ディリクレの原理のソースを表示

{{otheruses|偏微分方程式の解法|ディリクレの鳩の巣原理|鳩の巣原理}}
'''ディリクレの原理'''（ディリクレのげんり、{{lang-en-short|Dirichlet's Principle}}）とは、[[調和関数]]に関する[[ディリクレ問題]]の[[解]]を、あるクラスの[[関数 (数学)|関数]]の中で[[ディリクレ積分]]を最小にするものとして調和関数を発見する方法である。ディリクレ問題の解決方法でもっとも重要な一般的方法がディリクレの原理である。

ディリクレの原理は
:<math>\begin{align}
\Delta f(x) &= 0 & (x &\in \Omega) \\
f(x) &= g(x)     & (x &\in \partial \Omega)
\end{align}</math>
の解を、次のディリクレ積分
{{Indent|<math>\int_\Omega |\nabla v|^2</math>}}
を最小にするものを探すことで見つける方法である。

==歴史==
[[ベルンハルト・リーマン]]が[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]と結びつけたことからディリクレの原理と呼ばれるようになったが、歴史的には、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]の[[磁気]]の研究や[[ウィリアム・トムソン]]と[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]の[[物理学]]の研究に由来する。純粋数学への応用はリーマンによってはじめて行われた。彼は[[複素解析]]の基礎づけのためにこの原理を証明もなしに使用して、[[リーマン面]]上の関数の存在定理を証明したが、後に[[カール・ワイエルシュトラス]]によってギャップが指摘された。その後、[[ダフィット・ヒルベルト]]が再定式化したことで、ディリクレの原理は正当化され、[[変分法]]の直接法が発展することになった。[[ヘルマン・ワイル]]は正射影法として再定式化した。

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|author=日本数学会|title=岩波数学辞典|edition=第 3 版|publisher=[[岩波書店]]|date=1985|isbn=4000800167}}

==関連項目==
* [[ディリクレ問題]]
* [[調和関数]]
* [[変分法]]
* [[関数解析学]]

{{DEFAULTSORT:ていりくれのけんり}}
[[Category:数学の原理]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:変分法]]
[[Category:調和関数]]
[[Category:ペーター・グスタフ・ディリクレ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]