トーラス上の線型フローのソースを表示

[[数学]]の、特に{{仮リンク|力学系理論|en|dynamical systems theory}}として知られる[[解析学]]の分野において、''n''-次元[[トーラス]]

:<math>\mathbb{T}^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_n</math>

上の'''線型フロー'''（せんけいフロー、{{Lang-en-short|linear flow}}）とは、標準的な角度座標 (θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>, ..., θ<sub>''n''</sub>) に関する次の微分方程式によって表現される[[フロー (数学)|フロー]]のことを言う： 

:<math>\frac{d\theta_1}{dt}=\omega_1, \quad \frac{d\theta_2}{dt}=\omega_2,\quad \cdots, \quad \frac{d\theta_n}{dt}=\omega_n.</math>

この方程式の解は次の様に陽的に表現される：

:<math>\Phi_\omega^t(\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n)=(\theta_1+\omega_1 t, \theta_2+\omega_2 t, \dots, \theta_n+\omega_n t) \mod 2\pi.</math>

トーラスを '''R'''<sup>''n''</sup>/'''Z'''<sup>''n''</sup> と表すなら、始点はフローによって ω=(ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, ..., ω<sub>''n''</sub>) の方向に一定速度で移動されることが分かる。またそのフローがユニタリ ''n''-立方体の境界に到達した場合は、その反対側の面に移動される。

トーラス上の線型フローに対して、すべての軌道は[[周期点|周期的]]であるか、''n''-次元トーラスの部分集合で ''k''-次元トーラスであるようなものの上で[[稠密集合|稠密]]である。ω の成分が[[有理依存性|有理独立]]であるなら、すべての軌道は全空間で稠密である。これは二次元の場合には簡単に分かる：すなわち、ω の二つの成分が有理独立であるなら、単位正方形の辺上でのフローの[[ポアンカレ写像|ポアンカレ切断面]]は、円上の[[無理回転]]であり、したがってその軌道は円上で稠密で、結果としてトーラス上で稠密となる。

== 関連項目 ==
* [[可積分系]]
* [[エルゴード理論]]
* {{仮リンク|準周期運動|en|Quasiperiodic motion}}

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Anatole Katok and Boris Hasselblatt | title= Introduction to the modern theory of dynamical systems | publisher= Cambridge | year= 1996 | isbn=0-521-57557-5}}

{{DEFAULTSORT:とおらすしようのせんけいふろう}}
[[Category:力学系]]
[[Category:エルゴード理論]]
[[Category:数学に関する記事]]

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