ディリクレ定理のソースを表示

{{No footnotes|date=2023-02}}
'''ディリクレ定理''' (ディリクレていり、英：？) は、ドイツの数学者[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]が証明した[[ディリクレの定理]](Dirichlet's_theorem)という名前が名付けられた定理のひとつで、[[フーリエ級数]]の[[収束級数|収束]]についての[[定理]]である<ref>http://www.tokuyama.ac.jp/syllabus/2007/tex/2007937.pdf</ref>。

== 解説 ==
この定理は以下の通りに書くことができる。

[[実数値関数|実関数]] <math> f\,</math> が 周期 2<math>\mathit{L}</math> [[周期関数]]でありながら、[[連続関数]]、そして [[区間|開区間]] {{open-open|''-<math>\pi</math>'', ''<math>\pi</math>''}} で [[極値]]が有限個存在するならば、[[関数 (数学)|関数]] <math> f\,</math>のフーリエ級数 <math>\mathit{S}_N(f)(\theta)=\sum_{n=-N}^N c_n \exp\left(\frac{in\pi\theta}{L}\right)</math> は全ての  <math>\theta</math> について <math> f\,</math> に[[一様収束]]する。(此処で<math> c_n </math>は[[フーリエ級数|フーリエ係数]]である。)

この記事では便宜上 関数 <math> f\,</math> の周期を 2<math>\pi</math> と設定した。

== 証明の型 ==
関数 <math> f\,</math> が [[区間|閉区間]] {{closed-closed|''-<math>\pi</math>'', ''<math>\pi</math>''}}で[[リーマン積分|リーマン積分可能]]でありながら、ある ''<math>\theta</math>'' &isin; 
''{{closed-closed|''-<math>\pi</math>'', ''<math>\pi</math>''}}'' で連続ならば[[フェイェールの定理]]によって[[整数]]  <math>n</math> と <math>k</math>について <math> n \rightarrow \infty </math> の時、<math> \sigma_{kn,n}(f)(\theta) \rightarrow f(\theta)</math> が成り立つ。 そこで <math> \sigma_{N,K}(f)(\theta) = \sum_{m=N}^{N+K-1} \left(\frac{\mathit{S}_m(f)(\theta)}{K}\right) </math> だ。

もし、関数 <math> f\,</math>のフーリエ係数 <math> c_n </math> が [[ランダウの記号]]を使って <math>c_n=O\left(\frac{1}{|n|}\right)</math>と書くことが出来れば連続な所で<math> f\,</math>のフーリエ級数は<math> f\,</math>に収束する。

上記の 「実関数 <math> f\,</math>が 周期 2<math>\pi</math>の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間 {{open-open|''-<math>\pi</math>'', ''<math>\pi</math>''}} で極値が有限個存在する」という条件が <math>c_n=O\left(\frac{1}{|n|}\right)</math> を成り立たせる。
その上、連続関数なので <math> f\,</math>に一様収束することも分かる。

== 証明 ==
{{節スタブ|date=2023年2月27日 (月) 09:31 (UTC)}}

== 例 ==
{{節スタブ|date=2023年2月27日 (月) 09:31 (UTC)}}

== 脚注 ==
<references />
== 参考文献 ==
* 日本評論社編、エリアス・M. スタイン ラミ・シャカルチ 著、 新井仁之、杉本充、 高木啓行、 千原浩之 訳「フーリエ解析入門」2007年。ISBN 978-4-535-60891-7
{{Substub}}
{{デフォルトソート:ていりくれていり}}
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:フーリエ解析]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ペーター・グスタフ・ディリクレ]]