トレンド定常のソースを表示

'''トレンド定常'''（トレンドていじょう、{{lang-en-short|trend stationary}}）であるとは、[[統計学]]における[[時系列分析]]において、[[確率過程]]が、その潜在的なトレンド（時間のみの関数）を取り除けば、[[定常過程]]となる場合を指す<ref>[http://economics.about.com/od/economicsglossary/g/trends.htm About.com economics] Online Glossary of Research Economics</ref>。

==正式な定義==
確率過程 {''Y'' } がトレンド定常であるとは、以下を満たす時を言う<ref name=Nelson/>。
:<math>Y_t = f(t) + e_t,</math>
ここで ''t'' は時間であり、''f'' は[[実数]]から実数への関数である。そして {''e'' } は定常過程である。関数値 <math>f(t)</math> は ''t'' 時点におけるこの確率過程のトレンドの値と言われる。

==単純な例:線形トレンド周りでの定常性==
変数 ''Y'' が以下のように変動すると仮定する。
:<math>Y_t = a \cdot t + b + e_t</math>
ここで ''t'' は時間であり、''e''<sub>''t''</sub> は誤差項であって、ホワイトノイズもしくはより一般に何らかの定常過程と仮定されているものとする。この時、真のトレンドの傾き <math>a</math> の推定値 <math>\hat{a}</math> と真の切片 ''b'' の推定値 <math>\hat{b}</math>を得るために[[回帰分析|線形回帰]]を用いることが出来る<ref name=Nelson>{{Citation
|last1 = Nelson
|first1 = Charles R.
|last2 = Plosser
|first2 = Charles R.
|year = 1982
|title = Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Some Evidence and Implications
|journal = Journal of Monetary Economics
|volume = 10
|issue = 2
|pages = 139-162
|doi = 10.1016/0304-3932(82)90012-5
|ref = Nelson,Plosser1982
}}</ref><ref name=Hegwood>{{Citation
|last1 = Hegwood
|first1 = Natalie
|last2 = Papell
|first2 = David H.
|title = Are Real GDP Levels Trend, Difference, or Regime-Wise Trend Stationary? Evidence from Panel Data Tests Incorporating Structural Change
|url = http://www.uh.edu/~dpapell/realgdp.pdf
|year = 2007
|journal =  Southern Economic Journal
|volume = 74
|issue = 1
|pages = 104-113
|doi = 10.2307/20111955
|ref = Hegwood,Papell2004
}}</ref><ref name=Lucke>{{Citation
|last = Lucke
|first = Bernd
|title = Is Germany‘s GDP trend-stationary? A measurement-with-theory approach
|url = http://www.wiso.uni-hamburg.de/fileadmin/wiso_vwl_iwk/paper/gdptrend.pdf 
|journal = Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik / Journal of Economics and Statistics
|volume = 225
|issue = 1
|year = 2005
|pages = 60-76
|jstor = 23813277
|ref = Lucke2005
}}</ref>。もし、推定値 <math>\hat{a}</math> が有意に0と異なれば、それは変数 ''Y'' が非定常であるということの信頼できる証拠としては十分である。この回帰の[[残差]]は以下で与えられる。
:<math>\hat{e}_t = Y - \hat{a} \cdot t - \hat{b}.</math>
もし推定された残差が統計的に定常であると示すことができるのならば（より正確には、真の誤差項が非定常であるという仮説が棄却できるのならば）、残差は'''デトレンド'''された（{{lang-en-short|detrended}}）データとなり<ref name=Duke>[http://www.duke.edu/~rnau/411diff.htm Stationarity and differencing]</ref>、元の系列 {''Y''<sub>''t''</sub>} は定常ではないものの、トレンド定常過程であると言える。

==異なるタイプのトレンド周りでの定常性==

===指数成長トレンド===
多くの経済時系列は{{仮リンク|指数成長|en|exponential growth}}によって特徴付けられる。例えば、[[国内総生産]]（GDP）が定数の成長率であるトレンドからの定常な逸脱によって特徴付けられるとしよう。この時、GDPは以下のようにモデル化される。
:<math>\text{GDP}_t = Be^{at}U_t</math>
ここで U<sub>t</sub> は定常な誤差過程として仮定されている。パラメーター <math>a</math> と ''B'' の推定のために、まずこの方程式の両辺の[[自然対数]]（ln）を取る<ref name=Duke/>。
:<math> \ln (\text{GDP}_t) =  \ln B + at + \ln (U_t).</math>
この{{仮リンク|対数線形|en|log-linear modeling}}方程式は前の線形トレンド方程式と同じ形をしており、同じ方法でデトレンドすることができる。<math>(\ln U)_t</math> が非定常であるという仮説が棄却されたのであれば、<math> (\ln \text{GDP})_t  </math> のデトレンドされた値として推定値、つまりインプライドな <math>(\ln U)_t</math> が得られる。

===2次トレンド===
トレンドは線形もしくは対数線形でなくてはならないというわけではない。例えば、2次トレンドを持つことも許容される。
:<math>Y_t = a \cdot t + c \cdot t^2 + b + e_t.</math>
この式は、説明変数として ''t'' と ''t''<sup>2</sup> を用いれば線形回帰が行える。繰り返すが、残差が定常であるとわかれば、その残差は <math>Y_t</math> をデトレンドした値となる。

==トレンド定常ではないが定常過程に変換できる非定常過程==
トレンド定常過程のみが定常過程に変換可能な非定常過程であるわけではない。他の有名な変換可能である確率過程として1次もしくはそれ以上のオーダーの[[単位根]]過程がある<ref name=Nelson/><ref name=Hegwood/><ref name=Lucke/><ref name=Duke/>。

==脚注==
{{reflist}}

==関連項目==
* [[傾向推定|トレンド推定]]
* {{仮リンク|時系列の分解|en|decomposition of time series}}

{{統計学}}
{{デフォルトソート:とれんとていしよう}}
[[Category:統計学]]
[[Category:計量経済学]]
[[Category:時系列分析]]
[[Category:数学に関する記事]]