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'''トッド類'''（トッドるい、英:Todd class）とは、数学の中で[[特性類]]の[[代数的位相幾何学]]における理論の一部と考えられる特定の構造体である。[[ベクトル束]]のトッド類 は[[チャーン類]]理論によって定義することができ、チャーン類が存在するところで出現する。中でも[[微分位相幾何学]]における[[複素多様体]]理論と[[代数幾何学]]理論で最も顕著である。大雑把に言うと、トッド類 はチャーン類の逆数のように振る舞い、コノーマル束（conormal bundle）{{Refnest|コノーマル束は、ノーマル束への二重束として定義される（英語版[[:en:normal bundle#Definition]]より）。なお、ノーマル束とは[[可微分多様体]]の埋め込みに対しての法束（[[法線ベクトル]]の束）を指す<ref>「[http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/smooth_manifold.html　可微分多様体]」信州大学 玉木研究室HP、2011年9月11日。2018年9月24日閲覧。</ref>。|group="注釈"}}がノーマル束（normal bundle）になる際にチャーン類との関連が起こる。

トッド類 は、古典的な[[リーマン・ロッホの定理]]を、より高次元の[[ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理]]や{{仮リンク|グロタンディーク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理|en|Grothendieck–Riemann–Roch theorem}}へと一般化する際に基本的な役割を務める。

== 歴史 == 
チャーン類が定義される前の1937年に、代数幾何学における特殊なケースの概念を紹介した、{{仮リンク|J. A. トッド|en|J. A. Todd}}からこの名前が付けられた。トッド類に関わる幾何学的な概念は、たまに'''トッド・エーガー類'''（Todd-Eger class）とも呼ばれる。 高次元における一般的な定義は、[[フリードリッヒ・ヒルツェブルフ]]によるものである。

== 定義 == 
トッド類 <math>\operatorname{td}(E)</math>を定義するためには、ここでEは[[位相空間]]X上の[[複素ベクトル束]]であるが、特性類理論の一般的な手法である[[チャーン類#チャーン多項式|チャーン根]]（別名を、{{仮リンク|分裂原理|en|Splitting principle}}）を使うことによって、通常は[[直線束]]の{{仮リンク|ホイットニー和|en|Whitney sum}}の場合にその定義を限定することができる。定義は以下、
:: <math> Q(x) = \frac{x}{1 - e^{-x}}=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^iB_{i}}{i!}x^{i} = 1 +\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{x^4}{720}+\cdots</math>
<math>Q(x)^{n+1}</math>内の<math>x^n</math> の係数が1という性質を持つ[[形式的冪級数]]（formal power series）であり、ここで<math>B_i</math>は''i''番目の[[ベルヌーイ数]]を表す。[[総乗]]内の<math>x^j</math>の係数を考えると
: <math> \prod_{i=1}^m Q(\beta_i x) \ </math>

任意の<math>m > j</math>に対して。これは<math>\beta_i</math>内で対称、かつ重み '' j ''{{Refnest|位相空間を扱う上では、開基底が取りうる最小の濃度を、その位相空間の荷重または重み (weight) と呼ぶ。 [[基底 (位相空間論)]] を参照のこと。|group="注釈"}}が均質である。そこで、<math>\beta_i</math>の[[対称式#基本対称式|基本対称式]] 'p'における多項式<math>\operatorname{td}_j(p_1,\ldots, p_j)</math> として表すことができる。その後に、<math>\operatorname{td}_j</math> を'''トッド多項式'''（Todd polynomials）と定義する。それらは、特性類の冪級数として''Q'' を持つ{{仮リンク|乗法列|en|Multiplicative sequence}}（Multiplicative sequence）を形成する。

仮にEがチャーン根としてα<sub>''i''</sub>を持つ場合、'''トッド類''' は
: <math>td(E) = \prod Q(\alpha_i)</math>
これは"X"の[[コホモロジー環]] （または、無限次元多様体を考慮したい場合はその完成時に{{Refnest|有限次元多様体は次元だけを考えればよいが、無限次元では同じ可算次元のものでも様々な位相ベクトル空間があるため<ref>「[http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/infinite_dimensional.html　無限次元多様体の幾何学とトポロジー ]」信州大学 玉木研究室HP、2011年1月6日。2018年9月24日閲覧。</ref>。|group="注釈"}}）で計算される。

トッド類 はチャーン類の形式的冪級数として、次のように明示的に与えられる。
: ''td''(''E'') = 1 + ''c''<sub>1</sub>/2 + (''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>+''c''<sub>2</sub>)/12 + ''c''<sub>1</sub>''c''<sub>2</sub>/24 + (&#x2212;''c''<sub>1</sub><sup>4</sup> + 4''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>''c''<sub>2</sub> + ''c''<sub>1</sub>''c''<sub>3</sub> + 3''c''<sub>2</sub><sup>2</sup> &#x2212; ''c''<sub>4</sub>)/720 + ...
ここでのコホモロジー類''c''<sub>''i''</sub>は''E''のチャーン類であり、コホモロジー群H<sup>2''i''</sup>(''X'')内に存在する。もしも''X'' が有限次元の場合は、ほとんどの項が消えて ''td''(''E'') がチャーン類の多項式となる。

== 性質 == 
トッド類は乗法的性質（Multiplicative）を持つ。
:: <math>Td^*(E\oplus F) = Td^*(E)\cdot Td^*(F).</math>
さて<math>\xi \in H^2({\mathbb C} P^n)</math> を[[超平面]]区間の[[基本類]]とする。
乗法的性質と <math> {\mathbb C} P^n</math>の[[接束]]に対する{{仮リンク|オイラー系列|en|Euler exact sequence}}（Euler exact sequence）から
:: <math> 0 \to  {\mathcal O} \to {\mathcal O}(1)^{n+1}   \to T {\mathbb C} P^n \to 0,</math>
これが得られる<ref>[http://math.stanford.edu/~vakil/245/245class18.pdf Intersection  Theory Class 18], by [[Ravi Vakil]]</ref> 。
:: <math> Td^*(T {\mathbb C}P^n) =  \left( \dfrac{\xi}{1-e^{-\xi}} \right)^{n+1}.</math>

== ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理 ==
詳細は、[[ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理]]を参照。

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、[[コンパクト]]{{要曖昧さ回避|date=2022年11月}}な複素多様体X上の任意の[[正則ベクトル束]]Eに対して、[[層係数コホモロジー]]内にあるEの正則[[オイラー標数]]、すなわち[[複素ベクトル束|複素ベクトル]]空間としての次元の[[交項級数|交代和]]を計算するために適用する。
:: <math>\chi(F):= \sum_{i=0}^{\text{dim}_{\mathbb{C}}  M} (-1)^i \text{dim}_{\mathbb{C}} H^i(F),</math>
この定理は、E のチャーン類と X のトッド類（正しくはX の[[接ベクトル束]]のトッド類）からオイラー数 χ(X, E) が導かれることを示している。E の[[チャーン類#チャーン指標|チャーン指標]]を ch(E) とおき、X のトッド類を td(X) とすると、定理は 以下のように書ける。
: <math> \chi(X,E) = \int_X \operatorname{ch}(E) \operatorname{td}(X)</math>
ここでのtd(X)が、Xの接ベクトル束のトッド類である。

上の公式は、トッド類がある意味で特性類の逆数であるという曖昧な概念を、正確に表したものとなっている。

== 注釈 ==
{{Reflist|group="注釈"}}

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==

* {{Citation|title=The Arithmetical Invariants of Algebraic Loci|year=1937|last1=Todd|first1=J. A.|authorlink=J. A. Todd|journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]]|volume=43|issue=1|pages=190-225|doi=10.1112/plms/s2-43.3.190|zbl=0017.18504}}
* [[Friedrich Hirzebruch]], ''Topological methods in algebraic geometry'', Springer  (1978)
* {{SpringerEOM|title=Todd class|author=M.I. Voitsekhovskii|urlname=Todd_class}}

== 関連項目 ==

* [[チャーン類]]
* [[乗法列の種数#トッド種数]]
* [[K理論]]

{{DEFAULTSORT:とつとるい}}
[[Category:特性類]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]