デデキント環のソースを表示

'''デデキント環'''（デデキントかん、''Dedekind ring''）、あるいは'''デデキント整域'''（デデキントせいいき、''Dedekind domain''）とは、任意の0でない真の[[イデアル]]が、有限個の素イデアルの積にかけるような[[整域]]のことである。そのような分解は一意であることが知られており、イデアル論の基礎定理と呼ばれる。

== 定義 ==
体でない整域 ''R'' について、以下の条件は同値である。
* ''R''の任意の0でない真のイデアルは、有限個の[[素イデアル]]の積にかける。
* ''R'' は[[ネーター環]]で、[[クルル次元]]が1で、[[整閉整域|正規]]である。
* ''R'' の任意の0でない[[分数イデアル]]は可逆である。
* ''R'' はネーター環で、任意の極大イデアルにおける局所化は[[離散付値環]]（DVR）である。
'''デデキント環'''とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。

== 例 ==
* [[単項イデアル整域]]はデデキント環である。
* ''K'' を[[有理数|有理数体]] '''Q''' の[[有限次拡大体]]とすると、''K'' の整数環 ''O<sub>K</sub>'' （''K'' における '''Z''' の整閉包）はデデキント環である。

== 加群の構造 ==
デデキント環 ''R'' 上の[[有限生成加群]] ''M'' の構造は次の様になる{{sfn|Auslander|Buchsbaum|2014|loc=Theorem 5.1}}。有限生成加群 ''M'' に対して、ある零でない整イデアルの列 ''I''<sub>1</sub> &sube; &hellip; &sube; ''I''<sub>''n''</sub> と階数有限の[[自由加群]] ''F''、[[可逆イデアル]] ''I'' が存在して同型
:<math> M \cong R/I_1 \oplus \dotsb \oplus R/I_n \oplus F \oplus I </math>
が成り立つ。また、このイデアル ''I'', ''I''<sub>1</sub>, &hellip;, ''I''<sub>''n''</sub> と自由加群 ''F'' は有限生成加群 ''M'' により同型を除いて一意に定まる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book
|last1      = Auslander
|first1     = Maurice
|last2      = Buchsbaum
|first2     = David 
|year       = 2014
|title      = Groups, Rings, Modules
|url        = {{google books|MVEuBAAAQBAJ|Groups, Rings, Modules|page=463|plainurl=yes}}
|publisher  = Dover
|isbn       = 978-0-486-49082-3
|ref        = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[リヒャルト・デーデキント]]
* [[主イデアル整域]]（PID）
* [[一意分解環]]（UFD）
* [[遺伝環]]

{{abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:ててきんとかん}}
[[category:可換環論]]
[[Category:数学に関する記事]]