ディリクレの関数のソースを表示

'''ディリクレの関数'''（ディリクレの-かんすう）とは、[[実数]]全体の成す集合 ℝ 上で定義される次のような[[関数 (数学)|関数]]のことである。

: <math>
f(x)= 
\begin{cases}
1 & (x \in \mathbb{Q})\\
0 & (x \in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q})
\end{cases}
</math>
ただし、ℚ は[[有理数]]全体の成す集合であり、ℝ ∖ ℚ は[[無理数]]全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。ディリクレの関数は数学者の[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]に因んで命名された<ref>{{citation| first = Peter Gustav | last = Lejeune Dirichlet | title = Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume = 4 | year = 1829 | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_0004%7Clog13 | pages = 157–169}} [https://books.google.de/books?id=ZKwGAAAAYAAJ&pg=PA157 Google Books]; {{arXiv|0806.1294}} </ref>。

==積分可能性==
: <math>\sup \int^a_b f(x)dx=a-b</math>
: <math>\inf \int^a_b f(x)dx=0</math>
が成り立つから{{efn|sup&int; を[[上積分]]、inf&int; を[[下積分]]という。}}、ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることが分かる。一方、[[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である ℚ は[[ルベーグ測度]]に関して[[零集合]]であることによる。

==周期性==
この関数は、任意の有理数<math>a</math>に対して <math>f(x+a)=f(x)</math> となる。これは有理数体 ℚ が[[群 (数学)|加法について閉じている]]ことによる。

また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。

==連続関数の極限としての表示==
ディリクレの関数は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]本人によって、
: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\, \pi x)</math>
と表せることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階の[[ベール関数]]の一例である）。その方法は次による。

任意の有理数 {{Mvar|q}} を考える。[[階乗|{{Mvar|n}}!]] {{Mvar|q}} は、十分大きな {{Mvar|n}} に対して恒等的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 {{Mvar|r}} は、いくら {{Mvar|n}} を大きく取っても {{Mvar|n}}! {{Mvar|r}} が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。
: <math>
f(x)= 
\begin{cases}
1 & (n!\,x \in \mathbb{Z})\\
0 & (n!\,x \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z})
\end{cases}
(n \to \infin)
</math>
ただし、ℤ は整数全体の成す集合。さてここで、関数
: <math>
F(x)= 
\begin{cases}
1 & (x \in \mathbb{Z})\\
0 & (x \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z})
\end{cases}
</math>
を表示できれば、{{Mvar|f}}({{Mvar|x}}) = lim[{{Mvar|n}}&rarr;&infin;] F({{Mvar|n}}!{{Mvar|x}}) となって決着がつく。（{{Mvar|F}} は単独で考えても興味深い関数である。） {{Mvar|F}} は、[[不連続]]でありながらも[[周期的]]である。一定の[[周期]]を持つ関数として[[三角関数]]を考える。cos<sup>2</sup>(&pi;{{Mvar|x}}) は、{{Mvar|x}} が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回[[冪乗]]することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、
: <math>F(x)=\lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (\pi x)</math>
が結論付けられる。従って、
: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} F(n!x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\pi x)</math>
となる訳である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[カントール関数]]
*[[高木関数]]
*[[トマエ関数]]
*[[ワイエルシュトラス関数]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{PDFlink|[http://www.libe.nara-k.ac.jp/~yano/biseki2_2015/20151007_resume.pdf Dirichlet関数]}}
*{{MathWorld|title=Dirichlet Function|urlname=DirichletFunction}}

{{病的な関数の一覧}}
{{DEFAULTSORT:ていりくれのかんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学のエポニム]]