デュ・バル特異点のソースを表示

{{翻訳中途|[[:en:du Val singularity]]|date=2018年1月19日 (金) 10:27 (UTC)}}

[[代数幾何学]]において'''単純曲面特異点'''（英：simple surface singlarity）、'''クライン特異点'''（英：Kleinian singlarity）、もしくは'''有理二重点'''（英：rational double point）とも呼ばれる'''デュ・バル特異点'''（英：du Val singlarity）は[[エンリケス・小平の分類|複素曲面]]の[[孤立特異点]]である。{{仮リンク|ADE分類|en|ADE classification }}のタイプの[[ディンキン図形]]に二重な交差のパターンをもち、滑らかな[[代数曲線#有理曲線|有理曲線]]の[[木 (数学)|木]]をもったその特異点の置き換えによって得られる最小特異点解消（英：minimal resolution）をもつ、平面の[[被覆空間#性質#ファイバーの準同型|二重分岐被覆]]によってそれはモデル化される。それらは二次元の[[標準特異点]]（または、同値的に、有理ゴレンスタイン特異点（英：rational Gorenstein singularity））である。それらは{{harvs |txt |first =Patrick |last =du Val |authorlink =パトリック・デュ・バル|year1 =1934a |year2 =1934b |year3 =1934c}}と[[フェリックス・クライン]]によって研究された。

[[三次元の点群#二項正多面体群|二項正多面体群]]として知られる''SU(2)''の[[有限群|有限]][[群 (数学)#部分群|部分群]]（英：finite subgroup）に同等の、[[メビウス変換#メビウス群の部分群|''SL''<sub>''2''</sub>''(C)''の有限部分群]]による、<math>\mathbb{C}^2</math>の[[商集合|商]]としてもデュ・バル特異点は現れる。これらの有限群の作用の''{{仮リンク|不変多項式|en|invariant polynomial}}の[[多項式環#多変数多項式環|環]]''（英：ring of invariant polynomial）はクラインによって計算され、そして本質的にその特異点の[[代数多様体#アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理|座標環]]である；これは古典的な{{仮リンク|不変式論|en|invariant theory}}の帰結である。

== 分類 ==
[[File:Simply Laced Dynkin Diagrams.svg|thumb|upright |[[ADE分類]]の形の、''[[ディンキン図形#Simply laced|単結線のディンキン図形]]''（英：simply laced Dinkin diagram）としてデュ・バル特異点は分類される。]]
（解析的に[[同型写像|同型]]なものとして）次のようにデュ・バル特異点は有り得る：
* ''A''<sub>''n''</sub> : <math>w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ { n + 1 } = 0</math>
* ''D''<sub>''n''</sub> : <math>w ^ 2 + y ( x ^ 2 + y ^ { n - 2 } ) = 0 \qquad (n\ge 4 )</math>
* ''E''<sub>''6''</sub> : <math>w ^ 2 + x ^ 3 + y ^ 4 = 0</math>
* ''E''<sub>''7''</sub> : <math>w ^ 2 + x ( x ^ 2 + y ^ 3 ) = 0</math>
* ''E''<sub>''8''</sub> : <math>w ^ 2 + x ^ 3 + y ^ 5 = 0</math>。

== 関連項目 ==
* [[ブリスコーン‐グロタンディークの解消]]

== 参考文献 ==
* {{citation |last1 =Artin |first1 =Michael |author1-link =ミハエル・アルティン |title =On isolated rational singularities of surfaces |jstor =2373050 |mr =0199191 |year = 1966 |journal =[[American Journal of Mathematics]] |issn =0002-9327 |volume =88 |pages =129-136 |doi =10.2307/2373050 |issue =1}}
* {{citation |last1 =Berth |first1 =Wolf P. |last2 =Hulek |first2 =Klaus |last3 =Peters |first3 =Chiris A. M. |last4 =Van de Ven | first4 =Antonius |title =Compact Complex Surfaces |publisher =Springer-Verlag |location =Berlin |series =Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. |isbn =978-3-540-00832-3 |mr =2030225 |year =2004 |volume =4 }}
* {{citation |last1 =Durffee |first1 =Alan H. |title = Fifteen characterizations of rational double points and simple critical points |url =http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001:1979:25::300 |mar =543555 |year =1979 |journal =L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe |deadurl =yes |archiveurl =https://web.archive.org/web/20110707003722/http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001%3A1979%3A25%3A%3A300 |archivedate =2011-07-07 |df = }}
* {{citation |first = Patrick |last =du Val |title =On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. I | journal =Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume =30| year =1934a |pages =453&ndash;459|doi =10.1017/S030500410001269X |issue =4 |url =http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0010.17602 |postscript =Z61 entry I}}
* {{citation |first =Patrick |last =du Val |title =On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. II |journal =Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume =30 |year =1934b |pages =460&ndash;465 |doi =10.1017/S0305004100012706 |issue =4 |url =http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0010.17603 |postscript =II}}
* {{citation |first =Patrick |last =du Val |title =On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. III |journal =Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | volume =30 |year =1934c |pages =483&ndash;491 |doi =10.1017/S030500410001272X |issue =4 |url =http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0010.17701 |postscript =III}}
* {{cite journal |last =齋藤 |first =恭司 |chapter =基調報告―特異点とディンキン図形 |title =シンポジウム数学［４］数学研究の最前線 |publisher =日本評論社 |issue =臨時増刊 |date =1982-07-20 |pages =118-130 |journal =数学セミナー }}<br>'''デュ・バル特異点'''の他に、[[ウラジーミル・アーノルド]]による、[[ユニモジュラー特異点]]ならびに[[バイモジュラー特異点]]にも触れられている。
* {{cite journal |last1 =上野 |first1 =喜三雄 |last2 =齋藤 |first2 =恭司 |last3 =堀田 |first3 =良之 |last4 =森田 |first4 =純 |last5 =矢野 |first5 =環 |last6 =齋藤 |first6 =正彦 |chapter =討論―構造分類の象徴・ディンキン図形 |title =シンポジウム数学［４］数学研究の最前線 |journal =数学セミナー |issue =臨時増刊 |publisher =日本評論社 |date =1982-07-20 |pages =131-154}}からの引用の<br>{{cite journal |first =V. I. |last =Arnold |authorlink =ウラジーミル・アーノルド |title =Mathematical developments arising from Hilbert problems |journal =Proc. of Sympo. in Pure Math. |volume =28 |publisher =アメリカ数学会}}
*{{cite book |first1 =東介 |last1 =卜部 |chapter =1次元代数的特異点とディンキン図形 |title =幾何学をみる―次元からのイメージ |edition =1 |publisher =遊星社 |date =1986-4-8 |isbn =4-7952-6855-X |pages =63-146}}最新版は<br>{{cite book |last =卜部 |first =東介 |title =1次元代数的特異点とディンキン図形 |series =数学をみる② |date =2007-10-13 |edition =1 |publisher =遊星社　|isbn =978-4-434-11193-8}}（この本のp.146に[[数学ソフトウェア]]を使って''E''<sub>''8''</sub> 型ディンキン図形に対応する実曲線を描画する[[数学の問題|演習問題]]が載っている。解ければ回答を著者に送るよう求めているが、報告が有ったかどうかは定かでない）からの引用の（翻訳ではないが、著者によれば本書と内容がかなり重複するとされる）<br>{{cite book |last1 =Bätig |first1 =D. |last2 =Knörrer |first2 =H. |title =Singularitäten |publisher =Birkhäuser |year =1991 |isbn =3-7643-2616-6}}
* {{cite book |first =淳一 |last =松澤 |title =特異点とルート系 |series =すうがくの風景6 |edition =1 |date =2002-4-15 |publisher =朝倉書店 |isbn =4-254-11556-3 |publisherlink =http://www.asakura.co.jp}}<br>著者によると、「外国語でも、[[正多面体]]から[[リー環]]までの話をていねいに”いち”から書いたもの」はこの本が初めてとされる。

== 外部リンク ==
* {{Cite web|url=http://homepages.warwick.ac.uk/~masda/surf/more/DuVal.pdf|title=The du Val singularities ''A''<sub>''n''</sub>,''D''<sub>''n''</sub>,''E''<sub>''6''</sub>,''E''<sub>''7''</sub>,''E''<sub>''8''</sub>|accessdate=2018-07-04|date=2007-03-04|format=PDF|authorlink =:en:Miles Reid |first =M. |last =Reid}}
* {{citation |title =Du Val Singularities |first =Igor |last =Burban |url =http://www.mi.uni-koeln.de/~burban/singul.pdf}}

{{DEFAULTSORT:てゆ・はるとくいてん}}
[[Category:代数曲面]]
[[Category:特異点論]]
[[Category:数学に関する記事]]