デカルトの正葉線のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年2月10日 (土) 05:35 (UTC)}}
[[ファイル:Kartesisches-Blatt.svg|thumb|right|デカルトの正葉線。a=1の場合。|306x306ピクセル]]

'''デカルトの正葉線'''（デカルトのせいようせん、folium of Descartes）は[[直交座標]]の方程式
:<math>x^3 + y^3 - 3axy = 0 \,</math>
によって表される[[曲線]]である。[[媒介変数|パラメータ]]表示では
:<math>x=\frac{3at}{1 + t^3},~y=\frac{3at^2}{1 + t^3}\;(t\ne-1)</math>
と表される<ref>{{cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=jG4DYZ5uuE0 |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/jG4DYZ5uuE0 |archive-date=2021-12-21 |url-status=live |title=DiffGeom3: Parametrized curves and algebraic curves |publisher=N J Wildberger, [[University of New South Wales]] |accessdate=5 September 2013}}{{cbignore}}</ref>。

原点Oで自らと交わる。<math>x+y+a=0</math> を[[漸近線]]に持つ。ループで囲まれる[[面積]]は
:<math>S=\frac{3a^2}{2}</math>
である。

== 歴史 ==
1638年、[[ルネ・デカルト]]によって提案・研究された<ref name=":0">{{Cite web |last= |first= |date=June 5, 2020 |title=Folium of Descartes |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Folium_of_Descartes |archive-url= |archive-date= |access-date=January 30, 2021 |website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref>。デカルトの正葉線は[[微積分学]]の発展におけるデカルトと[[フェルマー]]との出来事で有名になった。デカルトは、フェルマーが接線を発見する方法を発見したと聞いて、フェルマーに曲線の任意の点上における接線を引く問題を出した。フェルマーはデカルトが解決できなかった方法を簡単に解決した<ref>Simmons, p. 101</ref>。微積分学の発展に伴い、現在は[[陰関数]]の[[微分]]によって曲線の接線の傾きを求められることが知られている<ref name=":1">{{Cite book |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early Transcendentals |publisher=Cengage Learning |year=2012 |isbn=978-0-538-49790-9 |location=United States of America |pages=209–11 |chapter=Section 3.5: Implicit Differentiation |author-link=James Stewart (mathematician)}}</ref>。

== グラフ ==
[[ファイル:Декартов лист в полярных координатах.png|サムネイル|377x377ピクセル]]
デカルトの正葉線は[[極座標系|極方程式]]によって、次の形で表す事ができる<ref name=":1" />。<math display="block">r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta },\quad \text{or} \quad r = \frac{3a \sec\theta \tan\theta}{1 + \tan^3 \theta}.</math>

パラメータ表示、

<math>x=\frac{3at}{1 + t^3},~y=\frac{3at^2}{1 + t^3}\;(t\ne-1)</math>

において、<math>t< -1</math>の部分は第四象限、<math>-1<t<0</math>の部分は第二象限、<math>0<t</math>の部分は第一象限に対応している。

== 性質 ==
デカルトの正葉線は、[[原点 (数学)|原点]]と漸近線に[[二重点]]をもつ。

また、[[直線]]{{Math|1=''y'' = ''x''}}で対称であり、{{Math|1=''y'' = ''x''}}とは原点と<math>(3a/2,3a/2)</math>で交わる。

デカルトの正葉線を[[陰函数微分]]すると、[[接線]]の[[傾き (数学)|傾き]]が次の式で与えられることが分かる<ref name=":1" />。<math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}. </math>

== マクローリンの三等分曲線との関係 ==
[[ファイル:MaclaurinTrisectrix.SVG|サムネイル]]
{{仮リンク|マクローリンの三等分曲線|en|Trisectrix of Maclaurin}}はデカルトの正葉線を[[アフィン変換]]したものである。<math display="block">x^3 + y^3 = 3 a x y \,,</math>を45°回転させる、つまり、<math display="block">x = {{X+Y} \over \sqrt{2}}, y = {{X-Y} \over \sqrt{2}}.</math>としてXYについて解くと<math display="block">2X(X^2 + 3Y^2) = 3 \sqrt{2}a(X^2-Y^2).</math>となる。これをY方向に<math>\sqrt{3}</math>拡大すれば、マクローリンの三等分曲線<math display="block">2X(X^2 + Y^2) = a \sqrt{2}(3X^2-Y^2),</math>となる。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* J. Dennis Lawrence: ''A catalog of special plane curves'', 1972, Dover Publications. {{ISBN|0-486-60288-5}}, pp.106–108
* [[:en:George_F._Simmons|George F. Simmons]]: ''Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics'', New York 1992, McGraw-Hill, xiv,355. {{ISBN|0-07-057566-5}}; new edition 2007, The Mathematical Association of America ([[:en:The_Mathematical_Association_of_America|MAA]])

== 外部リンク ==

* {{高校数学の美しい物語|1306|デカルトの葉線の漸近線と面積}}
* {{MathWorld|title=Folium of Descartes|id=FoliumofDescartes}}
* {{コトバンク |word=デカルトの葉線}}
{{DEFAULTSORT:てかるとのせいようせん}}
[[Category:代数曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三次曲線]]