トロピカル幾何学のソースを表示

{{No footnotes|date=February 2013}}
[[File:Cubique tropicale.svg|thumbnail|A tropical cubic curve]]
'''トロピカル幾何学'''<ref>{{Cite web|和書|date=2007-03 |url=http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/tropical/ishikawa-tropical07.pdf |title=トロピカル幾何学入門 |format=PDF |publisher=石川剛郎（北海道大学大学院理学研究院数学部門） |accessdate=2014-10-11|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210316125816/http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/tropical/ishikawa-tropical07.pdf|archivedate=2021-03-16}}</ref><ref>{{Cite web|和書|date=2006-02-16 |url=http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~y-ito/kajiwara.pdf |title=トロピカル幾何入門 |format=PDF |publisher=梶原健（東北大学大学院理学研究科）/記 木村杏子（名古屋大学大学院多元数理科学研究科） |accessdate=2014-10-11}}</ref><ref>[https://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp09_files/kajiwara.pdf 梶原健：「トロピカル幾何の話」]</ref>（{{Lang-en|Tropical geometry}}）は南米ではじまった新しい演算規則に関わる[[幾何学]]のことで、和を最小値関数（または最大値関数）、積を通常の和に変更したものである。特に[[アメーバ (数学)|アメーバ]]や[[代数幾何学]]や超離散との関連が深い。トロピカルという呼称は、ブラジル人数学者・計算機科学者の{{仮リンク|イムレ・シモン|en|Imre Simon}}に因む。

== 定義 ==
<math>\mathbb{R} \cup \{\infty\}</math> に以下の演算
: <math> x \oplus y = \min\{\, x, y \,\},</math>
: <math> x \otimes y = x + y</math>
を入れると、∞を零元、0を単位元とする可換な冪等[[半環]]となる。<math>(\mathbb{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \otimes)</math> を'''トロピカル半環'''（あるいは min-plus 代数）という。（<math>\mathbb{R} \cup \{-\infty\}</math> に最大値関数による和、通常の和による積を入れたものをトロピカル半環ということもある。）

トロピカル半環上の多項式を'''トロピカル多項式'''という。トロピカル多項式の和と積は次数ごとに上と同様に定義する。トロピカル多項式は、関数としては区分線形な関数であるが、その関数の可微分でない点をトロピカル多項式の零点という。零点集合は'''トロピカル[[超曲面]]'''をなす。

== 参考文献 ==
{{Refbegin}}
*{{cite arXiv |last=Bogart |first=Tristram |last2=Jensen |first2=Anders |last3=Speyer |first3=David |last4=Sturmfels |first4=Bernd |last5=Thomas |first5=Rehka |eprint=math/0507563v1 |title=Computing Tropical Varieties |year=2005 }}
*{{cite arXiv |last=Einsiedler |first=Manfred |last2=Kapranov |first2=Mikhail |last3=Lind |first3=Douglas |eprint=math/0408311v2 |title=Non-archimedean amoebas and tropical varieties |year=2005 }}
*{{Cite arXiv |last=Gathmann |first=Andreas |eprint=math/0601322v1 |title=Tropical algebraic geometry |year=2006 }}
*{{Cite book |last=Gross |first=Mark |title=Tropical geometry and mirror symmetry|year=2011|publisher=Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society with support from the National Science Foundation|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-5232-3}}
*{{Cite book |last=Itenberg |first=Illia |coauthors=Grigory Mikhalkin, Eugenii Shustin |title=Tropical algebraic geometry |year=2009 |publisher=Birkhäuser Basel |location=Basel |isbn=9783034600484 |edition=2nd}}
*{{Cite arXiv |last=Mikhalkin |first=Grigory |eprint=math/0601041v2 |title=Tropical Geometry and its applications |year=2006 }}
*{{Cite arXiv |last= Mikhalkin |first=Grigory |eprint=math/0312530v4 |title=Enumerative tropical algebraic geometry in R2 |year=2004 }}
*{{Cite arXiv |last=Mikhalkin |first=Grigory |eprint=math/0403015v1 |title=Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry |year=2004 }}
*{{cite arXiv |last=Nishinou |first=Takeo |last2=Siebert |first2=Bernd |eprint=math/0409060v3 |title=Toric degenerations of toric varieties and tropical curves |year=2004 }}
*{{Cite journal|last=Pachter |first=L. |last2=Sturmfels |first2=Bernd |title=Tropical geometry of statistical models |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |year=2004 |volume=101 |issue=46|pages=16132–16137 |doi=10.1073/pnas.0406010101}}
*{{Cite arXiv |last=Speyer |first=David E. |eprint=math/0304218v3 |title=The Tropical Grassmannian |year=2003 }}
*{{Cite arXiv |last=Speyer |first=David |last2=Sturmfels |first2=Bernd |eprint=math/0408099v1 |title=Tropical Mathematics |year=2004 }}
*{{Cite arXiv |last=Theobald |first=Thorsten |eprint=math/0306366v2 |title=First steps in tropical geometry |year=2003 }}
* [http://pantodon.jp/index.rb?body=tropical_mathematics "Tropical Mathematics", in Algebraic Topology - A Guide to Literature]
* D.マクラガン、B.シュツルムフェルズ：「トロピカル幾何学入門」、丸善出版、ISBN 978-4621308769（2023年12月1日）。
** 原著：Diane Maclagan and Bernd Sturmfels: ''Introduction to Tropical Geometry'', American Mathematical Society (GSM161), ISBN 978-0-8218-5198-2 (2015).
* [https://www.tus.ac.jp/about/information/publication/forum/file/forum_no440_06.pdf 小林正典：「トロピカル幾何学の最前線―トロピカル幾何学に親しみ，最近の発展に触れる―」、理大 科学フォーラム 2024、Vol4,pp,20-23．Algebraic Topology - A Guide to Literature]

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== 出典・脚注 ==
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==外部リンク==
* [https://archive.org/movies/details-db.php?id=4603 Tropical Geometry, I]

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[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]