and its images under the two embeddings into '''R''' are (√5&nbsp;+&nbsp;1)/2 and (&minus;√5&nbsp;+&nbsp;1)/2. So the ''r'' by ''r''&nbsp;+&nbsp;1 matrix is

::<math>\left[1\times\log\left|{\sqrt{5} + 1 \over 2}\right|, \quad 1\times \log\left|{-\sqrt{5} + 1 \over 2}\right|\ \right].</math>

*The regulator of the [[cyclic cubic field]] '''Q'''(α), where α is a root of ''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1, is approximately 0.5255. A basis of the group of units modulo roots of unity is {ε<sub>1</sub>,&nbsp;ε<sub>2</sub>} where ε<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;α<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;α&nbsp;&minus;&nbsp;1 and ε<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;&minus;&nbsp;α<sup>2</sup>.<ref>{{harvnb|Cohen|1993|loc=Table B.4}}</ref>-->

==高次単数基準==
高次単数基準とは、単数群に対する古典的な単数基準を、{{math|''n'' > 1}} における[[代数的K-群]] {{math|''K''<sub>n</sub>}} 上の函数として拡張したものである（古典的な単数基準は、群 {{math|''K''<sub>1</sub>}} の場合に相当する）。この理論は発展途上であり、[[アルマン・ボレル]]らが研究している。このような単数基準は、例えば[[L-函数の特殊値|ベイリンソン予想]]で利用され、整数引数の[[L-函数]]の評価時に現れると期待されている<ref name=Bloch>{{cite book
| last=Bloch
| first=Spencer J.
| authorlink=Spencer Bloch
| title=Higher regulators, algebraic ''K''-theory, and zeta functions of elliptic curves
| series=CRM Monograph Series
| volume=11
| location=Providence, RI
| publisher=[[American Mathematical Society]]
| year=2000
| isbn=0-8218-2114-8
| zbl=0958.19001
}}</ref>。
<!--==Higher regulators==

A 'higher' regulator refers to a construction for a function on an [[algebraic K-group]] with index ''n'' > 1 that plays the same role as the classical regulator does for the group of units, which is a group ''K''<sub>1</sub>. A theory of such regulators has been in development, with work of [[Armand Borel]] and others. Such higher regulators play a role, for example, in the [[Beilinson conjectures]], and are expected to occur in evaluations of certain [[L-function]]s at integer values of the argument.<ref name=Bloch>{{cite book | last=Bloch | first=Spencer J. | authorlink=Spencer Bloch | title=Higher regulators, algebraic ''K''-theory, and zeta functions of elliptic curves | series=CRM Monograph Series | volume=11 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2000 | isbn=0-8218-2114-8 | zbl=0958.19001 }}</ref>-->

==スターク単数基準==
[[スターク予想]]の定式化により、[[ハロルド・スターク]]は、現在'''スターク単数基準'''(Stark regulator)と呼ばれているものを提唱した。これは古典的な単数基準の類似物として、任意の{{仮リンク|アルティン表現|en|Artin representation}}に対応する単数の log の行列式としたものである<ref>[http://www.math.tifr.res.in/~dprasad/artin.pdf PDF]</ref><ref>[http://www.math.harvard.edu/~dasgupta/papers/Dasguptaseniorthesis.pdf PDF] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080510150747/http://www.math.harvard.edu/~dasgupta/papers/Dasguptaseniorthesis.pdf |date=2008年5月10日 }}</ref>。
<!--==Stark regulator==
The formulation of [[Stark's conjectures]] led [[Harold Stark]] to define what is now called the '''Stark regulator''', similar to the classical regulator as a determinant of logarithms of units, attached to any [[Artin representation]].<ref>[http://www.math.tifr.res.in/~dprasad/artin.pdf PDF]</ref><ref>[http://www.math.harvard.edu/~dasgupta/papers/Dasguptaseniorthesis.pdf PDF]</ref>-->

=={{mvar|p}}-進単数基準==
{{mvar|K}} を[[代数体|数体]]とし、{{mvar|K}} の各々の固定された有理素点上の[[付値|素点]] {{mvar|P}} に対して、局所単数を {{mvar|U<sub>P</sub>}} で表し、{{math|''U''<sub>1,''P''</sub>}} で {{mvar|U<sub>P</sub>}} の中での主単数の部分群を表すとする。さらに、
: <math> U_1 = \prod_{P|p} U_{1,P}</math>
と置き、{{math|''E''<sub>1</sub>}} で大域的単数 {{mvar|ε}} の集合を表すとする。ここで {{mvar|ε}} は {{math|''E''}} の大域的単数の対角埋め込みを通して {{math|''U''<sub>1</sub>}} へ写す。

{{math|''E''<sub>1</sub>}} は大域的単数の有限[[部分群の指数|指数]]部分群であるので、{{math|''E''<sub>1</sub>}} は階数 {{math|''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub> &minus; 1}} の[[アーベル群]]である。'''{{mvar|p}}-進単数基準'''({{mvar|p}}-adic regulator)とは、この群の生成元の {{mvar|p}}-進対数で作られた行列の行列式である。'''{{仮リンク|レオポルドの予想|en|Leopoldt's conjecture}}'''は、この行列式が 0 ではないと予想している<ref name=NSW6267>Neukirch et al. (2008) p. 626–627</ref><ref>{{cite book
| last=Iwasawa
| first=Kenkichi
| authorlink=Kenkichi Iwasawa
| title=Lectures on {{mvar|p}}-adic {{mvar|L}}-functions
| series=Annals of Mathematics Studies
| volume=74
| location=Princeton, NJ
| publisher=Princeton University Press and University of Tokyo Press
| year=1972
| isbn=0-691-08112-3
| zbl=0236.12001
| pages=36-42
}}</ref>。
<!--==''p''-adic regulator==
Let ''K'' be a [[number field]] and for each [[Valuation (algebra)|prime]] ''P'' of ''K'' above some fixed rational prime ''p'', let ''U''<sub>''P''</sub> denote the local units at ''P'' and let ''U''<sub>1,''P''</sub> denote the subgroup of principal units in ''U''<sub>''P''</sub>. Set

: <math> U_1 = \prod_{P|p} U_{1,P}. </math>

Then let ''E''<sub>1</sub> denote the set of global units ''ε'' that map to ''U''<sub>1</sub> via the diagonal embedding of the global units in&nbsp;''E''.

Since <math>E_1</math> is a finite-[[Index of a subgroup|index]] subgroup of the global units, it is an [[abelian group]] of rank <math>r_1 + r_2 - 1</math>.  The '''''p''-adic regulator''' is the determinant of the matrix formed by the ''p''-adic logarithms of the generators of this group.  ''[[Leopoldt's conjecture]]'' states that this determinant is non-zero.<ref name=NSW6267>Neukirch et al (2008) p.626-627</ref><ref>{{cite book | last=Iwasawa | first=Kenkichi | authorlink=Kenkichi Iwasawa | title=Lectures on ''p''-adic ''L''-functions | series=Annals of Mathematics Studies | volume=74 | location=Princeton, NJ | publisher=Princeton University Press and University of Tokyo Press | year=1972 | isbn=0-691-08112-3 | zbl=0236.12001 | pages=36-42 }}</ref>-->

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Cite book
| last=Cohen
| first=Henri
| title=A Course in Computational Algebraic Number Theory
| url={{google books|5TP6CAAAQBAJ|plainurl=yes}}
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=Berlin, New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=138
| isbn=978-3-540-55640-4
| mr=1228206
| zbl=0786.11071
| year=1993
| ref=harv
}}
* {{cite book
| last=Dirichlet
| first=G. L.
| authorlink=ペーター・グスタフ・ディリクレ
| contribution=Zur Theorie der complexen Einheiten
| origyear=1846
| editors=[[レオポルト・クロネッカー|L. Kronecker]]
| title=G. Lejeune Dirichlet's Werke
| year=1869
| volume=1
| pages=641–644
| url={{google books|r6Lwt-5J-psC|plainurl=yes|page=RA1-PA23}}
| ref={{sfnref|Dirichlet|1846}}
| zbl=0212.00801
}}
*{{cite journal
| last = Elstrodt
| first = Jürgen
| journal = Clay Mathematics Proceedings
| title = The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)
| year = 2007
| url = http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf
| format = PDF
| accessdate = 2010-06-13
| ref = harv
}}
* {{cite book
| first=Serge
| last=Lang
| author-link=Serge Lang
| title=Algebraic number theory
| url={{google books|o1blBwAAQBAJ|plainurl=yes}}
| edition=2nd
| series=Graduate Texts in Mathematics
| volume=110
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| publisher=[[Springer-Verlag]]
| year=1994
| isbn=0-387-94225-4
| zbl=0811.11001
| ref=harv
}}
* {{cite book
|last=Neukirch
|first=Jürgen
|year=1999
|title=Algebraic Number Theory
|url={{google books|hS3qCAAAQBAJ|plainurl=yes}}
|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
|volume=322
|location=Berlin
|publisher=Springer-Verlag
|isbn=978-3-540-65399-8
|zbl=0956.11021
|mr=1697859
|ref=harv
}}
* {{cite book
|last1=Neukirch
|first1=Jürgen
|last2=Schmidt
|first2=Alexander
|last3=Wingberg
|first3=Kay
|year=2000
|title=Cohomology of Number Fields
|url={{google books|9WST1LnyCucC|plainurl=yes}}
|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|volume=323
|location=Berlin
|publication=Springer-Verlag
|isbn=978-3-540-66671-4
|zbl=0948.11001
|mr=1737196
|ref=harv
}}

==関連項目==
*{{仮リンク|楕円単数|label=楕円単数|en|Elliptic unit}}(Elliptic unit)
*{{仮リンク|円単数|label=円分単数|en|Cyclotomic unit}}(Cyclotomic unit)
*{{仮リンク|新谷の単数定理|en|Shintani's unit theorem}}(Shintani's unit theorem)

{{デフォルトソート:ていりくれのたんすうていり}}
[[Category:数論]]
[[Category:ペーター・グスタフ・ディリクレ]]
[[Category:数学に関する記事]]