デデキントのイータ関数のソースを表示

'''[[リヒャルト・デーデキント|デデキント]]のイータ関数''' (デデキントのイータかんすう、{{lang-en-short|Dedekind Eta function}}) は次のような式で定義される関数である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html Wolfram Mathworld: Dedekind Eta Function]</ref>。
:<math>\eta(\tau)=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\qquad(\image\tau>0)</math>
[[ヤコビの三重積]]の公式により、
:<math>\eta(\tau)=e^{\pi{i}\tau/12}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\left(e^{2\pi{i}\tau}\right)^{n(3n-1)/2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\left(e^{2\pi{i}\tau}\right)^{(6n-1)^2/24}\qquad(\image\tau>0)</math>
となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

== 極と零点 ==
<math>\image\tau>0</math>であれば<math>\left|e^{2\pi{i}\tau}\right|<1</math>であるから、
:<math>\begin{align}\left|\log\eta(\tau)\right|
&=\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\sum_{m=1}^{\infty}\left|\log(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\right|\\
&=\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|e^{2\pi{i}\tau{mn}}\right|}{n}\\
&=\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|e^{2\pi{i}\tau{n}}\right|}{n(1-\left|e^{2\pi{i}\tau{n}}\right|)}\\
&\le\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\frac{1}{1-|e^{2\pi{i}\tau}|}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|e^{2\pi{i}\tau{n}}|}{n}\\
&\le\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}-\frac{\log(1-|e^{2\pi{i}\tau}|)}{1-|e^{2\pi{i}\tau}|}\\
\end{align}</math>
である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、<math>\tau=q/r</math>が有理数であれば<math>1-e^{2\pi{i}\tau{r}}=0</math>であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

== テータ関数との関係 ==
イータ関数は[[テータ関数]]で表される。[[オイラーの分割恒等式]]を用いて
:<math>\begin{align}\eta^3\left(\tau\right)
&=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^3\\
&=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^3\left(1+e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^2\left(1-e^{2\pi{i}\tau{(2m-1)}}\right)^2\\
&=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^3\left(1+e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1)\pi{i}\tau}\right)^2\left(1-e^{(2m-1)\pi{i}\tau}\right)^2\\
&=\frac{1}{2}\vartheta_2\left(0,\tau\right)\vartheta_3\left(0,\tau\right)\vartheta_4\left(0,\tau\right)\\
\end{align}</math>
である。また、
:<math>\begin{align}\eta(\tau)
&=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\\
&=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}/3})(1+e^{2\pi{i}\tau{m}/3}+e^{4\pi{i}\tau{m}/3})\\
&=\frac{2}{\sqrt{3}}e^{\pi{i\tau}/12}\cos\frac{\pi}{6}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}/3})\left(1+2\cos\frac{\pi}{3}e^{2\pi{i}\tau{m}/3}+e^{4\pi{}i\tau{m}/3}\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{3}}\vartheta_2\left(\frac{1}{6},\frac{\tau}{3}\right)\\
\end{align}</math>
である。

== モジュラー変換 ==
[[テータ関数]]の[[ヤコビの虚数変換式|虚数変換式]]により
:<math>\begin{align}\eta^3\left(-\frac{1}{\tau}\right)
&=\frac{1}{2}\vartheta_2\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\vartheta_3\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\vartheta_4\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{-i\tau}\vartheta_4(0,\tau)\sqrt{-i\tau}\vartheta_3(0,\tau)\sqrt{-i\tau}\vartheta_2(0,\tau)\\
&=\sqrt{i\tau^3}\eta^3(\tau)\\
\end{align}</math>
であるが、<math>\tau</math>が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、
:<math>\begin{align}\eta\left(-\frac{1}{\tau}\right)
&=\sqrt{-i\tau}\eta(\tau)\\
\end{align}</math>
である。また、
:<math>\begin{align}\eta\left(\tau+1\right)
&=e^{\pi{i}(\tau+1)/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}(\tau+1)m})\\
&=e^{\pi{i}/12}e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\\
&=e^{\pi{i}/12}\eta\left(\tau\right)\\
\end{align}</math>
であるから、イータ関数の24乗は重さ12の[[モジュラー形式]]である。
:<math>\begin{align}
&\eta^{24}\left(-\frac{1}{\tau}\right)=\tau^{12}\eta^{24}(\tau)\\
&\eta^{24}\left(\tau+1\right)=\eta^{24}\left(\tau\right)
\end{align}</math>
実際、[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数#モジュラー判別式|モジュラー判別式]]<math>\Delta</math>の定数倍と一致する<ref>{{harvtxt|Apostol|1990|pp=50-51|loc=Chapter 3.3}}</ref>。
:<math>(2\pi)^{12}\eta^{24}(\tau)=\Delta(\tau).</math>

== 関数等式 ==
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c &ne; 0 のとき、ある1の24乗根 <math>\epsilon(a, b, c, d)</math> について関数等式
:<math>\eta\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=\epsilon(a, b, c, d)(c\tau+d)^{1/2}\eta(\tau)</math>
が成り立つ。<math>\epsilon(a, b, c, d)</math>は
:<math>\epsilon(a, b, c, d)=\exp \pi i\left(\frac{a+d}{12c}-s(-d, c)-\frac{1}{4}\right)</math>
により求められる<ref>{{harvtxt|Apostol|1990|pp=51-53|loc=Chapter 3.4}}</ref>。ここで<math>s(h, k)</math>は{{仮リンク|デデキント和|en|Dedekind sum}}
:<math>s(h, k)=\sum_{r=1}^{k-1}\frac{r}{k}\left(\frac{hr}{k}-\left\lfloor\frac{hr}{k}\right\rfloor-\frac{1}{2}\right)</math>
をあらわす。

== 出典 ==
<references/>


== 参考文献 ==
*{{cite book
 | author = Tom M. Apostol,
 | title = Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (Graduate Texts in Math. 41), 2nd ed.
 | year = 1990
 | isbn = 978-1-4612-0999-7
 | doi = 10.1007/978-1-4612-0999-7
 | publisher = Springer-Verlag}}
{{DEFAULTSORT:ててきんとのいいたかんすう}}

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