トンネル効果のソースを表示

{{Otheruses||写真の撮影技法|口径食}}
[[ファイル:TunnelEffektKling1.svg|右|サムネイル|300x300ピクセル|矩形ポテンシャル障壁を越える量子トンネル。トンネル抜け前後で粒子のエネルギー（波長）は変わらないが確率振幅は減少する。]]'''トンネル効果'''（トンネルこうか、{{lang-en-short|tunnelling effect}}）は、[[量子力学]]において、[[波動関数]]が[[ポテンシャル障壁]]を超えて[[伝播]]する[[現象]]である。

20世紀初頭に予言され、20世紀半ばには広く認知される物理現象となった<ref name="Razavy">{{Cite book|last=Razavy|first=Mohsen|title=Quantum Theory of Tunneling|year=2003|publisher=World Scientific|ISBN=9812564888|pages=4, 462}}</ref>。トンネル効果は、ハイゼンベルクの[[不確定性原理]]と、物質における[[粒子と波動の二重性]]を用いて説明できる。

トンネル効果は、[[原子核崩壊]]や[[核融合反応|核融合]]など、いくつかの物理現象において欠かせない役割を果たしている<ref>{{Cite journal|last=Gurney|first=R. W.|last2=Condon|first2=E. U.|date=1929-02-01|title=Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration|url=https://doi.org/10.1103/physrev.33.127|journal=Physical Review|volume=33|issue=2|pages=127–140|doi=10.1103/physrev.33.127|issn=0031-899X}}</ref><ref>{{Cite book|last=Serway|title=College Physics|edition=Eighth|year=2008|publisher=Brooks/Cole|ISBN=978-0-495-55475-2|volume=2|location=Belmont|last2=Vuille}}</ref>。また、[[トンネルダイオード]]<ref>{{Cite book|last=Taylor|first=J.|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805715-X|page=234}}</ref>、[[量子コンピュータ]]、[[走査型トンネル顕微鏡]]、[[フラッシュメモリ]]などの装置において応用されているという意味でも重要である。

== 歴史 ==
1901年、ロバート・フランシス・イアハートは、電極間の距離を測定することができる[[マイケルソン干渉計]]を用いて、非常に近接した電極間における気体の電気伝導性を研究していたところ、予想に反して大きな電流が流れることを発見した。1911年から1914年にかけて、当時大学院生であったフランツ・ロターは、イアハートの手法を応用して、電極間の距離を制御及び測定する方法について研究した。ロターは、感度の高い検流計を用いて、電極間を流れる電流を測定することにより、電極間の距離を測定する方法を発案した。1926年、ロターは {{val|26|ul=pA}}（ピコアンペア） の感度をもつ検流計を用いて、高真空の環境下において、近接させた電極間を流れる電流を計測した<ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/294260678_The_STM_Scanning_Tunneling_Microscope_The_forgotten_contribution_of_Robert_Francis_Earhart_to_the_discovery_of_quantum_tunneling|title=The STM (Scanning Tunneling Microscope) [The forgotten contribution of Robert Francis Earhart to the discovery of quantum tunneling.]|author=Thomas Cuff|work=ResearchGate|doi=10.13140/RG.2.1.2987.7527|accessdate=2016-05-01}}</ref>。

トンネル効果に係る理論は、[[放射能]]及び[[原子核物理学]]の研究によって発展した。[[フリードリッヒ・フント]]は1927年、{{仮リンク|二重井戸ポテンシャル|en|Double-well potential}}の基底状態の研究において、トンネル効果について初めて言及している<ref name="Nimtz">{{Cite book|last=Nimtz|title=Zero Time Space|year=2008|publisher=Wiley-VCH|page=1|last2=Haibel}}</ref>。1928年、[[ジョージ・ガモフ]]と、彼とは独立に{{仮リンク|ロナルド・ガーニー|en|Ronald Wilfred Gurney}}と{{仮リンク|エドワード・コンドン|en|Edward Condon}}により、[[アルファ崩壊]]の説明において、トンネル効果が応用された<ref>{{Cite journal|last=Gurney|first=R. W.|year=1928|title=Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration|journal=Nature|volume=122|issue=3073|pages=439|bibcode=1928Natur.122..439G|doi=10.1038/122439a0}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Gurney|first=R. W.|year=1929|title=Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration|journal=Phys. Rev|volume=33|issue=2|pages=127–140|bibcode=1929PhRv...33..127G|doi=10.1103/PhysRev.33.127}}</ref><ref>{{Cite interview2|df=ja|last=Bethe|first=Hans|subject-link=ハンス・ベーテ|interviewer=Charles Weiner; Jagdish Mehra|title=Hans Bethe - Session I|url=https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4504-1|work=Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics, College Park, MD USA|place=Cornell University|date=27 October 1966|access-date=2016-05-01}}</ref><ref name="Nuc&RadChem">{{Cite book|last=Friedlander|first=Gerhart|title=Nuclear and Radiochemistry|edition=2nd|year=1964|publisher=John Wiley & Sons|ISBN=978-0-471-86255-0|pages=225–7|location=New York|last2=Kennedy|last3=Miller|first2=Joseph E.|first3=Julian Malcolm}}</ref>。彼らは、核ポテンシャルをモデル化した[[シュレーディンガー方程式]]を解き、粒子の[[半減期]]と、放出されるエネルギーとの関係式が、トンネル効果の起こる確率と直接関係していることを導いた。

[[マックス・ボルン]]は、ガモフのセミナーに参加した際に、トンネル効果が[[原子核物理学]]の範囲内に留まらず、もっと普遍的な現象であることに気付いた<ref name="Razavy">{{Cite book|last=Razavy|first=Mohsen|title=Quantum Theory of Tunneling|year=2003|publisher=World Scientific|ISBN=9812564888|pages=4, 462}}</ref>。その直後、両グループは、トンネル効果によって粒子が原子核に取り込まれることについて考察した。1957年までに、[[半導体]]の研究と[[トランジスタ]]や[[ダイオード]]の開発を通じて、電子のトンネル効果が広く認知されるようになった。[[江崎玲於奈]]、[[アイヴァー・ジェーバー]]、[[ブライアン・ジョゼフソン]]は[[超伝導]]性[[クーパー対]]のトンネル効果を予言し、1973年の[[ノーベル物理学賞]]を受賞した<ref name="Razavy">{{Cite book|last=Razavy|first=Mohsen|title=Quantum Theory of Tunneling|year=2003|publisher=World Scientific|ISBN=9812564888|pages=4, 462}}</ref>。2016年、{{仮リンク|水の量子トンネリング|en|Quantum tunneling of water}}が発見された<ref>{{Cite web|url=http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.116.167802|title=Quantum Tunneling of Water in Beryl: A New State of the Water Molecule|accessdate=2016-04-23|date=2016-04-22|work=[[Physical Review Letters]]|doi=10.1103/PhysRevLett.116.167802}}</ref>。

== 基礎 ==
[[ファイル:Quantum tunnel effect and its application to the scanning tunneling microscope.ogv|右|サムネイル|トンネル効果とその[[走査型トンネル顕微鏡|STM]]への応用を図示したアニメーション]]
[[ファイル:EffetTunnel.gif|右|サムネイル|200x200ピクセル|電子[[波束]]がポテンシャル障壁とぶつかる様子。右側へ抜ける淡い点がトンネル抜けをした電子を表わす。]][[ファイル:Quantum Tunnelling animation.gif|右|サムネイル|300x300ピクセル|障壁を越える量子トンネル。原点 (x=0) に非常に高く狭いポテンシャル障壁が存在する。顕著なトンネル効果が見られる。]]
トンネル効果は、非常に微細な領域で発生する現象であるため、我々が直接知覚することはできない。また、[[古典力学]]では説明することができず、[[量子力学]]により取り扱う必要がある。

例えば、[[ポテンシャル障壁]]に向かっている粒子を、丘を転がり上がるボールに喩えて考えた時、古典力学においては、障壁を乗り越えるだけのエネルギーを粒子が持っていない限り、粒子は障壁の向う側には到達できない。つまり、丘を乗り越えるだけのエネルギーを持たないボールは、途中で止まり丘を転がり落ち戻っていく。別の喩えを用いれば、壁を貫通するだけのエネルギーを持たない銃弾は跳ね返されるか、壁の中で止まる。ところが、量子力学においては、ある確率で粒子は障壁を貫通する。この場合、「ボール」は環境からエネルギーを「借りて」丘を乗り越え、反射電子のエネルギーを高くすることによってそれを返済する<ref>{{Cite journal|last=Davies|first=P. C. W.|year=2005|title=Quantum tunneling time|url=http://www.quantum3000.narod.ru/papers/edu/quantum_tunelling.pdf|journal=American Journal of Physics|volume=73|pages=23|arxiv=quant-ph/0403010|bibcode=2005AmJPh..73...23D|doi=10.1119/1.1810153}}</ref>。

このような違いは、量子力学における[[粒子と波動の二重性]]に起因する。この二重性により導かれる[[ヴェルナー・ハイゼンベルク|ハイゼンベルク]]の[[不確定性原理]]によれば、粒子の位置と[[運動量]]は確定することができない<ref name="Nimtz">{{Cite book|last=Nimtz|title=Zero Time Space|year=2008|publisher=Wiley-VCH|page=1|last2=Haibel}}</ref>。このことは、粒子はぼんやりとした雲のように存在している（存在確率に空間的な広がりがある）ことを意味しており、また、その確率が厳密に0（もしくは1）になるような解はない。したがって、障壁に粒子が衝突する時、障壁を挟んだ反対側には粒子の存在確率があり、障壁が薄ければ薄いほど、その存在確率は無視できないものとなる。[[File:Wigner function for tunnelling.ogv|250px|thumb|量子トンネリングを[[相空間]]上に表現した図。<math>U(x)=8e^{-0.25 x^2}</math>（[[原子単位]]）で表わされるポテンシャル障壁をトンネル抜けする粒子の[[ウィグナー関数]]の時間発展を図示してある。実線は[[ハミルトニアン]]<math>H(x,p) = p^2 / 2 + U(x) </math>の[[等位集合|等値線]]を表わす。]]
=== トンネリング問題 ===
[[波動関数]]は[[系 (自然科学)|系]]のすべての情報を持っている<ref>Bjorken and Drell, "Relativistic Quantum Mechanics", page 2. </ref>。系の波動関数を得るには、[[シュレーディンガー方程式]]（あるいはそれと等価な方程式）を解析的ないし数値的に解く必要がある。
通常、波動関数は位置の関数として表されるが、この場合、波動関数はある場所に粒子を見出す確率を与える（2乗[[絶対値]]が[[確率密度関数]]に対応する）。障壁を高くもしくは広くする極限をとれば、透過する確率は下がる。

矩形ポテンシャル障壁のような単純な模型においては解析解が存在するが、一般には解析解を得ることは難しい。
そのため、系に応じたいくつかの仮定の下で[[近似]]を行い、近似的な解析解または数値解を得る手法が研究されている。

例えば[[プランク定数]]が系の[[作用 (物理学)|作用]]に比べて充分小さいと見なせる場合、シュレーディンガー方程式は[[ハミルトン–ヤコビ方程式]]に帰着する。
[[WKB近似]]は、系がこのような'''準古典的'''振る舞いをすると仮定して近似解を求める手法である。

== 関連する現象 ==
量子トンネルと同じ振舞いをしめし、量子トンネルにより正確に説明できる現象がいくつか存在する。例として、古典的な波動・粒子関連性<ref>{{Cite journal2|df=ja|last=Eddi|first=A.|date=2009-06-16|title=Unpredictable Tunneling of a Classical Wave-Particle Association|url=http://stilton.tnw.utwente.nl/people/eddi/Papers/PhysRevLett_TUNNEL.pdf|journal=Physical Review Letters|volume=102|issue=24|accessdate=2016-05-01|format=PDF|bibcode=2009PhRvL.102x0401E|doi=10.1103/PhysRevLett.102.240401|archive-url=https://web.archive.org/web/20210417195213/http://stilton.tnw.utwente.nl/people/eddi/Papers/PhysRevLett_TUNNEL.pdf|archive-date=2021-04-17}}</ref>や[[エバネッセント場|エバネッセント波カップリング]]（[[光]]への[[マクスウェルの方程式|マクスウェル方程式]]の適用）、[[音響学]]における[[波動|弦に発生する波]]への[[波動方程式|非拡散波動方程式]]の適用などがある。エバネッセント波カップリングは近年にいたるまで、量子力学では単に「トンネリング」と呼ばれていたが、別の文脈でこう呼ばれるようになった。

これらの効果は[[矩形ポテンシャル障壁]]の場合と同じようにモデル化することができる。このような場合、{{仮リンク|波の伝播|en|Wave propagation}}が一様もしくはほぼ一様な[[媒質]]と、それとは伝播が異なるもうひとつの媒質が登場し、媒質B領域が一つ、媒質A領域が二つあるような形で説明できる。シュレーディンガー方程式を用いた矩形ポテンシャル障壁の解析は、媒質Aでは[[波動|進行波]]解が得られ、媒質Bでは実[[指数関数]]解が得られるような別の効果に対しても有効である。

[[光学]]では、媒質Aは真空で媒質Bはガラスである。音響学では、たとえば媒質Aは流体、媒質Bは固体とおける。この両方で、媒質A領域では粒子の[[エネルギー|総エネルギー]]が[[位置エネルギー|ポテンシャルエネルギー]]よりも大きく、媒質Bがポテンシャル障壁となっている。この場合、入射波と反射波、透過波が得られる。さらに多くの媒質および障壁を設けることもあり、障壁が非連続ではない場合もある。このような場合は近似が便利である。

== スピン偏極共鳴トンネル効果 ==
スピン偏極共鳴トンネル効果はトンネル効果の一種である。2002年に[[産業技術総合研究所]]エレクトロニクス研究部門と[[科学技術振興事業団]]の研究チームによる単結晶ナノ構造電極を持つ新型TMR素子の開発過程において、室温で[[トンネル磁気抵抗効果|TMR素子]]の[[電極]]内部に[[量子井戸]]準位を生成すると[[磁気抵抗]]が巨大な振動を起こす現象、すなわちスピン偏極共鳴トンネル効果が発見された<ref name="MMS01">{{Cite web|和書|title=スピン偏極共鳴トンネル効果を発見 |publisher=[[産業技術総合研究所]] |date=2002-07-12 |url=https://www.aist.go.jp/aist_j/press_release/pr2002/pr20020712/pr20020712.html |accessdate=2019-01-25}}</ref><ref>湯浅新治, 長浜太郎, 鈴木義茂、「[https://doi.org/10.11316/jpsgaiyo.57.2.3.0_349_1 7pWA-1 強磁性トンネル接合のスピン偏極共鳴トンネル効果(トンネル磁気抵抗・スピン注入磁化反転,領域3)]」 『日本物理学会講演概要集』 57.2. 3, {{doi|10.11316/jpsgaiyo.57.2.3.0_349_1}}, 一般社団法人 日本物理学会, 2002.</ref><ref>湯浅新治, 長浜太郎, 鈴木義茂 ほか、「[https://doi.org/10.11316/butsuri1946.58.38 磁気トンネル接合の TMR 効果と共鳴トンネル効果 (最近の研究から)]」 『日本物理学会誌』 2003年 58巻 1号 p.38-42, {{doi|10.11316/butsuri1946.58.38}}</ref><ref>Yuasa, S., T. Nagahama, and Y. Suzuki. "[https://www.researchgate.net/profile/Taro_Nagahama/publication/11263346_Spin-Polarized_Resonant_Tunneling_in_Magnetic_Tunnel_Junctions/links/551c07580cf2909047b9a083/Spin-Polarized-Resonant-Tunneling-in-Magnetic-Tunnel-Junctions.pdf Spin-Polarized Resonant Tunneling in Magnetic Tunnel Junctions.]"Science 297 (2002): 234-237.</ref>。室温で作動する[[スピントランジスタ]]の実現が期待される。

== 応用 ==
量子トンネリングは障壁の厚さがおよそ {{val|1|-|3|ul=nm}} 以下の場合に起こる<ref>{{Cite book|last=Lerner|title=Encyclopedia of Physics|edition=2nd|year=1991|publisher=VCH|ISBN=0-89573-752-3|page=1308|location=New York|last2=Trigg}}</ref>が、これはいくつかの重要な巨視的な物理現象の原因となっている。たとえば、[[集積回路|VLSI]]において電力損失および発熱の原因となり、ひいてはコンピュータチップのサイズダウン限界を定めている漏れ電流の原因は量子トンネリングである<ref>{{Cite web|url=http://psi.phys.wits.ac.za/teaching/Connell/phys284/2005/lecture-02/lecture_02/node13.html|title=Applications of tunneling|author=Simon Connell|date=2006-02-21 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110723161704/http://psi.phys.wits.ac.za/teaching/Connell/phys284/2005/lecture-02/lecture_02/node13.html|archivedate=2011-07-23|accessdate=2018-4-15}}</ref>。

=== 恒星内での核融合 ===
恒星内での核融合にとっても量子トンネルは重要である。恒星の核における温度と圧力をもってしても、[[クーロン障壁]]を乗り越えて熱核融合を引き起こすためには十分でない。しかし、量子トンネルのおかげでクーロン障壁を通り抜ける確率が存在する。この確率は非常に低いが、恒星に存在する原子核の数は莫大であり、数十億年にもわたって定常的に核融合が続くこととなる。ひいては、[[生物]]が限られた[[ハビタブルゾーン]]の中で[[進化]]できるための前提条件となっている<ref name="Trixler2013">{{Cite journal|last=Trixler|first=F|date=2013|title=Quantum tunnelling to the origin and evolution of life.|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3768233/pdf/COC-17-1758.pdf|journal=Current Organic Chemistry|volume=17|issue=16|pages=1758-1770|doi=10.2174/13852728113179990083}}</ref>。

=== 放射性崩壊 ===
放射性崩壊とは不安定原子核が粒子とエネルギーを放出して安定な原子核へと変化する過程である。この過程は粒子が原子核内から外へトンネリングすることにより生じている（[[電子捕獲]]の場合は電子は外から内へトンネリングしている）。量子トンネルが初めて適用された例であり、初めての近似でもある。放射性崩壊は[[宇宙生物学]]上も重要である。ハビタブルゾーン外で日光の十分に届かない領域（たとえば[[大洋|深海底]]）で生物が長期間に渡って生存できる環境が放射性崩壊、ひいては量子トンネリングによって実現される可能性が指摘されている<ref name="Trixler2013">{{Cite journal|last=Trixler|first=F|date=2013|title=Quantum tunnelling to the origin and evolution of life.|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3768233/pdf/COC-17-1758.pdf|journal=Current Organic Chemistry|volume=17|issue=16|pages=1758-1770|doi=10.2174/13852728113179990083}}</ref>。

=== 星間雲における宇宙化学 ===
量子トンネル効果を考慮することにより、[[水素|分子状水素]]や[[水]]（[[氷]]）、および[[生命の起源]]として重要な[[ホルムアルデヒド]]などの様々な分子が[[星間雲]]において宇宙化学的に合成されている理由を説明できる<ref name="Trixler2013">{{Cite journal|last=Trixler|first=F|date=2013|title=Quantum tunnelling to the origin and evolution of life.|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3768233/pdf/COC-17-1758.pdf|journal=Current Organic Chemistry|volume=17|issue=16|pages=1758-1770|doi=10.2174/13852728113179990083}}</ref>。

=== 量子生物学 ===
[[量子生物学]]において、無視できない量子効果の筆頭として量子トンネル効果が挙げられる。ここでは、電子トンネリングとプロトントンネリングの二つが重要となる。電子トンネリングは多くの生化学的酸化還元反応（[[光合成]]、[[細胞呼吸]]）および[[酵素反応]]のキーファクターであり、またプロトントンネリングはDNA自発変異におけるキーファクターである<ref name="Trixler2013">{{Cite journal|last=Trixler|first=F|date=2013|title=Quantum tunnelling to the origin and evolution of life.|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3768233/pdf/COC-17-1758.pdf|journal=Current Organic Chemistry|volume=17|issue=16|pages=1758-1770|doi=10.2174/13852728113179990083}}</ref>。

DNA自発変異は通常の[[DNA複製]]時において、特に重要なプロトンが確率の低い量子トンネリングを起こすことによって生じ、これを量子生物学では「プロトントンネリング」と呼ぶ<ref>{{Cite book|last=Matta|first=Cherif F.|title=Quantum Biochemistry: Electronic Structure and Biological Activity|url=https://books.google.com/books?id=a4JhVFaUOjgC|year=2014|publisher=Wiley-VCH|ISBN=978-3-527-62922-0|location=Weinheim}}</ref>。通常のDNA塩基対は水素結合で会合している。水素結合に沿って見ると、二重井戸ポテンシャル構造が生じており、片方がより深くもう片方が浅い非対称となっていると考えられている。このため、プロトンは通常深い方の井戸に収まっていると考えられる。変異が起こるためにはプロトンは浅い方の井戸にトンネル抜けする必要がある。このようなプロトンの通常位置からの移動は[[互変異性]]遷移と呼ばれる。このような状態でDNAの複製が始まった場合、DNA塩基対の会合則が乱され、変異が起こりうる<ref>{{Cite book|last=Majumdar|first=Rabi|title=Quantum Mechanics: In Physics and Chemistry with Applications to Bioloty|url=https://books.google.com/books?id=IJDvyNVeBiYC|year=2011|publisher=PHI Learning|ISBN=9788120343047|location=Newi}}</ref>。{{仮リンク|ペル＝オロフ・レフディン|en|Per-Olov Löwdin}}が初めて二重螺旋中における自発変異を取り扱うこの理論を構築した。その他の量子トンネル由来の変異が[[老化]]や[[癌]]化の原因であると考えられている<ref>{{Cite journal|last=Cooper|first=WG|date=June 1993|title=Roles of Evolution, Quantum Mechanics and Point Mutations in Origins of Cancer|journal=Cancer Biochemistry Biophysics|volume=13|issue=3|pages=147–70|pmid=8111728}}</ref>。

=== 電界放出 ===
[[電子]]の[[電界放出]]は[[半導体]]物理学や[[超伝導]]体物理学に関連する。これは電子がランダムに金属表面から飛び出すという点で[[エジソン効果|熱電子放出]]と似ている。熱電子放出では互いに衝突しあう粒子がエネルギー障壁を越えるエネルギーを獲得して放出されるが、電界放出では強い電界をかけることによってエネルギー障壁が薄くなり、電子が原子状態からトンネル抜けすることによって電子の放出が起こる。したがって、電流は電界におおよそ指数関数的に依存する<ref name="Taylor">{{Cite book|last=Taylor|first=J.|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805715-X|page=479}}</ref>。[[フラッシュメモリ|フラッシュメモリー]]や[[真空管]]、[[電子顕微鏡]]などにおいて重要である。

=== トンネル接合 ===
非常に薄い不導体を二つの導体で挟み込むことによって単純な障壁を作ることができる。これをトンネル接合とよび、量子トンネルの研究に用いられる<ref>{{Cite book|last=Lerner|title=Encyclopedia of Physics|edition=2nd|year=1991|publisher=VCH|ISBN=0-89573-752-3|pages=1308–1309|location=New York|last2=Trigg}}</ref>。[[ジョセフソン効果|ジョセフソン接合]]は超伝導と量子トンネルを利用する[[ジョセフソン効果]]を起こすための構造である。これは[[電圧]]と[[磁場]]の精密計測<ref name="Taylor">{{Cite book|last=Taylor|first=J.|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805715-X|page=479}}</ref>、および{{仮リンク|多接合太陽電池|en|Multijunction solar cell}}に応用できる。
[[ファイル:Rtd seq v3.gif|右|サムネイル|400x400ピクセル|ポテンシャル障壁の量子トンネルに基く[[共鳴トンネルダイオード]]の動作原理。]]

=== トンネルダイオード ===
[[ダイオード]]とは、電流を一方向にしか流さない[[半導体素子]]である。この素子は[[N型半導体|n型]]と[[p型]]の半導体の接合面に生じる[[空乏層]]に依存して動作している。半導体のドープ率を極めて高くすると、空乏層が量子トンネリングが生じるほど薄くなる。すると、順バイアスが小さい場合にはトンネリングによる電流が支配的となる。この電流は[[バイアス電圧]]がp型およびn型の[[伝導帯]]エネルギー準位が一致するような値のとき最大となる。バイアス電圧をさらに増していくと、伝導体がもはや一致しなくなり通常のダイオードと同様の動作を示すようになる<ref name="Krane">{{Cite book|last=Krane|first=Kenneth|title=Modern Physics|year=1983|publisher=John Wiley and Sons|ISBN=0-471-07963-4|page=423|location=New York}}</ref>。

トンネル電流は急速に低下するため、電圧が増すと電流が減るような電圧領域を持つトンネルダイオードを作成することが可能である。このような特異的特性は、電圧の変化の速さに量子トンネル確率の変化が追従できるような高速素子などにおいて応用されている<ref name="Krane">{{Cite book|last=Krane|first=Kenneth|title=Modern Physics|year=1983|publisher=John Wiley and Sons|ISBN=0-471-07963-4|page=423|location=New York}}</ref>。

[[共鳴トンネルダイオード]]は同じような結果を達成するが、量子トンネリングを全く異る方法で応用している。このダイオードは伝導体のエネルギー準位が高い薄膜を複数近接して配置することにより、特定の電圧で大きな電流が流れる共鳴電圧を持つ。このような配置により最低[[エネルギー準位]]が不連続に変化する量子[[井戸型ポテンシャル|ポテンシャル井戸]]が形成される。このエネルギー準位が電子のエネルギー準位よりも高い場合はトンネリングは起こらず、逆バイアスのかかったダイオードのように動作する。二つのエネルギー準位が一致したとき、電子は導線で繋がれたかのように流れる。電圧をさらに高くするとトンネリングが起こらなくなり、あるエネルギー準位からはまた通常のダイオードのように動作しはじめる<ref name="Knight">{{Cite book|last=Knight|first=R. D.|title=Physics for Scientists and Engineers: With Modern Physics|year=2004|publisher=Pearson Education|ISBN=0-321-22369-1|page=1311}}</ref>。

=== トンネル電界効果トランジスタ ===
ヨーロッパの研究プロジェクトにより、ゲート（チャネル）を熱注入ではなく量子トンネリングで制御することにより、ゲート電圧を ~1 ボルトから 0.2 ボルトに低減し、電力消費量を 100分の1以下に抑えた電界効果トランジスタが実証された。このトランジスタを{{仮リンク|VLSIチップ|en|Vlsi}}にまでスケールアップすることができれば、[[集積回路]]の電力性能効率を大きく向上させることができる<ref>{{Cite journal|last=Ionescu|first=Adrian M.|year=2011|title=Tunnel field-effect transistors as energy-efficient electronic switches|journal=[[Nature (journal)|Nature]]|volume=479|issue=7373|pages=329–337|bibcode=2011Natur.479..329I|doi=10.1038/nature10679|pmid=22094693}}</ref>。

=== 量子伝導 ===
[[電気抵抗率|電気伝導]]における[[ドルーデモデル]]は金属中の電子の伝導について優れた予言を行うが、電子の衝突時の性質について量子トンネルを考慮して改良することができる<ref name="Taylor">{{Cite book|last=Taylor|first=J.|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805715-X|page=479}}</ref>。自由電子波束が等間隔に並んだ長い障壁の列に遭遇すると、反射された波束と透過する波束が均一に干渉して透過率が100%となる場合がある。この理論によれば、正に帯電した原子核が完全な長方形格子を構成する場合、電子は金属中を自由電子のようにトンネリングし、極めて高い[[電気抵抗|伝導度]]を示すこと、および金属中の不純物によりこれが大きく阻害されることが予言される<ref name="Taylor">{{Cite book|last=Taylor|first=J.|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805715-X|page=479}}</ref>。

=== 走査型トンネル顕微鏡 ===
[[ゲルト・ビーニッヒ]]と[[ハインリッヒ・ローラー]]により発明された走査型トンネル顕微鏡 (STM) は、金属表面の個々の原子を判別できる画像を撮像できる<ref name="Taylor">{{Cite book|last=Taylor|first=J.|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805715-X|page=479}}</ref>。これは量子トンネル確率が位置に依存する性質を利用したものである。バイアス電圧を掛けたSTM針の針先が伝導体表面に近付くと、針から表面へと電子がトンネリングし、これを電流として計測することができる。この電流により、針と表面の距離を計測できる。[[圧電素子]]に印加する電圧を制御して、針が表面と一定距離を保つように伸び縮みさせることができる。圧電素子に印加した電圧の時間変化を記録すれば、表面の像を得ることができる<ref name="Taylor">{{Cite book|last=Taylor|first=J.|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805715-X|page=479}}</ref>。STMの精度は 0.001&nbsp;nm、すなわち原子直径の 1% に及ぶ<ref name="Knight">{{Cite book|last=Knight|first=R. D.|title=Physics for Scientists and Engineers: With Modern Physics|year=2004|publisher=Pearson Education|ISBN=0-321-22369-1|page=1311}}</ref>。

== 超光速 ==
スピンゼロ粒子がトンネリングするとき、[[光速]]を超えて移動することがある<ref name="Razavy">{{Cite book|last=Razavy|first=Mohsen|title=Quantum Theory of Tunneling|year=2003|publisher=World Scientific|ISBN=9812564888|pages=4, 462}}</ref>。これは一見相対論的[[因果律]]に反しているように見えるが、波束の伝播を詳しく解析すると、相対性理論に反していないことがわかる。1998年、{{仮リンク|フランシス・E・ロー|en|Francis E. Low|redirect=1}}はゼロ時間トンネリングについてのレビューを執筆した<ref>{{Cite journal|last=Low|first=F. E.|year=1998|title=Comments on apparent superluminal propagation|journal=[[Annalen der Physik|Ann. Phys.]]|volume=7|issue=7–8|pages=660–661|bibcode=1998AnP...510..660L|doi=10.1002/(SICI)1521-3889(199812)7:7/8<660::AID-ANDP660>3.0.CO;2-0}}</ref>。[[フォノン]]、[[光子]]、[[電子]]のトンネル時間についてのより新しい実験データは{{仮リンク|ギュンター・ニムツ|en|Günter Nimtz}}により発表されている<ref>{{Cite journal|last=Nimtz|first=G.|year=2011|title=Tunneling Confronts Special Relativity|journal=[[Foundations of Physics|Found. Phys.]]|volume=41|issue=7|pages=1193–1199|arxiv=1003.3944|bibcode=2011FoPh...41.1193N|doi=10.1007/s10701-011-9539-2}}</ref>。

== 量子トンネルの数学的表現 ==
以下の節では量子トンネルの数学的公式化について論じる。

=== シュレーディンガー方程式 ===
一粒子・一[[次元 (数学)|次元]]の[[シュレーディンガー方程式|時間非依存シュレーディンガー方程式]]は以下のように書ける。
: <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)</math>
: <math>\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x) \equiv \frac{2m}{\hbar^2} M(x) \Psi(x) ,</math>
ここで <math>\hbar </math> は[[ディラック定数]]、{{Mvar|m}} は粒子[[質量]]、{{Mvar|x}} は粒子の動く方向に沿って測った位置、{{Math|Ψ}} はシュレーディンガーの波動関数、{{Mvar|V}} は粒子は[[位置エネルギー|ポテンシャルエネルギー]]、{{Mvar|E}} は {{Mvar|x}} 方向に運動する粒子のエネルギー、{{Math|''M''(''x'')}} は広く受け入れられている物理学的な名前はないが {{Math|''V''(''x'') &minus; ''E''}} により定義される量である。

このシュレーディンガー方程式の解は {{Math|''M''(''x'')}} が正か負かによって異る形式をとる。{{Math|''M''(''x'')}} が定数で負のとき、シュレーディンガー方程式は次のように書ける。
: <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} M(x) \Psi(x) = -k^2 \Psi(x),\;\;\;\;\;\; \mathrm{where} \;\;\; k^2=- \frac{2m}{\hbar^2} M. </math>
この方程式の解は位相定数が +''k'' または -''k'' の進行波を表わす。一方、M(x) が定数で正のとき、シュレーディンガー方程式は次のように書ける。
: <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} M(x) \Psi(x) = {\kappa}^2 \Psi(x), \;\;\;\;\;\; \mathrm{where} \;\;\; {\kappa}^2= \frac{2m}{\hbar^2} M. </math>
この方程式の解は[[エバネッセント場|エバネッセント波]]を表わす。{{Math|''M''(''x'')}} が位置によって変化する場合も、{{Math|''M''(''x'')}} が負か正かによって同じ挙動の違いが生じる。したがって、{{Math|''M''(''x'')}} の符号が媒質の性質を表わしている。{{Math|''M''(''x'')}} が負ならば上で説明した媒質Aに相当し、正ならば媒質Bに相当する。したがって、{{Math|''M''(''x'')}} が正の領域が {{Math|''M''(''x'')}} が負の領域に挟まれている場合に障壁が形成され、エバネッセント波結合が生じうる。

{{Math|''M''(''x'')}} が {{Mvar|x}} によって変化する場合は数学的取扱が困難であるが、通常は実際の物理系に対応しない例外的な特殊例もいくつかある。教科書に載っているような半古典近似法に関連した議論は次節で述べる。完全で複雑な数学的取扱に関しては、{{Harvnb|Fröman|Fröman|1965|p=|pp=}}を参照されたい。彼らの手法は教科書には載っていないが、定量的には小さな影響しかない補正である。

=== WKB近似 ===
波動関数を以下のようにある関数の指数関数を取って表わすものとする。
: <math>\Psi(x) = e^{\Phi(x)}</math><math>\Phi''(x) + \Phi'(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right).</math>
<math>\Phi'(x)</math> は実部と虚部に分けることができる。
: <math>\Phi'(x) = A(x) + i B(x)</math> ここで、A(x) および B(x) は実値関数とする。
上の第二式にこれを代入し、左辺の虚部が零となる必要があることを用いると、次を得る。
: <math>A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)</math>.
この方程式を半古典近似を用いて解くには、各関数を <math>\hbar</math> の[[冪級数|羃級数]]に展開する。この方程式の実部を満たすためには、羃級数が少なくとも <math>\hbar^{-1}</math> から始まる必要があることがわかる。古典極限の振舞いを良くするためには[[プランク定数]]の次数はなるべく高い方がよいので、次のように置くこととする。
: <math>A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{k=0}^\infty \hbar^k A_k(x)</math>
: <math>B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{k=0}^\infty \hbar^k B_k(x)</math>
また、最低次の項については次のような拘束が課せられる。
: <math>A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)</math>
: <math>A_0(x) B_0(x) = 0</math>
ここで、二つの極端な場合について考察する。

;Case 1
:振幅の変化が位相に比べて遅い場合、<math>A_0(x) = 0</math> および
:: <math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }</math>
: は古典的運動に相当する。次の次数までの項を解くと、次を得る。
:: <math>\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}</math>
;Case 2
: 位相の変化が振幅に比べて遅い場合、<math>B_0(x) = 0</math> および
:: <math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }</math>
: はトンネリングに相当する。次の次数までの項を解くと、次を得る。
:: <math>\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}</math>
どちらの場合でも、近似解の分子を見れば古典的折り返し点 <math>E = V(x)</math> 付近で破綻することが瞭然だろう。このポテンシャルの丘から遠いところでは、粒子は自由に振動する波と類似の振る舞いを示す。ポテンシャルの丘のふもとでは、粒子の振幅は指数関数的に変化する。これらの極限における振る舞いと折り返し点を考慮すると、大域解を得ることができる。

はじめに、古典的折り返し点を {{Math|''x''<sub>1</sub>}} とし、<math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)</math> を {{Math|''x''<sub>1</sub>}} 周りの羃級数で展開する。
: <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = v_1 (x - x_1) + v_2 (x - x_1)^2 + \cdots</math>
この初項のみを採れば線形性が保証される。
: <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = v_1 (x - x_1)</math>
この近似を用いると、{{Math|''x''<sub>1</sub>}} 近傍について次の[[微分方程式]]を得る。
: <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} \Psi(x) = v_1 (x - x_1) \Psi(x)</math>
これは[[エアリー関数]]を用いて解くことができる。
: <math>\Psi(x) = C_A Ai\left( \sqrt[3]{v_1} (x - x_1) \right) + C_B Bi\left( \sqrt[3]{v_1} (x - x_1) \right)</math>
この解を全ての古典的折り返し点について用いることで、上の極端な場合の解を繋ぐ大域解を得ることができる。古典的折り返し点の片側で2つの係数が与えられれば、逆側の2つの係数はこの局所解を用いてそれらを繋ぐことで決定することができる。

したがって、エアリー関数解は適切な極限の元で {{Math|sin, cos}} 関数と指数関数に漸近する。<math>C,\theta</math>, <math>C_{+},C_{-}</math> の関係式は次のように得られる。
: <math>C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>

: <math>C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>
これらの係数が決まれば、大域解が得られる。したがって、一つのポテンシャル障壁をトンネリングする粒子の{{仮リンク|透過係数|en|Transmission coefficient (physics)}}は以下のように得られる。
: <math>T(E) = e^{-2\int_{x_1}^{x_2} \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left[ V(x) - E \right]}}</math>
ここで、{{Math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>}} はポテンシャル障壁にある二つの古典的折り返し点である。

矩形障壁の場合は、この式は次のように簡単化できる。
: <math>T(E) = e^{-2\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)}(x_2-x_1)} = \tilde V_0^{-(x_2-x_1)}</math>

== 出典 ==
{{Reflist|30em}}

== 関連文献 ==
* {{Cite book|ref=harv|last=Fröman|first=N.|title=JWKB Approximation: Contributions to the Theory|date=|year=1965|publisher=North-Holland|location=Amsterdam|last2=Fröman|first2=P.-O.}}
* {{Cite book|author=Razavy, Mohsen|title=Quantum Theory of Tunneling|year=2003|publisher=World Scientific|ISBN=981-238-019-1}}
* {{Cite book|author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics|edition=2nd|year=2004|publisher=Prentice Hall|ISBN=0-13-805326-X}}
* {{Cite book|author=[[James Binney]] and Skinner, D.|title=The Physics of Quantum Mechanics: An Introduction|edition=3rd|year=2010|publisher=Cappella Archive|ISBN=1-902918-51-7}}
* {{Cite book|author=[[Liboff, Richard L.]]|title=Introductory Quantum Mechanics|year=2002|publisher=Addison-Wesley|ISBN=0-8053-8714-5}}
* {{Cite journal|last=Vilenkin|first=Alexander|year=2003|title=Particle creation in a tunneling universe|journal=[[Physical Review D]]|volume=68|issue=2|pages=023520|arxiv=gr-qc/0210034|bibcode=2003PhRvD..68b3520H|doi=10.1103/PhysRevD.68.023520}}
* {{Cite book|author=H.J.W. Müller-Kirsten|title=Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2nd ed.|year=2012|publisher=World Scientific|location=Singapore}}

== 関連項目 ==
{{columns-list|colwidth=30em|
* [[無声放電]]
* [[電界放出]]
* [[放射性崩壊]]
* [[ジョセフソン効果]]
* [[ダイオード]]
* [[トンネルダイオード]]
* {{仮リンク|プロトントンネリング|en|Proton tunneling}}
* {{仮リンク|超伝導トンネル接合|en|Superconducting tunnel junction}}
* {{仮リンク|トンネル接合|en|Tunnel junction|redirect=1}}
* {{仮リンク|量子クローニング|en|Quantum cloning}}
* {{仮リンク|ホルスタイン・ヘリング法|en|Holstein–Herring method}}
* [[巨視的トンネル効果]]
* [[ガイガー・ヌッタルの法則]]
* [[江崎玲於奈]] - 固体でのトンネル効果発見の功績により[[ノーベル物理学賞]]受賞
* [[アイヴァー・ジェーバー]] - [[超伝導体]]の間のトンネル効果発見の功績によりノーベル物理学賞受賞
}}

== 外部リンク ==
* [http://www.toutestquantique.fr/#tunnel Animation, applications and research linked to tunnel effect and other quantum phenomena] (Université Paris Sud)
* [https://molecularmodelingbasics.blogspot.com/2009/09/tunneling-and-stm.html Animated illustration of quantum tunnelling]
* [http://nanohub.org/resources/8799 Animated illustration of quantum tunnelling in a RTD device]
* {{Kotobank}}

{{量子力学}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:とんねるこうか}}
[[Category:素粒子物理学]]
[[Category:物理化学の現象]]
[[Category:量子力学]]