トレース (体論)のソースを表示

[[体論]]において、'''トレース''' (trace) は、[[有限拡大|有限次体拡大]] ''L''/''K'' に付随して現れる写像で、''L'' から ''K'' への ''K''-線型写像である。

==定義==
''L''/''K'' を有限拡大とする。[[分離次数]]を [''L'' : ''K'']<sub>''s''</sub> = ''r'' とする。σ<sub>1</sub>, ..., σ<sub>''r''</sub> を ''L'' の ''K'' の[[代数閉包]] ''K''<sup>a</sup> への相異なる ''K''-埋め込み全部とする。''L'' の元αに対し、'''トレース'''を
:<math>\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=[L:K]_i\sum_{\nu=1}^r\sigma_\nu\alpha</math>
で定義する。ここで [''L'' : ''K'']<sub>''i''</sub> は非分離次数である。

分離拡大でなければ、トレースは 0 である。分離拡大（特にガロワ拡大）であれば、トレースは
:<math>\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\nu=1}^r\sigma_\nu\alpha</math>
である。

''L'' を ''K''-ベクトル空間と見る。α∈''L'' に対し ''L'' の元をα倍する写像 ''L'' &rarr; ''L'' は ''K''-線型写像であるので、適当な基底を取ると行列で表すことができる。この行列の[[トレース (線型代数学)|トレース]]は Tr<sub>''L''/''K''</sub>(α) と一致する。（基底の取り方には依らない。）

==性質==
トレース写像は、''L'' から ''K'' への ''K''-線型写像である。また、体の拡大の列 ''L'' ⊃ ''M'' ⊃ ''K'' に対し
:<math>\operatorname{Tr}_{L/K}=\operatorname{Tr}_{M/K}\circ\operatorname{Tr}_{L/M}</math>
が成り立つ。

''L'' = ''K''(α) のとき、αの ''K'' 上の[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]を
:''X''<sup>''r''</sup> + ''a''<sub>''r''&minus;1</sub>''X''<sup>''r''&minus;1</sup> + ... + ''a''<sub>0</sub>
とすると、
:Tr<sub>''K''(α)/''K''</sub>(α) = &minus;''a''<sub>''r''&minus;1</sub>
である。

''L''/''K'' を有限次分離拡大とする。''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''r''</sub> を ''L'' の ''K''-ベクトル空間としての基底とする。このとき次を満たすある基底 ''e''<nowiki>'</nowiki><sub>1</sub>, ..., ''e'''<sub>''r''</sub> が存在する：
:<math>\operatorname{Tr}_{L/K}(e_ie'_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}
1&(i=j)\\0&(i\ne j)\end{cases}</math>

==関連項目==
*[[ノルム (体論)|ノルム]]
*[[拡大体における双対基底]]

==参考文献==
* {{cite book| author=Serge Lang | authorlink=Serge Lang | title=Algebra | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=211 | edition=Rev. 3rd | publisher=[[Springer Verlag]] | year=2002 | isbn=978-0-387-95385-4 | url = https://books.google.co.jp/books?id=Fge-BwqhqIYC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA284#v=onepage&q&f=false}}

{{DEFAULTSORT:とれいす（たいろん）}}
[[Category:体論]]
[[Category:数学に関する記事]]