トレミーの定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年7月}}
'''トレミーの定理'''（トレミーのていり、{{Lang-en-short|Ptolemy's Theorem}}）とは、[[円 (数学)|円]]に内接する[[四角形]] ''ABCD'' において、[[辺]]の長さに関する[[等式]]：
:<math>AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC</math>
が成り立つという[[ユークリッド幾何学|幾何学]]の[[定理]]。トレミーは[[古代ローマ]]の[[天文学者]][[クラウディオス・プトレマイオス]]の姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる<ref>{{Cite web|和書|url=https://kotobank.jp/word/プトレマイオスの定理|title=プトレマイオスの定理|publisher=[[コトバンク]]|author=デジタル大辞泉|accessdate=2019-09-15|language=ja|ref={{SfnRef|kotobank-プトレマイオスの定理}}}}</ref>。

<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[画像:トレミーの定理.jpg]]</div>

トレミーの定理を一般化した'''オイラーの定理'''（オイラーのていり）とは、必ずしも円に内接しない四角形 ''ABCD'' において、辺の長さに関する'''トレミーの不等式'''（{{Lang-en-short|Ptolemy's inequality}}）：
:<math>AC\cdot BD \leqq AD\cdot BC + AB\cdot DC</math>
が成り立つという幾何学の定理のことである<ref>{{Cite web|和書|url=http://izumi-math.jp/F_Nakamura/tolemy/tolemy.pdf|title=トレミーを散りばめる|publisher=数学のいずみ|author=中村文則|accessdate=2019-09-15|language=ja|ref={{Harvid|中村|}}}}</ref>。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' に関して、辺の長さに関する等式：
:<math>AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC</math>
が成り立つならば、4点 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ''ABCD'' は同一の円に内接する<ref>{{Harvnb|高木|1996|loc=3 複素数}}</ref>。

==証明==
計算の便宜をはかり、''a'' = ''AD'', ''b'' = ''AB'', ''c'' = ''BC'', ''d'' = ''DC'' とおくことにする。また、''A'' = &ang;''A'' = &ang;''DAB'', ''B'' = &ang;''B'' = &ang;''ABC'', ''C'' = &ang;''C'' = &ang;''BCD'', ''D'' = &ang;''D'' = &ang;''CDA'' のこととする。

[[余弦定理]]および内接四角形の性質より、
:<math>BD^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A</math>、
:<math>BD^2 = c^2 + d^2 -2cd \cos C = c^2 + d^2 +2cd \cos A</math>
が成り立つ。ここから cos ''A'' を消去して、
:<math>(ab + cd)BD^2 = (ad + bc)(ac + bd)</math>
を得る。また ''AC'' について同様にして
:<math>(ad + bc)AC^2 = (ab + cd)(ac + bd)</math>
となるから、2 式を掛けて
:<math>(ab + cd)(bc + ad)AC^2\cdot BD^2 = (ac + bd)^2(ad + bc)(ab + cd)</math>
を得る。これを整理すれば、
:<math>AC \cdot BD = ac + bd</math>
となる。すなわち、
:<math>AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC</math>
が示された。
===円に関する反転を用いた証明 ===
[[File:Ptolemy-crop.svg|thumb|right|200px|円に関する反転を用いた証明]]

Dを中心とする適当な円 <math> \Gamma </math> に関する[[反転幾何学#円に関する反転|反転]] によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。
このとき
<math> A'B' + B'C' = A'C' </math>
が成り立つ。
このとき、一般性を失わずに <math> \Gamma </math> の半径を1と置くことができる。 このとき <math> A'B', B'C', A'C'</math>はそれぞれ以下のように表される。 
:<math> \frac{AB}{DA \cdot DB}, \frac{BC}{DB \cdot DC}, \frac{AC}{DA \cdot DC} </math> 
この式の両辺に <math> DA \cdot DB \cdot DC </math> をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。

==一般化==
一般化に[[ケイシーの定理]]がある。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|date=1996-12-10|title=復刻版　近世数学史談・数学雑談|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01551-7|ref={{Harvid|高木|1996}}}}

== 関連項目 ==
*[[ケイシーの定理]]
*[[トレミーの不等式]]
*[[ファン・スコーテンの定理]]
*[[ヴィルヘルム・フールマン|フールマンの定理]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|トレミーの定理}}
*{{Kotobank|プトレマイオスの定理}}
*{{高校数学の美しい物語|581|トレミーの定理とその3通りの証明，応用例}}
*{{PDFlink|[http://izumi-math.jp/F_Nakamura/tolemy/tolemy.pdf トレミーを散りばめる]}}
*{{MathWorld|title=Ptolemy's Theorem|urlname=PtolemysTheorem}}

{{DEFAULTSORT:とれみいのていり}}
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