ド・ドンデ-ワイル理論のソースを表示

'''ド・ドンデ-ワイル理論'''（{{lang-en|De Donder–Weyl theory}}）は[[数理物理学]]の分野で用いられる[[変分法]]および[[場の古典論]]における[[ハミルトン力学|ハミルトン形式]]を、[[時空]]の時間および空間を等しい立場で扱うよう一般化した方法である。この枠組みでは、力学におけるハミルトニアン形式は一般化され、[[場]]が空間と時間の両方で変化する系として表される場の理論となる。場の理論における標準的なハミルトン形式はこの一般化の方法とは異なり、空間と時間を異なる方法で扱い、古典場を時間とともに変化する無限次元の系として記述している。

== 場の理論のド・ドンデ-ワイル理論による定式化 ==
ド・ドンデ-ワイル理論は、[[ルジャンドル変換]]と呼ばれる変数変換に基づいている。{{math|1=''x''{{sup|''i''}} (''i'' = 1, ..., ''n'')}} を時空座標（通常は空間3次元+時間1次元で {{math|1=''n'' = 4}} である）、{{math|1=''y''{{sup|''a''}} (''a'' = 1, ..., ''m'')}} を場の変数、{{math|''L''}} をラグランジアン密度
:<math> L=L(y^{a},\partial _{i}y^{a},x^{i})</math>
とする。次で定義されるpolymomenta {{math|''p{{su|b=a|p=i}}''}}
:<math> p_{a}^{i}:=\frac{\partial L}{\partial (\partial _{i}y^{a})}</math>
およびド・ドンデ-ワイル ハミルトニアン関数 {{math|''H''}}
:<math>H:=p_{a}^{i}\,\partial _{i}y^{a}-L</math>
を用いると、ド・ドンデ-ワイル方程式は以下のように表される：<ref>Hanno Rund,
"Hamilton-Jacobi Theory in the Calculus of Variations: Its Role in Mathematics and Physics", Van Nostrand, Reinhold, 1966.</ref>
:<math>\frac{\partial p_{a}^{i}}{\partial x^{i}} = -\frac{\partial H}{\partial y^{a}},\quad \frac{\partial y^{a}}{\partial x^{i}} = \frac{\partial H}{\partial p_{a}^{i}}.</math>
ド・ドンデ-ワイル ハミルトン形式による場の方程式は[[共変]]であり、{{math|''p{{su|b=a|p=i}}'' , ''H''}} へのルジャンドル変換が特異でないならば[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]と同等である。 この理論は、カノニカルな[[ハミルトン力学|ハミルトン形式]]とは異なる{{仮リンク|共変ハミルトン場理論|en|covariant Hamiltonian field theory}}の定式化であり、{{math|1=''n'' = 1}} の場合ハミルトン力学に帰着される（[[変分法]]の作用原理も参照）。

ヘルマン・ワイル<ref>Hermann Weyl, "Geodesic Fields in the Calculus of Variation for Multiple Integrals", Ann. Math. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645</ref>が1935年にド・ドンデ-ワイル形式の[[ハミルトン–ヤコビ方程式|ハミルトン–ヤコビ理論]]を開発している。

力学の[[ハミルトン力学|ハミルトン形式]]が[[位相空間]]の[[シンプレクティック幾何学]]を用いて定式化されているのと同様に、ド・ドンデ-ワイル理論はマルチシンプレクティック幾何学またはポリシンプレクティック幾何学と{{仮リンク|ジェット束|en|jet bundle}}の幾何学を使用して定式化できる。

[[ポアソン括弧]]のド・ドンデ-ワイル理論への一般化と、{{仮リンク|Gerstenhaber代数|en|Gerstenhaber algebra}}を満たす一般化されたポアソン括弧に関するド・ドンデ-ワイル方程式の表現は、1993年にKanatchikov<ref>Igor V. Kanatchikov: [https://arxiv.org/abs/hep-th/9312162 ''On the Canonical Structure of the De Donder–Weyl Covariant Hamiltonian Formulation of Field Theory I. Graded Poisson brackets and equations of motion''], arXiv:hep-th/9312162 (submitted on 20 Dec 1993).</ref>によって見出された。

== 歴史 ==
現在ド・ドンデ-ワイル理論として知られている形式は[[テオフィル・ド・ドンデ]]<ref>Théophile De Donder, "Théorie invariantive du calcul des variations," Gauthier-Villars, 1930. [https://books.google.com/books?id=3kI7AQAAIAAJ&dq=editions:LCCN39009801]</ref><ref>Frédéric Hélein: ''Hamiltonian formalisms for multidimensional calculus of variations and perturbation theory''
 In Haïm Brézis, Felix E. Browder, Abbas Bahri, Sergiu Klainerman, Michael Vogelius (ads.): ''Noncompact problems at the intersection of geometry, analysis, and topology'', American Mathematical Society, 2004, pp.&nbsp;127–148, [https://books.google.com/books?id=eL0_cDTqloEC&pg=PA131 p. 131], {{ISBN2|0-8218-3635-8}}</ref>と[[ヘルマン・ワイル]]によって開発された。 ヘルマン・ワイルは1934年に[[コンスタンティン・カラテオドリ]]の業績に触発されて提案を行った。そのカラテオドリは、[[ヴィト・ヴォルテラ]]の業績に基づいて設立された。 一方、ド・ドンデの研究は[[エリ・カルタン]]<ref>Roger Bielawski, [[Kevin Houston (mathematician)|Kevin Houston]], Martin Speight: ''Variational Problems in Differential Geometry'', London Mathematical Society Lecture Notes Series, no.&nbsp;394, University of Leeds, 2009, {{ISBN2|978-0-521-28274-1}}, [https://books.google.com/books?id=v4F7Ud8RYZoC&pg=PA104 p. 104 f.]</ref>の{{仮リンク|積分不変量|en|Invariant theory}}の理論から始まった。ド・ドンデ-ワイル理論は、1930年代からの変分法の一部であり、当初は物理学での応用はほとんど見られなかったが、近年[[場の量子論]]<ref>Igor V. Kanatchikov: [https://arxiv.org/abs/hep-th/9810165 ''De Donder–Weyl theory and a hypercomplex extension of quantum mechanics to field theory''], arXiv:hep-th/9810165 (submitted on 21 October 1998)</ref>や[[量子重力]]<ref> Igor V. Kanatchikov: [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0012074 ''Precanonical Quantum Gravity: quantization without the space-time decomposition''], arXiv:gr-qc/0012074 (submitted on 20 December 2000)</ref>といった理論物理学の分野に応用されている。

1970年、『幾何学的量子化と量子力学』の著者であるJedrzej Śniatyckiは、ド・ドンデとワイルの研究に基づいてジェット束の不変な幾何学的定式化を開発した<ref>Jedrzej Śniatycki, 1970. Cited after: [[Yvette Kosmann-Schwarzbach]]: ''The Noether Theorems: Invariance and Conservation Laws in the 20th Century'', Springer, 2011, {{ISBN2|978-0-387-87867-6}}, [https://books.google.com/books?id=e8F38Pu0YgEC&pg=PA111 p. 111]</ref>。1999年、Igor Kanatchikov<ref>Igor V. Kanatchikov: [https://arxiv.org/abs/hep-th/9911175 ''On the Duffin–Kemmer–Petiau formulation of the covariant Hamiltonian dynamics in field theory''], arXiv:hep-th/9911175 (submitted on 23 November 1999)</ref>はド・ドンデ-ワイル共変ハミルトン場の方程式を[[:en:Duffin–Kemmer–Petiau algebra|Duffin-Kemmer-Petiau行列]]で定式化できることを示した。

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:ととんてわいるりろん}}
[[Category:変分法]]
[[Category:数理物理学]]
[[Category:ハミルトン力学]]
[[Category:物理学のエポニム]]