ドロー＝ファルニー円のソースを表示

[[ファイル:1st Droz Farny Circle.png|サムネイル|308x308ピクセル|第一ドロー＝ファルニー円]]
[[初等幾何学]]における'''ドロー＝ファルニー円'''（ドロー＝ファルニーえん、{{Lang-en-short|Droz-Farny circle}}）は、[[三角形]]に対して定義される[[円 (数学)|円]]の一つである。[[ヤコブ・シュタイナー|シュタイナー]]によって提起され、1901年に[[アーノルド・ドロー＝ファルニー]]に解決された。
== 定義 ==
{{Math|△''ABC''}}の[[中点三角形]]を{{Math|△''M{{sub|A}}M{{sub|B}}M{{sub|C}}''}}、[[垂心]]を{{Mvar|H}}とする。{{Mvar|H}}を中心とする円と{{Math|△''M{{sub|A}}M{{sub|B}}M{{sub|C}}''}}のそれぞれの辺の交点と対応する基準三角形の頂点との距離{{Mvar|d}}はすべて等しい。この円をドロー＝ファルニー円（Droz-Farny circles）という<ref>{{Cite book |title=Modern Geometry |publisher=Houghton, Mifflin company |year=1929 |pages=256-258 |last=Johnson |first=Roger Arthur |author-link=ロジャー・アーサー・ジョンソン |editor=[[ジョン・ウェスリー・ヤング|John Wesley Young]]|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89043163211}}</ref>。

{{Mvar|d}}が[[外接円]]半径{{Mvar|R}}に一致するとき、特に'''第一ドロー＝ファルニー円'''（First Droz-Farny circle）という<ref>{{Cite book |title=Complements to Classic Topics of Circles Geometry |url=https://books.google.co.jp/books?id=PrIvDwAAQBAJ |publisher=Infinite Study |isbn=978-1-59973-465-1 |language=en |first=Ion |last=Patrascu |first2=Florentin |last2=Smarandache |pages=55-62 |author2-link=フローレンティン・スマランダチェ}}</ref>。
== 性質 ==
基準三角形{{Math|△''ABC''}}の[[外心]]を{{Mvar|O}}、[[垂足三角形|垂心三角形]]を{{Math|△''H{{sub|A}}H{{sub|B}}H{{sub|C}}''}}とする。それぞれ{{Mvar|H{{sub|A}}, H{{sub|B}}, H{{sub|C}}}}を中心とし{{Mvar|O}}を通る円と{{Mvar|BC, CA, AB}}の交点は第一ドローファルニー円上にある。
== 半径 ==
第一ドロー＝ファルニー円の半径は次の式で表される。

<math>\sqrt{\frac{{OH}^2+R^2}{2}} </math>
== 一般化 ==
第一ドローファルニー円は[[垂心]]と[[外心]]の関係の一つである[[等角共役]]を元に一般化できる<ref>{{Cite book|title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry |publisher=MAA |year=1995 |pages=69-72 |last=Honsberger |first=Ross |author-link=ロス・ホンスバーガー |url=https://archive.org/details/episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/68/mode/2up}}</ref>。

基準三角形{{Math|△''ABC''}}について、等角共役な点{{Mvar|P, Q}}を用意する。{{Mvar|P}}の[[垂足三角形]]を{{Math|△''P{{sub|A}}P{{sub|B}}P{{sub|C}}''}}とする。それぞれ{{Mvar|P{{sub|A}}, P{{sub|B}}, P{{sub|C}}}}を中心とし、{{Mvar|Q}}を通る円と{{Mvar|BC, CA, AB}}の交点は[[同一円周上にある]]。中心は{{Mvar|P}}である。

この円を{{Mvar|Q}}に対して同様に作ったとき{{Mvar|P, Q}}に対する一般化された円の半径は等しくなる。{{Math|1= ''Q'' = ''O''}}としたときにできる円を'''第二ドロー＝ファルニー円'''（Second Droz-Farny circle）という。

次の定理は[[ダオ・タイン・オアイ]]による一般化である<ref>{{Cite journal|journal=[[International Journal of Computer Discovered Mathematics]] (IJCDM)|date=|title=Generalizations of some famous classical  Euclidean geometry theorems|volume=1|issue=3|pages=13-20|last=Dao|first=Thanh Oai|url=https://journal-1.eu/2016-3/Dao-Thanh-Oai-Generalizations-pp.12-20.pdf|issn=2367-7775}}</ref>。
:直線{{Mvar|OA, OB, OC}}上に{{Math|1=''OO{{sub|A}}'' = ''OO{{sub|B}}'' = ''OO{{sub|C}}''}}を満たすように点{{Mvar|O{{sub|A}}, O{{sub|B}}, O{{sub|C}}}}を取る。この3点を中心とする同一半径の円と対応する中点三角形の辺の延べ6交点は[[共円]]である。

== 円内接四角形における類似物 ==
[[円内接四角形|円に内接]]し、[[直交対角線四角形|対角線が直交する]][[四角形]]の外心を{{Mvar|O}}、[[円に内接する四角形#反中心・共線性|反中心]]を{{mvar|H}}とする。{{mvar|H}}のそれぞれの辺における[[直交射影]]を中心とする{{Mvar|O}}を通る円と辺の交点延べ8点は共円である<ref>{{Cite journal|journal=[[Forum Geometricorum]]|year=2011|title=The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral|volume=11|pages=109–119|last=Mammana|first=Maria Flavia|last2=Micale|first2=Biagio|last3=Pennisi|first3=Mario|url=https://www.researchgate.net/profile/Mario-Pennisi/publication/265236087_The_Droz-Farny_Circles_of_a_Convex_Quadrilateral/links/572a535308aef7c7e2c4f7c6/The-Droz-Farny-Circles-of-a-Convex-Quadrilateral.pdf}}</ref><ref>{{Cite journal|journal=[[Journal for Geometry and Graphics]]|year=2013|title=Some Concyclicity Properties  of Convex Quadrilaterals|volume=27|pages=7-19|last=Mammana|first=Maria Flavia|last2=Ferrarello|first2=Daniela|last3=Pennisi|first3=Mario|url=https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg17/j17h1ferr.pdf}}</ref>。{{mvar|O, H}}を入れ替えても主張は成立する。

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
* {{Cite journal|journal=[[Mathesis (雑誌)|Mathesis]]|year=1901|title=Notes sur un théorème de Steiner|volume=21|pages=22-34|last=Droz-Farny|first=Arnold}}
* {{Cite journal|journal=[[Scripta Mathematica]]|year=1950|title=Droz-Farny's Theorem|volume=16|pages=268-271|last=Goormaghtigh|first=Rene|author-link=ルネ・ゴールマハティヒ}}
== 関連項目 ==
* [[ドロー＝ファルニー線定理|ドロー＝ファルニー線]]
== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Droz-Farny Circles|id=Droz-FarnyCircles}}
* {{MathWorld|title=First Droz-Farny Circle|id=FirstDroz-FarnyCircle}}
* {{MathWorld|title=Second Droz-Farny Circle|id=SecondDroz-FarnyCircle}}

{{デフォルトソート:とろおふあるにいえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]