トロコイドのソースを表示

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'''トロコイド''' ({{lang-en|trochoid}}) とは、[[円 (数学)|円]]をある[[曲線]]（円や直線はその特殊な場合）にそってすべらないように転がしたとき、その円の内部または外部の定点が描く曲線<ref>[https://www.weblio.jp/content/%E3%83%88%E3%83%AD%E3%82%B3%E3%82%A4%E3%83%89 トロコイドとは - Weblio辞書]</ref>。'''余擺線'''（よはいせん）とも呼ばれる。この記事ではトロコイドと併せて外トロコイドと内トロコイドについても解説する。

== トロコイド ==
[[File:TrohoidH1,25.gif|thumb|{{math|1=''r''{{sub|''d''}}/''r''{{sub|''m''}} = 5/4}}のトロコイド]]
[[File:TrohoidH0,8.gif|thumb|{{math|1=''r''{{sub|''d''}}/''r''{{sub|''m''}} = 4/5}}のトロコイド]]
[[Image:Trochoid.png|thumb|400px|right|トロコイド  (''r''<sub>m</sub> = 1, −2''&pi;'' &le; ''&theta;'' &le; 2''&pi;'', ''r''<sub>''d''</sub>=1/5（マゼンタ）, 1/2（黄）, 1（緑）, 2（赤）, 3（青）)]]

動円の半径を ''r''<sub>''m''</sub>、回転角を ''&theta;''、描画点の半径を ''r''<sub>''d''</sub> とすると、'''トロコイド'''の[[媒介変数]]表示は
:<math>\begin{cases}
x=r_m\theta - r_d\sin\theta,\\
y=r_m - r_d\cos\theta,
\end{cases}</math>

によって表される[[曲線]]である。

''r''<sub>''m''</sub> &lt; ''r''<sub>''d''</sub> のとき、1回の回転で''x''軸と2回交わる。
''r''<sub>''m''</sub> = ''r''<sub>''d''</sub> のとき、1回の回転で''x''軸と1回接し、曲線は[[サイクロイド]]となる。
''r''<sub>''m''</sub> &gt; ''r''<sub>''d''</sub> のとき、''x''軸と交わらない。

== 外トロコイド ==
[[File:EpitrochoidIn3.gif|thumb|300px|right|図は ''r''<sub>''c''</sub> = 3, ''r''<sub>''m''</sub> = 1, ''r''<sub>''d''</sub> = 1/2 の外トロコイド]]

定円の半径を ''r''<sub>''c''</sub>、動円の半径を ''r''<sub>''m''</sub>、回転角を ''&theta;''、描画点の半径を ''r''<sub>''d''</sub> とすると、'''外トロコイド'''の媒介変数表示は
:<math>\begin{cases}
x=(r_c + r_m)\cos \theta - r_d\cos \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right),\\ 
y=(r_c + r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right),
\end{cases}</math>
によって表される曲線である。'''エピトロコイド''' (epitrochoid) とも呼ばれる。''r''<sub>''d''</sub> = ''r''<sub>''m''</sub> のとき[[外サイクロイド]]となる。

== 内トロコイド ==
[[File:HypotrochoidOutThreeFifths.gif|thumb|300px|図は ''r''<sub>c</sub> = 5, ''r''<sub>m</sub> = 3, ''r''<sub>d</sub> = 5 の内トロコイド]]
[[Image:Ellipse as hypotrochoid.gif|thumb|300px|楕円は内トロコイドの特殊な場合として表される。図は ''r''<sub>c</sub> = 10, ''r''<sub>m</sub> = 5, ''r''<sub>d</sub> = 1 の場合。]]

定円の半径を ''r''<sub>''c''</sub>、動円の半径を ''r''<sub>''m''</sub>、回転角を ''&theta;''、描画点の半径を ''r''<sub>''d''</sub> とすると、'''内トロコイド'''の媒介変数表示は
:<math>\begin{cases}
x=(r_c - r_m)\cos \theta + r_d\cos \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right),\\
y=(r_c - r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right),
\end{cases}</math>
によって表される曲線である。'''ハイポトロコイド''' (hypotrochoid) とも呼ばれる。''r''<sub>''d''</sub> = ''r''<sub>''m''</sub> のとき[[内サイクロイド]]となる。また特に ''r''<sub>''c''</sub> = 2''r''<sub>''m''</sub> のとき、描画点の軌跡は[[楕円]]を描く。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite|和書|title=曲線の事典 性質・歴史・作図法|editor1=礒田正美|editor2=Maria G. Bartolini Bussi|author1=田端毅|author2=讃岐勝|author3=礒田正美|publisher=共立出版|date=2009-12|ISBN=978-4-320-01907-2}}

== 関連項目 ==
* [[サイクロイド]]：{{Math|1=''r''{{sub|''m''}} = ''r''{{sub|''d''}}}} のトロコイド
* [[カージオイド]]：{{Math|1=''r''{{sub|''m''}} = ''r''{{sub|''d''}}=''r''{{sub|''c''}}}} の外トロコイド
* [[スピログラフ]]：内トロコイド・外トロコイドを書く玩具
* [[ロータリーエンジン]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|トロコイド}}
*{{MathWorld | urlname=Trochoid | title=Trochoid}}
*{{Cite web|url=http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm|title=Cicloides y Trocoides|archiveurl=https://web.archive.org/web/20091212011141/http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm|archivedate=2009-12-12|accessdate=2017-07-08}}
{{DEFAULTSORT:とろこいと}}
[[Category:曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]