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{{翻訳直後|[[:en:Special:Redirect/revision/1056157293|en:Toroidal moment]]|date=2022年7月}}

'''トロイダルモーメント'''({{Lang-en-short|Toroidal moment}})とは、[[電磁場]]を{{仮リンク|多重極展開|en|Multipole expansion}}した際に、磁気多重極子・電気多重極子とは独立に現われる多重極子項である。静的な電磁場を多重極展開する場合、電荷と電流の分布は、電気多重極子と磁気多重極子のみの線形結合により完全に表現することができる。しかし、動的な電磁場を多重極展開する場合には追加の項が生じ、この項は電気多重極子および磁気多重極子の時間微分だけでなく、トロイダル多重極モーメントも含む。[[電気双極子]]は分離された電荷、[[磁気双極子]]は循環電流のアナロジーで理解されるが軸性トロイダル双極子（電気トロイダル双極子とも）は[[トーラス]]状の電荷分布により、極性トロイダル双極子（磁気トロイダル双極子、'''アナポール'''{{Lang-en-short|anapole}} とも）は[[ソレノイド]]をトーラス状に曲げたもののアナロジーで理解される。

== 古典的なトロイダル双極子モーメント ==
複素表示を用いると、[[電流密度]]{{Math|J}}は、直交座標系上<ref>{{Citation|title=Cartesian multipole expansions and tensorial identities|last=Radescu|first=E., Jr.|last2=Vaman|first2=G.|year=2012|journal=Progress in Electromagnetics Research B|volume=36|pages=89–111|doi=10.2528/PIERB11090702}}</ref>もしくは極座標形上の<ref>{{Citation|title=Toroid moments in electrodynamics and solid-state physics|last=Dubovik|first=V. M.|last2=Tugushev|first2=V. V.|date=March 1990|journal=Physics Reports|volume=187|number=4|pages=145–202|doi=10.1016/0370-1573(90)90042-Z|bibcode=1990PhR...187..145D}}</ref>微分演算子を用いて電気多重極子、磁気多重極子、およびトロイダル多重極子の総和として書くことができる。最も低次のトロイダル項はトロイダル双極子である。その方向{{Mvar|i}}に沿う大きさは次の式で与えられる。

: <math>T_i=\frac{1}{10c} \int [r_i(\mathbf{r}\cdot\mathbf{J})-2r^2J_i] \mathrm{d}^3x</math>

この項は、電流密度を2次まで拡張した場合にのみ現われるため、長波長近似下では通常消滅する。

しかし、最近の研究では、トロイダル多重極子は高次の電気多重極子であり、別種の多重極子ではないとする結果が得られている<ref>I. Fernandez-Corbaton et al.: ''[https://www.nature.com/articles/s41598-017-07474-4.pdf On the dynamic toroidal multipoles from localized electric current distributions]''. Scientific Reports, 8 August 2017</ref>。

== 量子トロイダル双極子モーメント ==
[[1957年]]、[[ヤーコフ・ゼルドビッチ]]は[[弱い相互作用]]が[[パリティ対称性の破れ|パリティ対称性を破る]]ため、スピン{{分数|1|2}}の[[ディラック方程式|ディラック粒子]]は通常の電気多重極子と磁気多重極子に加えてアナポールモーメントとも呼ばれるトロイダル双極子も持つことを示した<ref>{{Citation|title=Parity nonconservation in the first order in the weak-interaction constant in electron scattering and other effects|last=Zel'dovich|first=Ya. B.|year=1957|journal=Zh. Eksp. Teor. Fiz.|volume=33|page=1531}} [JETP 6, 1184 (1957)].</ref>。この項の相互作用を最も理解しやすい系は、次のような非相対論的極限ハミルトニアンで記述される。

:{{math|ℋ∝&minus;''d''（𝜎⋅'''E'''）&minus;''&mu;''（𝜎⋅'''B'''）&minus;''a''（𝜎⋅∇⨯'''B'''）}}

ここで、{{Mvar|d}}は電気双極子モーメント、 {{mvar|μ}}は磁気双極子モーメント、{{mvar|a}}はアナポールモーメント、{{math|'''&sigma;'''}}は[[パウリ行列]]のベクトルを表わす<ref>{{Citation|title=The toroid moment of Majorana neutrino|last=Dubovik|first=V. M.|last2=Kuznetsov|first2=V. E.|year=1998|journal=Int. J. Mod. Phys. A|volume=13|number=30|pages=5257–5278|arxiv=hep-ph/9606258|doi=10.1142/S0217751X98002419|bibcode=1998IJMPA..13.5257D}}</ref>。 
[[ファイル:Solenoid_currents_inducing_a_toroidal_magnetic_moment.tif|サムネイル|トロイダル磁気モーメント（赤）を誘起するソレノイド電流{{Math|'''j'''}} （青）。]]

== 双極子モーメントの対称性 ==
すべての双極子モーメントはベクトルであり、[[パリティ (物理学)|空間反転]]（{{math|P: '''r'''↦&minus;'''r'''}}）と[[時間反転対称性|時間反転]]（{{math|T: ''t''↦&minus;''t''}}）の下での対称性の違いによって区別できる。以下の表は、双極子モーメントそれぞれが、各対称変換の下で不変（"+1"）か、符号反転するか（"-1"）をまとめたものである。
{| class="wikitable"
!双極子モーメント
! style="font-weight:normal" |P
! style="font-weight:normal" | T
|-
|軸性トロイダル双極子モーメント
| +1
| +1
|-
|[[電気双極子|電気双極子モーメント]]
| -1
| +1
|-
|[[磁気モーメント|磁気双極子モーメント]]
| +1
| -1
|-
|極性トロイダル双極子モーメント
| -1
| -1
|}

== 物性物理学における磁気トロイダルモーメント ==
[[物性物理学]]において、磁気トロイダル秩序を生じさせるさまざまな機構が研究されている<ref>{{Citation|title=The toroidal moment in condensed-matter physics and its relation to the magnetoelectric effect|last=Spaldin|first=Nicola A.|author-link=Nicola Spaldin|last2=Fiebig|first2=Manfred|last3=Mostovoy|first3=Maxim|year=2008|url=https://www.rug.nl/research/portal/files/6724613/2008JPhysCMSpaldin.pdf|journal=Journal of Physics: Condensed Matter|volume=20|number=43|page=434203|doi=10.1088/0953-8984/20/43/434203|bibcode=2008JPCM...20Q4203S}}.</ref>。

* 空間反転対称性および時間反転対称性を破る局所[[スピン角運動量|スピン]]の配列。この結果として生じるトロイダルモーメントは、磁性イオンのスピン{{math|'''S'''{{sub|''i''}}}}と磁気単位胞中における位置{{math|'''r'''{{sub|''i''}}}}との外積の総和{{math|1='''T'''={{sum|''i''}}'''r'''{{sub|''i''}}×'''S'''{{sub|''i''}}}}によって記述される<ref>{{Citation|title=Towards a microscopic theory of toroidal moments in bulk periodic crystals|last=Ederer|first=Claude|last2=Spaldin|first2=Nicola A.|author2-link=Nicola Spaldin|year=2007|journal=Physical Review B|volume=76|number=21|pages=214404|arxiv=0706.1974|doi=10.1103/physrevb.76.214404|bibcode=2007PhRvB..76u4404E}}.</ref>。
* 非局在磁気モーメントによる渦形成。
* オンサイト[[原子軌道|軌道]]電流（{{仮リンク|磁性強誘電体|en|Multiferroics}}相[[酸化銅(II)|CuO]]に見られる）<ref>{{Citation|title=Observation of orbital currents in CuO|last=Scagnoli|first=V.|last2=Staub|first2=U.|last3=Bodenthin|first3=Y.|last4=de Souza|first4=R. A.|last5=Garcia-Fernandez|first5=M.|last6=Garganourakis|first6=M.|last7=Boothroyd|first7=A. T.|last8=Prabhakaran|first8=D.|last9=Lovesey|first9=S. W.|year=2011|journal=[[Science (journal)|Science]]|volume=332|number=6030|pages=696–698|doi=10.1126/science.1201061|bibcode=2011Sci...332..696S|pmid=21474711}}.</ref>。 
* 軌道環電流。酸化銅系[[高温超伝導]]体を理解する上で重要な可能性が提唱されている<ref>{{Citation|title=Theory of the pseudogap state of the cuprates|last=Varma|first=C. M.|year=2006|journal=Physical Review B|volume=73|number=15|pages=155113|arxiv=cond-mat/0507214|doi=10.1103/physrevb.73.155113|bibcode=2006PhRvB..73o5113V}}.</ref>。同様に、[[クプラート]]における軌道電流による対称性の破れが、偏極中性子散乱による実験的根拠をもって主張されている<ref>{{Citation|title=Magnetic order in the pseudogap phase of high-T<sub>C</sub> superconductors|last=Fauqué|first=B.|last2=Sidis|first2=Y.|last3=Hinkov|first3=V.|last4=Pailhès|first4=S.|last5=Lin|first5=C. T.|last6=Chaud|first6=X.|last7=Bourges|first7=P.|year=2006|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=96|number=19|pages=197001|arxiv=cond-mat/0509210|doi=10.1103/physrevlett.96.197001|bibcode=2006PhRvL..96s7001F|pmid=16803131}}.</ref>。

== 磁気トロイダルモーメントとその磁気電気効果との関係 ==
固体物質中の磁気トロイダル子モーメント{{Math|'''T'''}}の存在は、{{仮リンク|磁気電気効果|en|Magnetoelectric effect}}の存在に起因する。トロイダルソレノイド平面に磁場{{Math|'''H'''}}を印加すると、[[ローレンツ力]]により環電流が蓄積され、{{Math|'''T'''}}と{{Math|'''H'''}}の両方に垂直な[[誘電分極]]が生じる。その結果生じる電気双極子モーメントは、 {{Math|1=''P''{{sub|''i''}} = ε{{sub|''ijk''}}''T''{{sub|''j''}}''H''{{sub|''k''}}}}のように書ける（{{Math|ε}}は[[エディントンのイプシロン|レビ・チビタ記号]]）。したがって、交差相関応答を記述する磁気電気[[テンソル]]は[[反対称テンソル]]となる。

== 物性物理学におけるフェロトロイド性 ==
微視的な磁気トロイダルモーメントの[[長距離秩序]]相への自発的[[相転移]]は、「フェロトロイド性」{{Lang-en-short|Ferrotoroidicity}}と呼ばれる<ref>{{Cite journal |last=Gnewuch |first=Stephanie |last2=Rodriguez |first2=Efrain E. |date=2019-03-01 |title=The fourth ferroic order: Current status on ferrotoroidic materials |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022459618305760 |journal=Journal of Solid State Chemistry |volume=271 |pages=175–190 |doi=10.1016/j.jssc.2018.12.035 |issn=0022-4596|doi-access=free }}</ref>。これは、空間的にも時間的にも[[偶関数と奇関数|奇]]な巨視的秩序パラメータをもつ、一次{{仮リンク|フェロイクス|en|Ferroics}}（自発的な点対称性の破れを伴う相転移）の対称性スキームを占めることが予想されている。フェロトロイダル物質は、例えば[[回転 (ベクトル解析)|回転]]をもつ磁場など適切な磁場によって切り替えることができる[[磁区]]を持つことが期待される。これら2つのフェロイック状態に特徴的な特性は、どちらも{{仮リンク|ナノ磁性体|en|Nanomagnet}}アレイに基づく人工フェロイトロイドモデル系で実証されている<ref>{{Citation|title=Poling of an artificial magneto-toroidal crystal|last=Lehmann|first=Jannis|last2=Donnelly|first2=Claire|last3=Derlet|first3=Peter M.|last4=Heyderman|first4=Laura J.|last5=Fiebig|first5=Manfred|year=2019|journal=Nature Nanotechnology|volume=14|number=2|pages=141–144|doi=10.1038/s41565-018-0321-x|pmid=30531991}}.</ref>。

フェロトロイド性の存在はまだ議論中であり、明確な証拠は示されていない。これは主に、フェロトロイド性と[[反強磁性]]秩序がどちらも正味の[[磁化]]をもたず秩序パラメーターの[[対称性]]も同じであるため区別することが難しいことに起因する。

== アナポールダークマター ==
すべての[[CPT対称性|CPT]]自己共役粒子、特に[[マヨラナ粒子|マヨラナフェルミオン]]は、トロイダルモーメント以外の多重極モーメントを持つことが禁じられている<ref>{{Citation|title=Electromagnetic properties of generalized Majorana particles|last=Boudjema|first=F.|last2=Hamzaoui|first2=C.|last3=Rahal|first3=V.|last4=Ren|first4=H. C.|year=1989|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=62|number=8|pages=852–854|doi=10.1103/PhysRevLett.62.852|bibcode=1989PhRvL..62..852B|pmid=10040354}}</ref>。ツリーレベルでは、すなわち[[ファインマン・ダイアグラム|ファインマン図]]におけるループを許容しない場合、アナポールのみをもつ粒子は外部電流とのみ相互作用し、[[自由空間]]における電磁場とは相互作用せず、粒子の速度が遅くなるにつれ相互作用[[反応断面積|断面積]]も減少する。このため、重いマヨラナフェルミオンが[[コールドダークマター]]のもっともらしい候補として提案されている<ref>{{Citation|title=Anapole dark matter|last=Ho|first=C. M.|last2=Scherrer|first2=R. J.|year=2013|journal=Phys. Lett. B|volume=722|number=8|pages=341–346|arxiv=1211.0503|doi=10.1016/j.physletb.2013.04.039|bibcode=2013PhLB..722..341H}}</ref><ref>[http://news.vanderbilt.edu/2013/06/dark-matter/ "New, simple theory may explain mysterious dark matter"]</ref>。

== 関連項目 ==

* [[スフェロマック型]]

== 出典 ==
<references group="" responsive="1"></references>

== 関連文献 ==

* Stefan Nanz: [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-12549-3 ''Toroidal Multipole Moments in Classical Electrodynamics'']. Springer 2016. {{ISBN2|978-3-658-12548-6}}

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[[Category:電磁気学]]