デデキントの補題のソースを表示

{{翻訳直後|[[:de:Unabhängigkeitssatz von Dedekind]] 13:34, 10. Mär. 2018 (CEST)|date=2019年7月}}

'''デデキントの補題'''または'''デデキントの独立性定理'''（{{Lang-de-short|Unabhängigkeitssatz von Dedekind}}）は、[[数学者]][[リヒャルト・デーデキント]]に帰せられる[[代数学]]の命題で、[[半群]]から[[可換体]]の[[可逆元|単元群]]への[[準同型]]写像族があるとき、それらの[[線型独立]]性について述べるものである。[[ガロア理論]]の基本的な構成定理に用いられる。

== 定式化 ==
{{仮リンク|Kurt Meyberg|de|Kurt Meyberg}} による定式化は以下の通りである<ref name="Meyberg">Meyberg: ''Algebra. Teil 2.'' 1975, pp.63-65</ref>。

（乗法的に書かれた）半群 <math>H \neq \emptyset</math> と可換体 <math>K</math>、および <math>H</math> から <math>K^{*}</math>（<math>K</math> の単元群）への準同型 <math>{\sigma}_1, \ldots, {\sigma}_n \; \; (n \in \N)</math> が与えられたとき、以下は同値。
: '''(A1)''' <math>{\sigma}_1, \ldots, {\sigma}_n </math> は相異なる。
: '''(A2)''' <math>H</math> から <math>K</math> への写像全体を <math>K</math> 上の[[ベクトル空間]]とみなして <math>\mathrm{Abb}(H, K)</math> と書くと、<math>{\sigma}_1, \ldots, {\sigma}_n </math> は <math>\mathrm{Abb}(H, K)</math> の元として線型独立である。

== 証明 ==
[[エミール・アルティン]]<ref name="Artin">Artin: ''Galoissche Theorie.'' 1968, pp.28-30</ref> または Kurt Meyberg<ref name="Meyberg" /> に従い、以下のように証明することができる。
=== A1 → A2 ===
準同型の個数に関する[[数学的帰納法]]を用いる。

<math>n = 1</math> の場合、<math>k_1 \in K</math> で <math>k_1 \sigma_1 = 0  \in \mathrm{Abb}(H, K)</math> であるとする。

このとき <math>k_1 \sigma_1 (x) = 0   \;  \; (\forall x \in H)</math> だが、<math>H \neq \emptyset</math> だから <math>k_1 \sigma_1 (x_0) = 0 </math> となる <math>x_0 \in H </math> がとれる。<math>\sigma_1 (x_0)  \in K \setminus \{0\}</math> および <math>K</math> が[[零因子]]を持たないことから、<math>k_1 = 0 </math> である。

次に <math>n > 1</math> とし、<math>n-1</math> 個以下の準同型に対しては命題が成り立っているものとする。

<math>k_1, \ldots, k_n </math> が、<math>\mathrm{Abb}(H, K)</math> の等式
:'''(a)'''<math>\sum_{j=1}^{n} {k_j \sigma_j}  = 0</math>

を満たすならば
:'''(b)'''<math>k_1 = \ldots = k_n  = 0</math>
であることを示せばよい。

まず、<math>\sigma_1 \neq \sigma_n </math> であるから <math>\sigma_1(h_0) \neq \sigma_n (h_0)</math> となる <math>h_0 \in H</math> が存在する。この <math>h_0 \in H</math> を固定しておく。

'''(a)''' から
:'''(c)''' <math>0  = \sum_{j=1}^{n} {k_j \sigma_j(x)} \in K \;  \; (\forall x \in H)</math>

が成り立つ。

半群の定義から <math>x \in H</math> ならば <math>h_0 x \in H</math> であるので、'''(c)''' より
:'''(d)''' <math>0  = \sum_{j=1}^{n} {k_j \sigma_j(h_0 x)} = k_1 \sigma_1(h_0)\sigma_1(x) +  \sum_{j=2}^{n} {k_j \sigma_j(h_0) \sigma_j(x)}</math>
が得られる。一方、
:'''(e)''' <math>0  = \sigma_1(h_0) \sum_{j=1}^{n} {k_j \sigma_j(x)} = k_1 \sigma_1(h_0) \sigma_1(x) +  \sum_{j=2}^{n} {k_j \sigma_1(h_0) \sigma_j(x)}</math>

である<ref group="注釈"><math>K</math> が可換体であることを用いている。</ref>。

等式 '''(d)''' から等式 '''(e)''' を引くと、次式が得られる。
:'''(f)''' <math>0  = \sum_{j=2}^{n} {k_j \bigl( \sigma_j(h_0) - \sigma_1(h_0) \bigr) \sigma_j(x)}</math>

これが任意の <math>x \in H</math> に対して成り立つので、<math>\mathrm{Abb}(H, K)</math> の元として
:'''(g)''' <math>0  = \sum_{j=2}^{n} {k_j \bigl( \sigma_j(h_0) - \sigma_1(h_0) \bigr) \sigma_j}</math>

である。数学的帰納法の仮定より <math>\sigma_2 , \ldots , \sigma_n</math> は <math>K</math> 上線型独立な <math>\mathrm{Abb}(H, K) </math> の元なので、'''(g)''' より
:'''(h)''' <math>k_j \bigl( \sigma_j(h_0) - \sigma_1(h_0) \bigr) = 0 \;\; (j=2, \ldots , n)</math>

であり、特に
:'''(i)''' <math>k_n \bigl( \sigma_n(h_0) - \sigma_1(h_0) \bigr) = 0</math>
である。

<math> \sigma_n (h_0) - \sigma_1(h_0) \neq 0</math> であることと '''(i)''' より、
:'''(j)''' <math> k_n  = 0   </math>

が得られ、'''(j)''' を '''(a)''' に代入すると、<math>\mathrm{Abb}(H, K)</math> の元として
:'''(k)''' <math>\sum_{j=1}^{n-1} {k_j \sigma_j}  = 0 </math>

が分かる。ここで再び数学的帰納法の仮定（線型独立性）から、ただちに
:'''(l)''' <math> k_1 = \ldots = k_{n-1}  = 0</math>
が従う。'''(j)''' と '''(l)''' から '''(b)''' が得られる。

=== A2 → A1 ===
明らかである（線型独立であるベクトルの組に同一の2元は存在し得ない）。

== この命題からの帰結 ==
# 体 <math>K_1</math> から体 <math>K_2</math> への、相異なる（[[単射]]）体準同型の任意の族 <math>({{\sigma}_i \colon \, K_1 \to K_2})_{i \in I}</math> は、 <math>K_2</math> 上のベクトル空間 <math>\mathrm{Abb}(K_1, K_2)</math> の元として見たとき線型独立である。
# 任意の[[体の拡大|有限次拡大]] <math>L/K</math> について、<math>L</math> の <math>K</math> 上の[[自己同型|自己同型群]]の[[群 (数学)|位数]]は[[体の拡大|拡大次数]]以下である。
::<math>|\mathrm{Aut}(L/K)| \leq [L\colon K]</math>

== 注釈と呼称 ==
独立性に関する本命題（または非常に近い内容の命題）は、代数学の文献において様々な名称で呼ばれている。[[ファン・デル・ヴェルデン]]は、単に独立性定理（Unabhängigkeitssatz）と呼んでいる<ref name="van der Waerden">van der Waerden: ''Algebra I.'' 1993 , pp.159-163</ref>。{{仮リンク|label=Karpfinger|Christian Karpfinger|de|Christian Karpfinger}}-Meyberg では、上記の帰結1（有限個の族に対して定式化したもの）がデデキントの補題（dedekindsches Lemma）と呼ばれている<ref name="Karpfinger-Meyberg">Karpfinger-Meyberg: ''Algebra. Gruppen - Ringe - Körper.'' 2009, p.288</ref>。英語の文献でも同様の呼称が見られ、{{仮リンク|Paul Cohn|en|Paul Cohn}} は非常に近い内容の命題をデデキントの補題（Dedekind's lemma）として挙げている<ref name="Cohn">Cohn: ''Algebra vol. 2.'' 1989, p.81, p.84</ref>一方、Reginald Allenby はこれをデデキントの独立性定理（Dedekind's independence theorem）と呼んでいる<ref name="Allenby">Allenby: ''Rings, Fields and Groups.'' 1991, p.295</ref>。

==  関連する結果  ==
同じくデデキントに帰せられる、関連した結果がある。
: <math>L</math> を <math>K</math> の拡大体とし、<math>K</math> の元を固定する <math>L</math> の自己同型群 <math>\Gamma</math> が有限群であるとする。
:このとき <math>[L \colon K] = |{\Gamma}| </math>

Karpfinger と Meyberg はこの命題を「デデキントの定理」と呼んでいる。英語の代数学の文献（例えば Paul Cohn）では、数学者エミール・アルティンとの関連からアルティンの定理としても知られている。ただし Cohn は、命題の実際の考案者はアルティンではなくデデキントであることを明示している<ref name="Cohn" /><ref group="注釈">Cohn はデデキントの著作 "Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen"（1964年の再版）、p.50 の記述に触れている。§ 166, I. の内容を直接引くと次の通り。"Besteht eine Gruppe <math>\Pi</math> aus <math>n</math> verschiedenen Permutationen <math>\pi</math> des Körpers <math>M</math>, und ist <math>A</math> der Körper von <math>\Pi</math>, so ist <math>(M,A)=n</math> und der Rest von <math>\Pi</math> ist die identische Permutation von <math>A</math>." </ref>。

Kurt Meyberg は "Algebra"(Teil 2) の中で「アルティンの定理」について述べている<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra'', Teil 2. Carl Hanser Verlag, Wien 1976, p.73</ref>が、これはまた別の（しかしながら上記の命題と深く関連した）アルティンによる結果で、以下の内容である<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra'', Teil 2. Carl Hanser Verlag, Wien 1976, p.75</ref>。

<math>L</math> と <math>K</math> が可換体で、<math>L/K</math> が有限次拡大のとき、以下の主張は同値である。
 
: '''(A)''' <math>L/K </math> は[[ガロア拡大]]である<ref group="注釈">（訳注）「ガロア拡大」には (B),(C),(D) を含む幾通りもの同値な定義があるが、ここでは原文を直訳した。</ref>。
: '''(B)''' <math>[L\colon K] = |\mathrm{Aut}(L/K)| </math>
: '''(C)'''  <math>L/K </math> は[[正規拡大]]で、かつ[[分離拡大]]である。
: '''(D)''' <math>L</math> はある <math>K</math> 係数[[分離多項式]]の <math>K</math> 上の[[分解体|最小分解体]]である。

== 情報源 ==
* {{citation2|surname1=R B J T Allenby|title=Rings, Fields and Groups: An Introduction to Abstract Algebra|edition=2.|publisher=Arnold|publication-place=London (u. a.)|year=1991|language=de
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Allenby&s5=Rings%2C%20Fields%20and%20Groups&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1144518 MR1144518]
* {{citation2|surname1=E. Artin|title=Galoissche Theorie|publisher=[[Verlag Harri Deutsch]]|publication-place=Berlin (u. a.)|year=1968|language=de
}}
* {{citation2|surname1=P. M. Cohn|title=Algebra: Volume 2|edition=9.|publisher=[[John Wiley & Sons]]|publication-place=London (u. a.)|year=1989|isbn=0-471-92234-X|language=de
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Cohn%2C%20P.%20M.&s5=Algebra&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=8&mx-pid=1006872 MR1006872]
* {{citation2|surname1=Richard Dedekind|title=Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen: Mit einem Geleitwort von B. van der Waerden|publisher=[[Vieweg Verlag|Friedr. Vieweg & Sohn]]|publication-place=Braunschweig|year=1964|language=de
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Dedekind&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=9&mx-pid=175878 MR0175878] 
* {{citation2|surname1=Christian Karpfinger, Kurt Meyberg|title=Algebra: Gruppen - Ringe - Körper|publisher=[[Spektrum Akademischer Verlag]]|publication-place=Heidelberg|year=2009|isbn=978-3-8274-2018-3|language=de
}}
* {{citation2|surname1=Kurt Meyberg|title=Algebra: Teil 2|series=Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure|publisher=[[Carl Hanser Verlag]]|publication-place=Wien|year=1976|isbn=3-446-12172-2|language=de
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meyberg%2C%20Kurt&s5=Algebra&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=8&mx-pid=460011 MR0460011]
* {{citation2|surname1=B. L. van der Waerden|title=Algebra I|edition=9.|publisher=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]|publication-place=Berlin (u. a.)|year=1993|isbn=3-540-56799-2|language=de
}}

== 典拠 ==
<references />

== 注釈 ==
<references group="注釈" />

{{DEFAULTSORT:ててきんとのほたい}}
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