ディリクレエネルギーのソースを表示

[[数学]]における'''ディリクレエネルギー'''（{{Lang-en-short|Dirichlet's energy}}）は、[[函数]]がどのように変化するかを測るための概念である。より抽象的に、そのようなエネルギーは[[ソボレフ空間]] {{math|''H''<sup>1</sup>}} 上の[[二次関数|二次]][[汎函数]]である。ディリクレエネルギーは[[ラプラス方程式]]と密接に関連するもので、ドイツの数学者[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]の名にちなむ。

== 定義 ==

[[開集合]] {{math|&Omega; &sube; '''R'''<sup><var>n</var></sup>}} と函数 {{math|<var>u</var> : &Omega; &rarr; '''R'''}} が与えられたとき、その函数 {{math|<var>u</var>}} の'''ディリクレエネルギー'''は次の[[実数]]で定義される：

:<math>E[u] = \frac1{2} \int_{\Omega} \| \nabla u (x) \|^{2} \, \mathrm{d} V.</math>

ここで {{math|&nabla;<var>u</var> : &Omega; &rarr; '''R'''<sup><var>n</var></sup>}} は函数 {{math|<var>u</var>}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]][[ベクトル場]]を表す。

== 性質と応用 ==
ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 {{math|<var>u</var>}} に対して E[<var>u</var>]&nbsp;&ge;&nbsp;0 が成り立つ。

（適切な[[境界条件]]に対する）ラプラス方程式

:<math>- \Delta u (x) = 0 \text{ for all } x \in \Omega</math>

を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 {{math|<var>u</var>}} を探す[[変分法|変分問題]]を解くことと同値である。

そのような解は[[調和函数]]と呼ばれ、[[ポテンシャル論]]における研究テーマの一つである。

== 関連項目 ==
* [[ディリクレの原理]]
* {{仮リンク|全変動|en|Total variation}}
* {{仮リンク|有界平均振動|en|Bounded mean oscillation}}
* {{仮リンク|調和写像|en|Harmonic map}}

== 参考文献 ==
*{{cite book | author=Lawrence C. Evans | title=Partial Differential Equations | publisher=American Mathematical Society | year=1998 | isbn=978-0821807729 }}

{{DEFAULTSORT:ていりくれえねるきい}}
[[Category:変分法]]
[[Category:偏微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]