デカルトの円定理のソースを表示

幾何学における'''デカルトの円定理'''（デカルトのえんていり、''Descartes' theorem''）とは、互いに接する4つの円の半径はある[[二次方程式]]を満たす、という主張である。1642年にこれを発表した[[ルネ・デカルト]]に因む。

== 歴史 ==
互いに接する円の問題に対する関心は古く、紀元前三世紀の[[ギリシャ]]人である[[ペルガのアポロニウス]]が多くの論述を残している。

1643年、[[ルネ・デカルト]]は[[ライン宮中伯|プファルツ]]公女[[エリーザベト・フォン・デア・プファルツ (1618-1680)|エリーザベト]]への手紙の中でこの問題を詳細に研究し、後述する{{EquationNote|1|式(1)}}と本質的に同じ結果を得た。

[[フレデリック・ソディ]]が1936年に{{EquationNote|1|式(1)}}を再発見し ''[[ネイチャー|Nature]]'' に発表した<ref>{{Cite journal |title=The Kiss Precise |author=F. Soddy |journal=Nature|volume=137|issue=3477 |date=1936-06 |page=1021 |doi=10.1038/1371021a0}}</ref>ため、この問題で扱われる4つの円は'''ソディの円'''（{{lang-en-short|Soddy circles}}）と呼ばれる。フレデリック・ソディはこの問題を球へと拡張し、さらに[[w:Thorold Gosset|ソロルド・ゴセ]]は任意の次元へと拡張した。

== 主張 ==
[[File:Descartes Circles.svg|thumb|互いに接する3つの円（{{color|black|'''黒'''}}）の全てに接する円は2つ存在する（{{color|red|'''赤'''}}）]]
半径 {{mvar|r}} の円の[[曲率]] {{mvar|k}} を <math>k = \pm \frac{1}{r}</math> で定義する。大きな円ほど曲率の絶対値は小さい。

{{mvar|k}} が正のとき、その円は他の円と[[外接]]するものとする（図中の黒い円）。同じく負であるとき、その円は他の円と内接（内包）するものとする（図中の大きな赤い円）。{{mvar|k}} が 0 のときは、半径が無限に大きな円とみなし、直線を表すものとする。

互いに接する4つの円（もしくは3つの円と1つの直線）の曲率を {{math|''k''{{sub|1}}}}, {{math|''k''{{sub|2}}}}, {{math|''k''{{sub|3}}}}, {{math|''k''{{sub|4}}}} とする。デカルトの定理は、このとき以下の式が成り立つことを主張する。
{{NumBlk|:|<math>(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2 ( {k_1}^2 + {k_2}^2 + {k_3}^2 + {k_4}^2 )</math>|{{EquationRef|1}}}}
先に3つの円（もしくは2つの円と1つの直線）が与えられたとき、4つ目の円の曲率は上式を整理した以下の式で与えられる。
{{NumBlk|:|<math>k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1} </math>|{{EquationRef|2}}}}
複号により解は2つ与えられる。直線への[[退化 (数学)|退化]]を無視すれば、一方の解は常に正で他方は正もしくは負である。負の解は先述したように3つの円を内包する円を表す。

== 特別な場合 ==
=== 3つの円が同じ点で接している場合 ===
[[File:Three "Kissing" Circles without Appolonian Circles PNG.png|thumb|一点で接する3つの円]]
3つの円が同じ点で接している場合、デカルトの定理は'''適用できない'''。

=== 直線が存在する場合 ===
[[File:KissingCircles2.png|thumb|直線が存在してもデカルトの定理は適用可能である]]
; 円の1つが直線の場合
: 直線では ''k'' = 0 だから、{{EquationNote|2|式(2)}}より <math>k_4 = k_1 + k_2 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2} </math> を得る。
; 円の2つが直線の場合
: 同様に{{EquationNote|2|式(2)}}より自明な式 <math>k_4 = k_1 </math> を得る。

=== 曲率が平方数の場合 ===
曲率が全て[[平方数]]だった場合を考える。このとき{{EquationNote|2|式(2)}}は
{{NumBlk|:|<math>(v^2 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2 (v^4 + x^4 + y^4 + z^4) </math>|{{EquationRef|3}}}}
と表せる。[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]は {{math2|''v'', ''x'', ''y'', ''z''}} の組み合わせが[[ピタゴラスの定理#ピタゴラス数|ピタゴラスの三つ組]]になっていることを示した。
: <math>(2vx)^2 + (2yz)^2 = (v^2 + x^2 - y^2 - z^2)^2 </math>
: <math>(2vy)^2 + (2xz)^2 = (v^2 - x^2 + y^2 - z^2)^2 </math>
: <math>(2vz)^2 + (2xy)^2 = (v^2 - x^2 - y^2 + z^2)^2 </math>
今 {{math|''k''{{sub|1}}}} が負であったとすると
: <math>(-v^2 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2 (v^4 + x^4 + y^4 + z^4)</math>
の解は媒介変数表示できて
: <math>[v, x, y, z] = [2(ab-cd)(ab+cd), (a^2+b^2+c^2+d^2)(a^2-b^2+c^2-d^2), 2(ac-bd)(a^2+c^2), 2(ac-bd)(b^2+d^2)]</math>
となる。ここで {{math2|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} は以下の[[恒等式]]を満たすものである。
: <math>a^4 + b^4 = c^4 + d^4</math>
特に <math>v + x = y \land z \neq 0 </math> のとき{{EquationNote|3|式(3)}}は
: <math>4 (x^2 + vx + v^2) = z^2</math>
と二元二次不定方程式の形になり、やはり解の形を書き下せる。

== 複素数定理 ==
以下、円は[[複素平面]]上で定義されているものとする。''i'' 番目の円の中心を ''z''<sub>i</sub> で表すと、{{EquationNote|1|式(1)}}と似た形の{{EquationNote|4|式(4)}}で中心座標が表せる。これを [[w:Descartes' theorem#Complex Descartes theorem|complex Descartes' theorem]] と呼ぶ。

{{NumBlk|:|<math>(w_1 + w_2 + w_3 + w_4)^2 = 2 (w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 + w_4^2) </math>|{{EquationRef|4}}}}

{{NumBlk|:|<math>z_4 = \frac { (w_1 + w_2 + w_3 \pm 2 \sqrt{w_1 w_2 + w_2 w_3 + w_3 w_1}) } { k_4 } </math>|{{EquationRef|5}}}}

:: <math>where\ w_i = k_i z_i </math>

複号および複素数の平方根の多価性により1つの ''k''<sub>4</sub> に対し2つの解が得られ、そのうちの一方が正しい中心を与える。

== 一般化 ==
{{mvar|n}}次元への一般化は'''ソディ–ゴセの定理'''と呼ばれる。{{mvar|n}}次元[[ユークリッド空間]]において全てが互いに接する超球の最大数は {{math2|''n'' + 2}} 個であり、その曲率について
: <math>\left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^{n+2} k_i \right)^2 = n \textstyle\sum\limits_{i=1}^{n+2} {k_i}^2</math>
が成り立つ。超球の中心については[[行列]]による表示が知られている<ref>{{Cite journal |title=Beyond the Descartes Circle Theorem |authors=Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks |journal=The American Mathematical Monthly|volume=109 |issue=4 |date=2002-04 |pages=338-361 |jstor=2695498 |doi=10.2307/2695498}}</ref><ref>{{arxiv|archive=math|id=0101066}}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[フォードの円]]
* [[アポロニウスのギャスケット]]
* [[ソディの6球連鎖]]
* [[w:Tangent lines to circles]]
* [[w:Isoperimetric point]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:てかるとのえんていり}}
[[Category:円に関する定理]]
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:ルネ・デカルト]]
[[Category:数学に関する記事]]