デデキントゼータ関数のソースを表示

'''デデキントゼータ関数'''（デデキントゼータかんすう、{{lang-en-short|Dedekind's zeta function}}）とは、

[[代数体]] ''K'' に対して
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}}\frac{1}{(N\mathfrak{a})^s}
</math>}}
で表される[[関数 (数学)|関数]]のことをいう。ただし、和は ''K'' の整[[イデアル]]<ref>''K'' の[[代数体#整数環|整数環]]のイデアルのこと。</ref>全てを動き、<math>\scriptstyle N\mathfrak{a}</math> は整イデアル <math>\mathfrak{a}</math> の[[代数体#イデアルのノルム|ノルム]]である。従って、デデキントゼータ関数は、[[ヘッケL関数|ヘッケのL関数]]の特別な場合である。
特に、''K'' が[[有理数]]体のとき、[[リーマンゼータ関数]]になる。

与えられた[[整数]] ''n'' に対して、ノルムが ''n'' である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、
デデキントゼータ関数は、
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{n^s}\ \ \ \ (F_n\in\mathbb{Z})
</math>}}
と、[[ディリクレ級数]]の形で表すことが出来る。

デデキントゼータ関数は、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1</math> に対して、[[総和#絶対収束・条件収束|絶対]]かつ[[一様収束]]する。従って、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1</math> で、<math>\zeta_K(s)</math> は[[正則関数]]である。

== 関数等式 ==
''n'' 次代数体 ''K'' に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす：
{{Indent|<math>
\zeta_K(1-s) = |D_K|^{s-1/2}\left(\cos\frac{\pi s}{2}\right)^{r_1+r_2}\left(\sin\frac{\pi s}{2}\right)^{r_2}(2(2\pi)^{-s}\Gamma(s))^n\zeta_K(s)
</math> 。}}
ただし、<math>r_1,\ 2r_2</math> は ''K'' の[[代数体#共役体|実共役体]]、[[代数体#共役体|虚共役体]]の個数とする。

特に、''K'' を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式
{{Indent|<math>
\zeta(1-s) = 2(2\pi)^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(s)\ \zeta(s)
</math>}}
が成立する。

さらに、<math>\zeta_K(s)</math> に対する、代数体 ''K'' の完備ゼータ関数を
{{Indent|<math>
Z_K(s) = |D_K|^{s/2}2^{-(s-1)r_2}\pi^{-ns/2}\Gamma(s/2)^{r_1}\Gamma(s)^{r_2}\zeta_K(s)
</math>}}
とおけば<ref>''K'' を有理数体にすれば、[[リーマンゼータ関数#ゼータ関数の表示と関数等式|完備ゼータ関数]]になる。</ref>、関数等式
{{Indent|<math>
Z_K(1-s) = Z_K(s)
</math>}}
を満たし、<math>\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\}</math> に[[解析接続]]できる。従って、<math>\zeta_K(s)</math> は <math>\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\}</math> まで解析接続できる。

解析接続できない <math>s=1</math> では、デデキントゼータ関数は 1 位の[[特異点#数学|極]]で、[[留数]]は
{{Indent|<math>
\kappa = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}}{w|D_K|^{1/2}}h_KR
</math>}}
である。つまり、
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \frac{\kappa}{s-1} + O(1)\ \ \ (s\to 1+0)
</math>}}
である<ref>''K'' を有理数体にすれば、<math>\kappa = 1</math> であるので、リーマンゼータ関数に対する <math>s=1</math> の留数に等しい。</ref>。

ただし、<math>r_1,\ 2r_2</math> は ''K'' の実共役体、虚共役体の個数、''w'' は、''K'' に含まれる 1 のベキ根の個数、<math>h_K,\ R</math> は、それぞれ ''K'' の[[代数体#類数|類数]]、[[代数体#単数基準|単数基準]]とする。

== デデキントゼータ関数の零点 ==
(1) 自明な零点
: <math>\zeta_K(s)</math> と <math>\zeta_K(1-s)</math> との関係式から自明な零点を求めることができる。
:* ''K'' が[[代数体#共役体|総実体]]のとき 
:*: 任意の正整数 ''k'' に対して、<math>\zeta_K(-2k) = 0</math> 。
:* ''K'' が[[代数体#共役体|総実体]]ではないとき 
:*: 任意の正整数 ''k'' に対して、<math>\zeta_K(-k) = 0</math> 。

(2) 非自明な零点

''s'' が、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > 0</math> である零点とすれば、<math>\scriptstyle Rs\ s=1/2</math> であると予想されている。これを'''拡張されたリーマン予想'''という。リーマンゼータ関数に対する[[リーマン予想]]をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。

== オイラー積 ==
任意の整イデアルは、[[素イデアル]]の積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。

<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1</math> のとき、
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}}\frac{1}{1 - (N\mathfrak{p})^{-s}}
</math> 。}}
ただし、積は ''K'' の素イデアル全てを動くものとする。

== ディリクレのL関数との関係 ==
デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数<ref>有理整数である素数のこと。</ref>の素イデアル分解の結果から求めることができるが、''K'' が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。
しかし、''K'' が[[二次体]]または[[円分体]]であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数を[[L関数|ディリクレのL関数]]を用いて表現することができることが知られている。

(1) ''K'' が二次体の場合

''K'' の判別式を ''D'' とし、<math>\chi_D</math> を法 ''D'' に関する[[クロネッカー指標]]とすると、
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \zeta(s)L(\chi_D,\ s)
</math>}}
が成立する。

(2) ''K'' が円分体の場合

<math>\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> <math>(m>2)</math> とする。
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \prod_{\chi}L(\chi, s) = \zeta(s)\!\!\prod_{\chi\ne\chi_0}\!\!L(\chi, s)
</math>}}
が成立する。ここで、最初の積は、法 ''m'' に関する原始的[[ディリクレ指標]]全てにわたる積とし、二番目の積は、法 ''m'' に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。 

さらに、任意の有理数体の[[アーベル拡大|アーベル拡大体]] ''K'' は、ある円分体の部分体であるので([[クロネッカー・ウェーバーの定理|クロネッカー＝ウェーバーの定理]])、上のことから、<math>\zeta_K(s)</math> は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。

== 応用例 ==
デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。

これは[[ヤコビの二平方定理]]として知られ、いろいろな証明方法が知られているが([[ヤコビの二平方定理#証明|ヤコビの二平方定理の証明]]を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。

<math>\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math> とおき、''K'' 上のデデキントゼータ関数 <math>\zeta_K(s)</math> を二通りの方法で計算する。

まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{n^s}\ \ \ \ (F_n\in\mathbb{Z})
</math>}}
とおくと、
: <math>F_n = \frac{1}{4}\#\{(a, b)| a^2 + b^2 = n,\ a,\ b \in\mathbb{Z} \}</math><ref>4 で割るのは、<math>\scriptstyle a+bi,\ -a-bi,\ b-ai,\ -b+ai</math> が全て同じイデアルに属するからである。</ref>
が成立するので、<math>F_n</math> は、''n'' を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を <math>r_2(n)</math> と書くと、
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/4)r_2(n)}{n^s}
</math>}}
と表される。

さて、''K'' は二次体であるので、<math>\zeta_K(s)</math> は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。<math>\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math> のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、
{{Indent|<math>
\zeta_K(s) = \zeta(s)\!\!\!\!\!\!\!\prod_{p;\operatorname{odd}\ \operatorname{prime}}\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)
</math>}}
が成立する。二通りに表された <math>\zeta_K(s)</math> を比較することにより、
{{Indent|<math>
r_2(n) = 4\sum_{2\nmid d|n}(-1)^{(d-1)/2}
</math>}}
が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。

さらなる応用として、''K'' を別の二次体 <math>\scriptstyle(\mathbb{Q}(\sqrt{-2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math> にすることで、上と同じ方法で、<math>\scriptstyle x^2+2y^2,\ x^2+3y^2</math> の形での表し方の数を求めることができる。

== 注釈 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|last=ノイキルヒ|first=J.|translator=足立恒雄(監修)・梅垣敦紀|year=2003|title=代数的整数論|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|location=東京}}

== 関連項目 ==
*[[代数体]]
*[[代数的整数論]]
*[[リーマンゼータ関数]]

{{DEFAULTSORT:ててきんとせえたかんすう}}
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]