トゥラーン・パールのソースを表示

{{ハンガリー人の姓名|トゥラーン|ポール}}
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|name              = トゥラーン・パール
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}}
'''トゥラーン・パール'''（{{lang-hu|Turán Pál}}、[[1910年]][[8月18日]] - [[1976年]][[9月26日]]）<ref name="JNT obit">{{cite journal|last=Alpár|first=L.|date=August 1981|title=In memory of Paul Turán|journal=Journal of Number Theory|volume=13|issue=3|pages=271–78|publisher=Academic Press|doi=10.1016/0022-314X(81)90012-3}}</ref>{{Rp|271}}<ref name="Hungarian biography">{{cite web|url= http://mek.oszk.hu/00300/00355/html/ABC15363/16089.htm|title=Magyar Életrajzi Lexikon: Turán Pál|accessdate=21 June 2008|publisher=Magyar Elektronikus Könyvtár (Hungarian Electronic Library)|language=Hungarian}}</ref>は、[[ハンガリー]]の[[数学者]]である。特に[[数論]]の研究を行った。ハンガリーの数学者[[ポール・エルデシュ]]と46年の長きにわたり共同研究を行い、28件の共著の論文を発表した<ref name="Erdos JAT">{{cite journal|last=Erdős|first=Paul|authorlink=Paul Erdős|year=1980|title=Some notes on Turán's mathematical work|journal = Journal of Approximation Theory|volume=29|issue=1|pages=2–6|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1980-42.pdf|accessdate=22 June 2008|doi=10.1016/0021-9045(80)90133-1}}</ref>。[[英語]]風に'''ポール・トゥラーン'''(Paul Turán)とも言う。

==生涯==
トゥラーンは[[ブダペスト]]の[[ユダヤ人]]の家庭に[[1910年]][[8月18日]]に生まれた<ref name="JNT obit"/>{{Rp|271}}。

ほぼ同時期に、トゥラーンとエルデシュは、高校生向けの数学・物理学の月刊誌『{{仮リンク|Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok|en|Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok}}』(KöMaL)に毎月掲載される問題の有名な回答者となっていた。[[エトヴェシュ・ロラーンド大学|ブダペスト大学]]で[[フェイェール・リポート]]の指導を受けて1935年に[[Ph.D.]]を取得した<ref name="JNT obit"/>{{Rp|271}}。

彼はユダヤ人だったため、ナチスが導入した入学制限制度[[ヌメルス・クラウズス]]の犠牲となり、数年間大学に就職することができなかった<ref name="mactutor">{{MacTutor Biography|id=Turan|title=Paul Turán}}</ref>。彼は1940年から44年にかけてユダヤ系ハンガリー人男性に課せられた{{仮リンク|第二次世界大戦中のハンガリーにおける強制労働|en|Labour service in Hungary during World War II|label=強制労働}}に送られた。ファシストの見張り役が、数学を専攻していた学生時代にトゥラーンの研究のことを知っていた人物だったため、トゥラーンを匿っていたと言われている<ref>"An officer was standing nearby, watching us work. When he heard my name, he asked the comrade whether I was a mathematician. It turned out, that the officer, Joshef Winkler, was an engineer. In his youth, he had placed in a mathematical competition; in civilian life he was a proof-reader at the print shop where the periodical of the Third Class of the Academy (Mathematical and Natural sciences) was printed. There he had seen some of my manuscripts." P. Turán, "A note of welcome", [[Journal of Graph Theory]] '''1''' (1977), pp. 7-9.</ref>。

トゥラーンは1945年にブダペスト大学の准教授となり、1949年に正教授に昇格した<ref name="JNT obit"/>{{Rp|272}}。

トゥラーンは生涯に2度結婚した。1939年にEdit Klein Kóborと結婚し、2人の間には息子が1人いる。2度目は1952年、数学者の{{仮リンク|T・ショーシュ・ベラ|en|Vera T. Sós|label=ショーシュ・ベラ}}との結婚で、2人の子供を儲けた<ref>{{cite web|url=http://www.cs.uchicago.edu/files/tr_authentic/TR-2001-03.ps|title=In and Out of Hungary: Paul Erdős, His Friends, and Times|accessdate=22 June 2008|last=Babai|first=László|authorlink=László Babai|year=2001|format=PostScript|publisher=University of Chicago|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070207131035/http://www.cs.uchicago.edu/files/tr_authentic/TR-2001-03.ps|archivedate=7 February 2007}}</ref>{{Rp|20}}。

トゥラーンはブダペストで[[白血病]]により[[1976年]][[9月26日]]に66歳で亡くなった<ref name="JNT obit"/>{{Rp|271}}<ref name="Erdos AA obit">{{cite journal|last=Erdős|first=Paul|authorlink=Paul Erdős|year=1980|title=Some personal reminiscences of the mathematical work of Paul Turán|journal=Acta Arithmetica|volume=37|pages=3–8|issn=0065-1036|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1980-43.pdf|accessdate=22 June 2008}}</ref>{{Rp|8}}。

==業績==
トゥラーンは主に[[数論]]を研究していた<ref name="Erdos AA obit"/>{{Rp|4}}が、[[解析学]]や[[グラフ理論]]の研究も行っていた。

===数論===
1934年、トゥラーンは、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|G・H・ハーディ]]と[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]が1917年に行った、数 ''n'' の異なる[[素因数]]の数の{{仮リンク|数論的関数の正規順序|en|normal order of an arithmetic function|label=正規順序}}が<math>\ln \ln n</math>に非常に近いことの証明（{{仮リンク|ハーディ＝ラマヌジャンの定理|en|Hardy–Ramanujan theorem}}）の、新しくより簡潔な証明を{{仮リンク|トゥラーン篩|en|Turán sieve}}を用いて行った。確率論的には、彼は<math>\ln \ln n</math>から分散を推定した。{{仮リンク|ガーボル・ハラース|en|Gábor Halász}}は、「その真の意義は、これが{{仮リンク|確率論的数論|en|probabilistic number theory}}の出発点であったという事実にある」と述べている<ref name="Halasz AA obit">{{cite journal|last=Halász|first=G.|year=1980|title=The number-theoretic work of Paul Turán|journal=Acta Arithmetica|volume=37|pages=9–19|issn=0065-1036|url=http://www.numbertheory.org/obituaries/AA/turan/turan_halasz/index.html|accessdate=22 June 2008|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060928070714/http://www.numbertheory.org/obituaries/AA/turan/turan_halasz/index.html|archivedate=28 September 2006}}</ref>{{Rp|16}}。{{仮リンク|トゥラーン＝クビリウスの不等式|en|Turán–Kubilius inequality}}は、この研究の一般化である<ref name="Erdos AA obit"/>{{Rp|5}} <ref name="Halasz AA obit"/>{{Rp|16}}。

トゥラーンは[[等差数列]]における[[素数]]の分布に非常に興味を持っており、[[剰余類]]間の[[素数定理|素数の分布]]の不規則性を"prime number race"と呼んでいた<ref name="Erdos AA obit" />{{Rp|5}}。彼は、共著者の{{仮リンク|スタニスワフ・ナポウスキー|en|Stanisław Knapowski}}と共に、[[チェビシェフの偏り]]に関する結果を証明した。エルデシュ＝トゥラーン予想は、{{仮リンク|等差数列における素数|en|primes in arithmetic progression}}について記述したものである。トゥラーンの数論研究の多くは[[リーマン予想]]を扱っており、そのための冪乗和法（[[#冪乗和法|後述]]）を開発した。エルデシュは「トゥラーンは『不信心者』(unbeliever)であり、実際には『異教徒』(pagan)であった。彼はリーマン仮説の真実を信じていなかった」と述べている<ref name="Erdos JAT"/>{{Rp|3}}。

===解析学===
[[解析学]]におけるトゥラーンの研究の多くは、彼の数論の研究に関連していた。それ以外では、異なる指数に対する[[ルジャンドル多項式]]の値に関係する{{仮リンク|トゥラーンの不等式|en|Turán's inequalities}}、およびエルデシュと共に{{仮リンク|エルデシュ＝トゥラーン不等式|en|inequality|label=エルデシュ＝トゥラーン等分布不等式}}を証明した。

===グラフ理論===
エルデシュはトゥラーンについて、「1940年から1941年にかけて、彼は[[グラフ理論]]における極値問題の分野を創始し、現在では[[組合せ論]]の中で最も急速に成長している分野の一つである」と書いている<ref name="Erdos JAT"/>{{Rp|4}}。[[ピーター・フランクル]]はトゥラーンについて、「彼はユダヤ人だったので強制収容所に入れられた。数学は紙と鉛筆さえあればできるが、収容所にはそれもなかった。そこで彼は、何もなくてもできる組合せ論を生み出した」と述べている<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.imojp.org/column/index.htm|archiveurl=https://web.archive.org/web/20151208061729/http://www.imojp.org/column/index.htm|title=『数学を武器に世界を廻る』「第１３回日本数学オリンピック表彰式、第１回日本ジュニア数学オリンピック表彰式に於ける、ピータ・フランクル氏の記念講演」約1時間の録音テープより抜粋|publisher=数学オリンピック財団|archivedate=2015-12-08|accessdate=2020-03-26}}</ref>。

この分野は、今日ではより簡単に{{仮リンク|極値グラフ理論|en|Extremal graph theory}}として知られている。この分野における彼の研究で最もよく知られているのは、[[完全グラフ]] ''K<sub>r</sub>'' を部分グラフとして含まないグラフの辺の数に上限を与える{{仮リンク|トゥラーンの定理|en|Turán's theorem|label=トゥラーンのグラフ定理}}である。彼はこの定理を証明するために、[[完全2部グラフ]]の一般化である{{仮リンク|トゥラーングラフ|en|Turán graph}}を考案した。また、いくつかの禁止部分グラフを持つ2部グラフに存在しうる辺の数に関する{{仮リンク|ザランキエヴィッツの問題|en|Zarankiewicz problem|label=コヴァーリ＝ショーシュ＝トゥラーンの定理}}や、完全2部グラフの{{仮リンク|交差数|en|Crossing number (graph theory)}}を決定する問題である「トゥラーンのレンガ工場問題」を提起したことでも知られている。

===冪乗和法===
トゥラーンは[[リーマン仮説]]を扱うために冪乗和法(power sum method)を開発した<ref name="Halasz AA obit" />{{Rp|9–14}}。この方法は、和の下界を与える次の形式の不等式を扱う。
:<math> \max_{\nu=m+1,\dots,m+n} \left | \sum_{j=1}^n b_j z_j^\nu \right |</math>
これを「冪乗和」という<ref name="Tijdeman review">{{cite journal|last=Tijdeman|first=R.|authorlink=Robert Tijdeman|date=April 1986|title=Book reviews: On a new method of analysis and its applications|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=14|issue=2|pages=318–22|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, RI|url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183553181|format=PDF|accessdate=22 June 2008|doi=10.1090/S0273-0979-1986-15456-X}}</ref>{{Rp|319}}。

[[解析的整数論|解析的数論]]への応用のほか、[[複素解析]]、[[数値解析]]、[[微分方程式]]、{{仮リンク|超越数論|en|Transcendental number theory}}、円盤内の関数の零点数の推定などにも利用されている<ref name="Tijdeman review"/>{{Rp|320}}。

==著書==
* {{cite book | title = Number Theory | publisher = North-Holland Pub. Co | location = Amsterdam | year = 1970 | isbn = 978-0-7204-2037-1 | author = Ed. by P. Turán. | url-access = registration | url = https://archive.org/details/numbertheory0000unse_g5s3 }}
* {{cite book | title = On a New Method of Analysis and Its Applications | publisher = Wiley-Interscience | location = New York | year = 1984 | isbn = 978-0-471-89255-7 | author = Paul Turán }} Deals with the power sum method.
* {{cite book | title = Collected Papers of Paul Turán | publisher = Akadémiai Kiadó | location = Budapest | year = 1990 | isbn = 978-963-05-4298-2 | author = edited by Paul Erdős}}

==賞と栄誉==
* [[ハンガリー科学アカデミー]] 客員会員（1948年）、正会員（1953年）<ref name="JNT obit" />{{Rp|272}}
* {{仮リンク|コシュート賞|en|Kossuth Prize}}（1948年、1952年）<ref name="JNT obit" />{{Rp|272}}
* {{仮リンク|ボーヤイ・ヤーノシュ数学協会|en|János Bolyai Mathematical Society}} Tibor Szele賞（1975年）<ref name="JNT obit" />{{Rp|272}}

==脚注==
{{Reflist}}

==外部リンク==
*{{MacTutor Biography|id=Turan|title=Paul Turán}}
* [https://web.archive.org/web/20110807201258/http://www.renyi.hu/turanlectures_vk.html Paul Turán memorial lectures] at the Rényi Institute

{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:とうらあん はある}}
[[Category:1910年生]]
[[Category:1976年没]]
[[Category:20世紀の数学者]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ハンガリーの数論学者]]
[[Category:グラフ理論学者]]
[[Category:ハンガリー科学アカデミー会員]]
[[Category:ユダヤ系ハンガリー人]]
[[Category:白血病で亡くなった人物]]
[[Category:エトヴェシュ・ロラーンド大学出身の人物]]