ディリクレ核のソースを表示

{{出典の明記|date=May 2010}}
[[解析学]]における'''ディリクレ核'''（ディリクレかく、{{lang-en-short|''Dirichlet kernel''}}）は、函数列

:<math>D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}</math>

の各項を総称するものである。名称は[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ]]に因む。

==フーリエ級数との関係==
ディリクレ核は[[フーリエ級数]]との関連において重要である。ディリクレ核 ''D''<sub>''n''</sub> と周期 2&pi; の任意の函数 ''f'' との[[畳み込み]]は ''f'' の ''n''-次のフーリエ級数近似となる。すなわち、
:<math>\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx</math>
を ''f'' の ''k''-次フーリエ係数として、
:<math>(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx}</math>

が成り立つ。このことは、フーリエ級数の収束性を調べるにはディリクレ核の性質を調べれば十分であることを示している。特に重要なのは、''D''<sub>''n''</sub> の[[Lp空間| ''L''<sup>1</sup>-ノルム]]が ''n'' &rarr; &infin; とする極限で無限大に発散するという事実である。この発散の度合いは

:<math>\| D_n \| _{L^1} \approx \log n</math> 

と評価することができる。ここで "&asymp;" は「（増大度が）～の[[ランダウの記号|程度]]である」という意味である。フーリエ級数に対する発散現象の多くは、一様可積分性の欠如によるものである。たとえば、[[一様有界性原理]]とあわせれば[[連続函数]]のフーリエ級数が激しく各点収斂しない可能性が示せる（詳細は{{仮リンク|フーリエ級数の収束性|en|convergence of Fourier series}}の項を参照）。

<!--[[Image:Dirichlet.png|thumb|400px|Plot of the first few Dirichlet kernels]]英語版ローカル画像だが、適当な大体画像がコモンズに見当たらないためコメントアウト。-->
== デルタ函数との関係 ==
[[周期函数|周期的]][[ディラックのデルタ函数|デルタ函数]]（これは「集合から集合への写像」という意味では函数ではなく、シュワルツ超函数とも呼ばれる[[超函数]]と考えるべきである）に 2&pi; を掛ければ、周期 2&pi; の函数同士の畳み込みの[[単位元]]が得られる。すなわち、周期 2&pi; の任意の函数 ''f'' に対して

:<math>f*(2\pi\delta)=f</math>

が成立する。このデルタ函数のフーリエ級数表現は

:<math>2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right)</math>

であり、したがって（ちょうどこの級数の部分和の列となっている）ディリクレ核は「[[近似単位元]]」であると考えることができる。しかし、抽象的な話をすれば、これは正の元からなる近似単位元とはなっていない（このことが、前述のようなフーリエ級数の一様可積分性の欠如や各点収束しないといった議論につながる）。
<!-- 以下はディリクレ核の理解に、特に必要とは思えないのですが……
== 三角恒等式の証明 ==

記事の冒頭にも示した[[三角函数の公式|三角恒等式]]

:<math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}
=\frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}</math>

は以下のようにして示せる。まず、[[幾何数列]]の有限級数が

:<math>\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}</math>

であったことを思い出そう。特に

:<math>\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}</math>

が成り立つ--><!-- ''a'' = 1 とおくのはそうだが、両辺に ''r''<sup>&minus;''n''</sup> を掛けたわけではない。たとえば右辺分子の ''r'' の冪指数が異なることに注意。当然、\sum_{k=-n}^n r^k は \sum_{k=0}^n r^k と \sum_{k=1}^n (1/r)^(k) のに分解して計算して、あとで足したものがこれ。--><!--。分母と分子の両方に ''r''<sup>&minus;1/2</sup> を掛ければ

:<math>\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}</math>

が得られる。''r'' = ''e''<sup>''ix''</sup> の場合を考えれば

:<math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)} = \frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}</math>

だが、これが所期の等式であった。
-->
== 参考文献 ==
*Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: ''Real Analysis''. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 ([https://books.google.de/books?id=1WY6u0C_jEsC&hl=de vollständige Online-Version (Google Books)])

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Dirichlet's Lemma|urlname=DirichletsLemma}}
*{{MathWorld|title=Dirichlet Integrals|urlname=DirichletIntegrals}}
*{{Wayback|url=http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/35629.pdf|title=Dirichlet kernel|date=20131031194449}}

{{analysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:ていりくれかく}}
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[[Category:ペーター・グスタフ・ディリクレ]]