ド・ブランジュの定理のソースを表示

{{要改訳}}
[[複素解析]]では、'''ド・ブランジュの定理'''(de Branges's theorem)、あるいは'''ビーベルバッハの予想'''(Bieberbach conjecture)と呼ばれる定理は、[[単位円#単位円板|単位開円板]]から[[複素平面]]への[[単射]]的な写像を与えるための、[[正則函数]]の[[必要条件]]を与える定理である。これは[[ルートヴィヒ・ビーベルバッハ]]（ {{harvs|txt|first=Ludwig |last=Bieberbach|authorlink=Ludwig Bieberbach|year=1916}}） により予想され、最終的には[[ルイ・ド・ブランジュ]]({{harvs|txt|authorlink=Louis de Branges de Bourcia|first=Louis |last=de Branges|year=1985}})により証明された。
<!---{{lowercase title}}--->
<!---In [[complex analysis]], '''de Branges's theorem''', or the '''Bieberbach conjecture''', is a theorem that gives a [[necessary condition]] on a [[holomorphic function]] in order for it to map the [[unit disc|open unit disk]] of the [[complex plane]] [[injective]]ly to the complex plane. It was posed by {{harvs|txt|first=Ludwig |last=Bieberbach|authorlink=Ludwig Bieberbach|year=1916}} and finally proven by {{harvs|txt|authorlink=Louis de Branges de Bourcia|first=Louis |last=de Branges|year=1985}}.-->

この定理は、「函数の[[テイラー展開|テイラー係数]] a<sub>n</sub> に関しては、いつでも a<sub>0</sub> = 0 で a<sub>1</sub> = 1 として正規化する」ことができることをいっている。開円板上に定義された次の形のテイラー級数を持つ[[正則函数]]で単射的（'''[[単葉函数|単葉的]]'''）である函数を考えよう。
:<math>f(z)=z+\sum_{n\geq 2} a_n z^n.</math>
このような函数を'''単葉函数'''(schlicht function)という。この定理は、全ての <math>n\geq 2</math> に対して、
:<math>\left| a_n \right| \leq n</math>
となることを言っている。等号が成り立つ場合は、ケーベ極値函数(Koebe's extremal function)の場合に限る。
<!---The statement concerns the [[Taylor series|Taylor coefficient]]s ''a<sub>n</sub>'' of such a function, normalized as is always possible so that ''a''<sub>0</sub> = 0 and ''a''<sub>1</sub> = 1. That is, we consider a function defined on the open unit disk which is [[holomorphic function|holomorphic]]  and injective (''[[Univalent function|univalent]]'') with Taylor series of the form

:<math>f(z)=z+\sum_{n\geq 2} a_n z^n  : </math>

such functions are called ''schlicht''.  The theorem then states that

:<math>\left| a_n \right| \leq n \quad \text{for all }n\geq 2.\,</math>-->

==単葉函数==
{{main|単葉函数}}
正規化
:a<sub>0</sub> = 0 であり、a<sub>1</sub> = 1
であるということは、
:f(0) = 0 であり f'(0) = 1
であることを意味する。これはいつでも、任意の開単位円板上に定義され、次式を満たす単射的函数 g から出発すると{{仮リンク|線型分数変換|en|linear fractional transformation}}(linear fractional transformation)により保証されている。
:<math>f(z)=\frac{g(z)-g(0)}{g'(0)}.</math>
そのような函数 g は、[[リーマンの写像定理]]に現れるので、今、注目している函数である。

'''単葉函数'''(schlicht function)は、1 対 1 に対応し、f(0) = 0 と f'(0) = 1 を満たす解析函数 f として定義される。単葉函数の族は、
:<math>f_\alpha(z)=\frac{z}{(1-\alpha z)^2}=\sum_{n=1}^\infty n\alpha^{n-1} z^n</math>
であり、α が[[絶対値]]が 1 の複素数であるような{{仮リンク|ケーベの定理#ケーベ函数|label=回転ケーベ函数|en|rotated Koebe function}}(rotated Koebe function)である。f が単葉函数で、n ≥ 2 に対して、|a<sub>n</sub>| = n であれば、f はケーベ函数という。

ド・ブランジュの定理の条件は、函数の単葉性を示すだけ、すなわち、函数
:<math>f(z)=z+z^2 = (z+1/2)^2 - 1/4\;</math>
を示すことだけでは不十分である。単位円板上で正則で、全ての n に対して、|a<sub>n</sub>| ≤ n を示せても、f(&minus;1/2&nbsp;+&nbsp;z) = f(&minus;1/2&nbsp;&minus;&nbsp;z) であるので、単射的ではない。
<!---==Schlicht functions==

The normalizations

:''a''<sub>0</sub> = 0 and ''a''<sub>1</sub> = 1

mean that

:''f''(0) = 0 and ''f'' '(0) = 1;

this can always be assured by a [[linear fractional transformation]]: starting with an arbitrary injective holomorphic function ''g'' defined on the open unit disk and setting

:<math>f(z)=\frac{g(z)-g(0)}{g'(0)}.\,</math>

Such functions ''g'' are of  interest because they appear in the  [[Riemann mapping theorem]].

A '''schlicht function''' is defined as an analytic function ''f'' that is one-to-one and satisfies ''f''(0) = 0 and ''f'' '(0) = 1.  A  family of schlicht functions are the [[rotated Koebe function]]s

:<math>f_\alpha(z)=\frac{z}{(1-\alpha z)^2}=\sum_{n=1}^\infty n\alpha^{n-1} z^n</math>

with α a complex number of [[absolute value]] 1. If ''f'' is a schlicht function and |''a''<sub>''n''</sub>| = ''n'' for some ''n'' ≥ 2, then ''f'' is a rotated Koebe function.

The condition of de Branges' theorem is not sufficient to show the function is schlicht, as the function
:<math>f(z)=z+z^2 = (z+1/2)^2 - 1/4\;</math>
shows: it is holomorphic on the unit disc and satisfies |''a''<sub>''n''</sub>|≤''n'' for all ''n'', but it is not injective since ''f''(&minus;1/2&nbsp;+&nbsp;''z'') = ''f''(&minus;1/2&nbsp;&minus;&nbsp;''z'').-->

== 歴史 ==
過去にはKoepfによって[http://kobra.bibliothek.uni-kassel.de/bitstream/urn:nbn:de:hebis:34-200604038936/1/prep0513.pdf Koepf (2007)] というサーベイが書かれている。

{{harvtxt|Bieberbach|1916}} は、|a<sub>2</sub>| ≤ 2 を証明し、|a<sub>n</sub>| ≤ n となるであろうことを予想をした。{{harvtxt|Loewner|1917}} と {{harvtxt|Nevanlinna|1921}} は独立に{{仮リンク|星型函数|en|Nevanlinna's criterion#Application to Bieberbach conjecture}}(starlike functionsin)の評価基準に関する予想を証明した。その後、{{仮リンク|チャールズ・レヴナー|en|Charles Loewner}}(Charles Loewner)は、({{harvtxt|Loewner|1923}}) で |a<sub>3</sub>| ≤ 3 を[[レヴナー微分方程式|レヴナー方程式]]を使い証明した。彼の仕事は、最も新しい研究にも使われており、[[シュラム・レヴナー発展|シュラム・レヴナー発展方程式]]にも適用される。

{{harvtxt|Littlewood|1925|loc=theorem 20}} では、ビーベルバッハの予想(Bieberbach conjecture)が正しいければ、このことはファクタを無視する限りは、すべての n について |a<sub>n</sub>| ≤ en であることを証明し、このことはビーベルバッハの予想が e = 2.718... の何倍かということを除いては、成り立つことを示している。後日、何人かが e 以下の定数になることを導出している。
<!---==History ==
A survey of the history is given by [http://kobra.bibliothek.uni-kassel.de/bitstream/urn:nbn:de:hebis:34-200604038936/1/prep0513.pdf Koepf (2007)].

{{harvtxt|Bieberbach|1916}} proved |''a''<sub>2</sub>| ≤ 2, and stated the conjecture that |''a''<sub>''n''</sub>| ≤ ''n''. {{harvtxt|Loewner|1917}} and  {{harvtxt|Nevanlinna|1921}} independently proved the conjecture for [[Nevanlinna's criterion#Application to Bieberbach conjecture|starlike functions]].
Then [[Charles Loewner]] ({{harvtxt|Löwner|1923}}) proved |''a''<sub>3</sub>| ≤ 3, using the [[Löwner equation]]. His work was used by most later attempts, and is also applied in the theory of [[Schramm–Loewner evolution]].

{{harvtxt|Littlewood|1925|loc=theorem 20}} proved that |''a''<sub>''n''</sub>| ≤ ''en'' for all ''n'', showing that the Bieberbach conjecture is true up to a factor of ''e'' = 2.718... Several authors later reduced the constant in the inequality below ''e''.-->

f(z) = z + ... が単葉函数であれば、φ(z) = f(z<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup> は奇函数の単葉函数である。{{harvtxt|Littlewood|Paley|1932}} は、このテイラー係数が全ての k について b<sub>k</sub> ≤ 14 となることを示した。彼らは、14 を 1 に変えることができると、ビーベルバッハの予想の自然な一般化となることを予想した。このリトルウッドとパーレイの予想は、コーシー不等式を使うとビーベルバッハの予想を容易に導けるが、しかし、直ちに、{{harvtxt|Fekete|Szegö|1933}} により誤っていることが証明された。彼らは、奇函数である単葉函数で、 b<sub>5</sub> = 1/2 + exp(&minus;2/3) = 1.013... となり、これが b<sub>5</sub> の可能な限り最大値を与えることを示した。（後年、{{仮リンク|イサク・モイセエビッチ・ミリン|label=ミリン|en|Isaak Moiseevich Milin}}(Isaak Moiseevich Milin)は 14 は 1.14. と取り替えることができることを示し、また、ハイマン(Hayman)は φ がケーベ函数ではない場合に数値 b<sub>k</sub> が 1 より小さい極限値を取ることを示した。従って、リトルウッドとパーレイの予想は、任意の函数の有限個の係数を除きと正しいこととなる。）リトルウッドとパーレイの弱い形の予想は、{{harvtxt|Robertson|1936}} を参照。
<!---If ''f''(''z'') = ''z'' + ...  is a schlicht function then φ(''z'') = ''f''(''z''<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup> is an odd schlicht function.
{{harvs|txt|authorlink=Raymond Paley|last=Paley|author2-link=John Edensor Littlewood|last2=Littlewood|year=1932}} showed that its Taylor coefficients  satisfy ''b''<sub>''k''</sub> ≤ 14 for all ''k''. They conjectured that 14 can be replaced by 1 as a natural generalization of the Bieberbach conjecture. The Littlewood–Paley conjecture easily implies the Bieberbach conjecture using the Cauchy inequality, but it was soon disproved by {{harvtxt|Fekete|Szegö|1933}}, who showed there is an odd schlicht function with ''b''<sub>5</sub> = 1/2 + exp(&minus;2/3) = 1.013..., and that this is the maximum possible value of ''b''<sub>5</sub>. ([[Isaak Moiseevich Milin|Milin]] later showed that 14 can be replaced by 1.14., and Hayman showed that the numbers ''b''<sub>''k''</sub> have a limit less than 1 if φ is not a Koebe function, so Littlewood and Paley's conjecture is true for all but a finite number of coefficients of any function.) A weaker form of Littlewood and Paley's conjecture was found by {{harvtxt|Robertson|1936}}.-->

'''ロバートソンの予想'''(Robertson conjecture)は、もし
:<math>\phi(z) = b_1z+b_3z^3+b_5z^5+\cdots</math>
が、奇函数の単葉函数で単位円板上で b<sub>1</sub>=1 であれば、全ての正の正数 n に対し
:<math>\sum_{k=1}^n|b_{2k+1}|^2\le n</math>
が成り立つという予想である。

ロバートソンは、この彼の予想が未だにビーベルバッハの予想を意味する程は強くないことを示し、n = 3 の場合にこの予想を証明した。この予想は、係数自体というよりも係数の変化する二次函数の境界という重要なアイデアを導入した。この二次函数の境界は、単葉函数のあるヒルベルト空間の元のノルムの境界と同値である。

大きな n のある値にたいするビーベルバッハ予想の証明はいくつかあり、特に、{{harvtxt|Garabedian|Schiffer|1955}} は、|a<sub>4</sub>| ≤ 4 を証明し、{{harvtxt|Ozawa|1969}}と{{harvtxt|Pederson|1968}}は |a<sub>6</sub>| ≤ 6 を証明し、 {{harvtxt|Pederson|Schiffer|1972}}は、|a<sub>5</sub>| ≤ 5 を証明した。

{{harvtxt|Hayman|1955}}は、a<sub>n</sub>/n の極限が存在することを示し、f がケーベ函数であれば 1 より小さな値となることを示した。特に、任意の f に対して、ビーベルバッハ予想には多くとも有限個の例外しかないことを示した。
<!---The '''Robertson conjecture''' states that if

:<math>\phi(z) = b_1z+b_3z^3+b_5z^5+\cdots</math>

is an odd schlicht function in the unit disk with ''b''<sub>1</sub>=1 then for all positive integers ''n'',
:<math>\sum_{k=1}^n|b_{2k+1}|^2\le n.</math>

Robertson observed that his conjecture is still strong enough to imply the Bieberbach conjecture, and proved it for ''n'' = 3. This conjecture introduced the key idea of bounding various quadratic functions of the coefficients rather than the coefficients themselves, which is equivalent to bounding norms of elements in certain Hilbert spaces of schlicht functions.

There were several proofs of the Bieberbach conjecture for certain higher values of ''n'', in particular {{harvtxt|Garabedian|Schiffer|1955}} proved |''a''<sub>4</sub>| ≤ 4, {{harvtxt|Ozawa|1969}} and {{harvtxt|Pederson|1968}} proved |''a''<sub>6</sub>| ≤ 6, and {{harvtxt|Pederson|Schiffer|1972}} proved |''a''<sub>5</sub>| ≤ 5.

{{harvtxt|Hayman|1955}} proved that the limit of ''a''<sub>''n''</sub>/''n'' exists, and has absolute value less than 1 unless ''f'' is a Koebe function. In particular this showed that for any ''f'' there can be at most a finite number of exceptions to the Bieberbach conjecture.-->

'''ミリンの予想'''は、各々の単位円板上の単葉函数と任意の正の整数 n に対して、
:<math>\sum^n_{k=1} (n-k+1)(k|\gamma_k|^2-1/k)\le 0</math>
が成り立つことを言っている。ここにf の'''対数的係数'''(logarithmic coefficients) γ<sub>n</sub> は次に式で与えられる。
:<math>\log(f(z)/z)=2 \sum^\infty_{n=1}\gamma_nz^n.</math>

{{harvtxt|Milin|1977}} は、{{仮リンク|レベデフ・ミリンの不等式|en|Lebedev–Milin inequality}}(Lebedev–Milin inequality)を使い、ミリンの予想（後日、ド・ブランジュにより証明されることになる）がロバートソンの予想を含んでいることとなり、従ってビーベルバッハ予想を含むことになる。

最終的に {{harvtxt|de Branges|1985}} は、全ての n に対して|a<sub>n</sub>| ≤ n が成り立つことを証明した。
<!---The '''Milin conjecture''' states that for each simple function on the unit disk, and for all positive integers ''n'',
:<math>\sum^n_{k=1} (n-k+1)(k|\gamma_k|^2-1/k)\le 0</math>

where the '''logarithmic coefficients''' γ<sub>''n''</sub> of  ''f'' are given by

:<math>\log(f(z)/z)=2 \sum^\infty_{n=1}\gamma_nz^n.</math>
 
{{harvtxt|Milin|1977}} showed using the [[Lebedev–Milin inequality]] that the Milin conjecture (later proved by de Branges) implies the Robertson conjecture and therefore the Bieberbach conjecture.

Finally {{harvtxt|De Branges|1985}} proved |''a''<sub>''n''</sub>| ≤ ''n'' for all ''n''.-->

== ド・ブランジュの証明 ==
証明には[[整函数]]のあるタイプの[[ヒルベルト空間]]を使う。これらの空間の研究は、今日、複素解析の一分野へと成長していて、空間は[[ド・ブランジュ空間]](de Branges space)とか{{仮リンク|ド・ブランジュ函数|en|de Branges function}}(de Branges function)と呼ばれるようになっている。ド・ブランジュ(De Branges)は対数の係数の強いミリンの予想 {{harv|Milin|1971}} を証明した。ミリンの予想は、奇函数の単葉函数のロバートソンの予想 {{harv|Robertson|1936}} を含んでいることは既に知られており、<!--the Rogosinski conjecture {{harv|Rogosinski|1943}} about subordinate functions,-->従って単葉函数についてのビーベルバッハの予想 {{harv|Bieberbach|1916}} を含んでいることは既に知られていた。彼の証明は、{{仮リンク|ヤコビ多項式|en|Jacobi polynomial}}(Jacobi polynomial)に対する[[レヴナー微分方程式|レヴナー方程式]]と{{仮リンク|アスキー・ガスパーの不等式|en|Askey–Gasper inequality}}(Askey–Gasper inequality)とべき級数の{{仮リンク|レベデフ・ミリンの不等式|en|Lebedev–Milin inequality}}(Lebedev–Milin inequality)を使った。
<!---==De Branges's proof==
The proof uses a type of [[Hilbert space]]s of [[entire function]]s. The study of these spaces grew into a sub-field of complex analysis and the spaces come to be called [[de Branges space]]s and the functions [[de Branges function]]s. De Branges  proved the stronger  Milin conjecture {{harv|Milin|1971}} on logarithmic coefficients. This was already known to imply the Robertson conjecture {{harv|Robertson|1936}} about odd univalent functions, --><!--the Rogosinski conjecture {{harv|Rogosinski|1943}} about subordinate functions,--><!--- which in turn was known to imply  the Bieberbach conjecture about simple functions {{harv|Bieberbach|1916}}. His proof uses the [[Loewner equation]], the [[Askey–Gasper inequality]] about [[Jacobi polynomial]]s, and  the [[Lebedev–Milin inequality]] on exponentiated power series.-->

ド・ブランジュはこの予想をいくつかのヤコビ多項式の不等式へと還元し、最初の数項を手で評価した。ワルター・ガウチ(Walter Gautschi)は計算機を使いこれらのド・ブランジュの（最初の30個の項といったことによりビーベルバッハの予想を証明することとなる）不等式をさらに評価して、同じような不等式を知っているかとリチャード・アスキーに聞いた。アスキーは {{harvtxt|Askey|Gasper|1976}} で8年前に必要な不等式を証明していることを指摘した。これがド・ブランジュに証明を完成させることとなった。最初のバージョンは非常に長く、小さなミスもあったのでこの証明について懐疑的な見方があったが、これらの誤りを{{仮リンク|ステクロフ研究所|en|St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics of Russian Academy of Sciences}}の”レニングラード幾何学的函数論セミナー”<ref>セミナーの正式名称は、"Leningrad seminar on Geometric Function Theory"であった。</ref>の人たちの助けを借りて修正した。ド・ブランジュが1984年にそこを訪問したときのことである。
<!---De Branges reduced the conjecture to some inequalities for Jacobi polynomials, and verified the first few by hand. Walter Gautschi verified more of these inequalities by computer for de Branges (proving the Bieberbach conjecture for the first 30 or so coefficients) and then asked Richard Askey if he knew of any similar inequalities. Askey pointed out that {{harvtxt|Askey|Gasper|1976}} had proved the necessary inequalities eight years before, which allowed de Branges to complete his proof. The first version was very long and had some minor mistakes which caused some skepticism about it, but these were corrected with the help of members of the [[St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics of Russian Academy of Sciences|Leningrad Department of Steklov Mathematical Institute]] when de Branges visited in 1984.-->

ド・ブランジュは次のような結果を証明した。この結果は、<math>\nu=0</math> はミリンの予想（従って、ビーベルバッハの予想）を含む。<math>\nu>-3/2</math>と σ<sub>''n''</sub> が、正の整数 n に対し極限を 0 とする実数であるとし、
:<math> \rho_n=\frac{\Gamma(2\nu+n+1)}{\Gamma(n+1)}(\sigma_n-\sigma_{n+1}) </math>
が非負で、非増加で、極限 0 を持つとする。そのときには、全てのリーマン写像函数 F(z) =&nbsp;z&nbsp;+&nbsp;... は単位円板上で単葉であり、
:<math>\frac{F(z)^\nu-z^\nu} {\nu}= \sum_{n=1}^{\infty} a_nz^{\nu+n}</math>
を満たし、
:<math>\sum_{n=1}^\infty(\nu+n)\sigma_n|a_n|^2</math>
の最大値は、ケーベ函数 z/(1&nbsp;&minus;&nbsp;z)<sup>2</sup> となる。
<!---De Branges proved the following result, which for ν&nbsp;=&nbsp;0 implies the Milin conjecture (and therefore the Bieberbach conjecture).
Suppose that ν&nbsp;&gt;&nbsp;&minus;3/2 and σ<sub>''n''</sub> are real numbers for positive integers ''n'' with limit 0 and such that
:<math> \rho_n=\frac{\Gamma(2\nu+n+1)}{\Gamma(n+1)}(\sigma_n-\sigma_{n+1}) </math>
is non-negative, non-increasing, and has limit 0. Then for all Riemann mapping functions ''F''(''z'') =&nbsp;''z''&nbsp;+&nbsp;... univalent in the unit disk with
:<math>\frac{F(z)^\nu-z^\nu} {\nu}= \sum_{n=1}^{\infty} a_nz^{\nu+n}</math>
the maximinum value of
:<math>\sum_{n=1}^\infty(\nu+n)\sigma_n|a_n|^2</math>
is achieved by the Koebe function ''z''/(1&nbsp;&minus;&nbsp;''z'')<sup>2</sup>.-->

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation | author1-link=リチャード・アスキー | last1=Askey | first1=Richard | last2=Gasper | first2=George | author2-link = ジョージ・ガスパー | title=Positive Jacobi polynomial sums. II | mr=0430358 | year=1976 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=98 | issue=3 | pages=709–737 | doi=10.2307/2373813 | publisher=American Journal of Mathematics, Vol. 98, No. 3 | jstor=2373813}}
* {{Citation | editor1-last=Baernstein | editor1-first=Albert | editor2-last=Drasin | editor2-first=David | editor3-last=Duren | editor3-first=Peter | editor4-last=Marden. | editor4-first=Albert | title=The Bieberbach conjecture | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-1521-2 | mr=875226 | year=1986 | volume=21 | pages=xvi+218}}
*{{citation|first=L. |last=Bieberbach|title=Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln|journal=  Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl.  |year=1916|pages=940–955}}
* {{Citation | last1=Conway | first1=John B. | author1-link=ジョン・B・コンウェイ | title=Functions of One Complex Variable II | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94460-9 | year=1995}}
*{{Citation | last1=de Branges | first1=Louis | author1-link=ルイ・ド・ブランジュ| title=A proof of the Bieberbach conjecture | doi=10.1007/BF02392821 | mr=772434 | year=1985 | journal=Acta Mathematica | volume=154 | issue=1 | pages=137–152}}
*{{Citation | last1=de Branges | first1=Louis |  author1-link=ルイ・ド・ブランジュ | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986) | publisher=The American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | mr=934213 | year=1987 | chapter=Underlying concepts in the proof of the Bieberbach conjecture | pages=25–42}}
*{{citation|mr=875226
|title=The Bieberbach conjecture
|series=Mathematical Surveys and Monographs
|volume=21
|work=Proceedings of the symposium on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture held at Purdue University, West Lafayette, Ind., March 11—14, 1985
|editor1-last=Drasin|editor1-first=David |editor2-last= Duren|editor2-first=Peter |editor3-last=Marden|editor3-first= Albert
|publisher=American Mathematical Society
|place=Providence, RI
|year=1986
|pages=xvi+218
|isbn= 0-8218-1521-0
}}
*{{citation|first=M.|last= Fekete |first2= G. |last2=Szegö
 |title=  Eine Bemerkung Über Ungerade Schlichte Funktionen
  |journal=  J. London Math. Soc.|year= 1933 |pages= 85–89| doi=10.1112/jlms/s1-8.2.85|volume=s1-8|issue=2 }}
*{{SpringerEOM|title=Bieberbach conjecture|last= Goluzina|first=E.G.|urlname=Bieberbach_conjecture}}
*{{Citation | last1=Grinshpan | first1=Arcadii Z. | title=The Bieberbach conjecture and Milin's functionals | doi=10.2307/2589676 | mr=1682341 | year=1999 | journal=The American Mathematical Monthly | volume=106 | issue=3 | pages=203–214 |jstor=2589676 }}
*{{Citation
 | editor-last =Kuhnau
 | editor-first =Reiner
 | editor-link =ライナー・クーナウ
 | last =Grinshpan
 | first =Arcadii Z.
 | author-link =
 | contribution =Logarithmic Geometry, Exponentiation, and Coefficient Bounds in the Theory of Univalent Functions and Nonoverlapping Domains
 | contribution-url =
 | title =Geometric Function Theory
 | place =[[Amsterdam]]
 | publisher =North-Holland Publishing Company
 | series =Handbook of Complex Analysis
 | volume =Volume 1
 | year =2002
 | pages =273–332
 | language =English
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 | id =
 | isbn =0-444-82845-1
 | mr =1966197
 | zbl =1083.30017
}}.
*{{Citation | last1=Hayman | first1=W. K. | title=The asymptotic behaviour of p-valent functions | doi=10.1112/plms/s3-5.3.257  | mr=0071536 | year=1955 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | volume=5 | pages=257–284 | issue=3}}
* Koepf, Wolfram (2007), ''[http://kobra.bibliothek.uni-kassel.de/bitstream/urn:nbn:de:hebis:34-200604038936/1/prep0513.pdf Bieberbach’s Conjecture, the de Branges and Weinstein Functions and the Askey-Gasper Inequality]''   
*{{Citation | last1=Korevaar | first1=Jacob | title=Ludwig Bieberbach's conjecture and its proof by Louis de Branges | mr=856290 | year=1986 | journal=The American Mathematical Monthly | issn=0002-9890 | volume=93 | issue=7 | pages=505–514 | doi=10.2307/2323021 | publisher=The American Mathematical Monthly, Vol. 93, No. 7 | jstor=2323021}}
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  |journal=  Proc. London Math. Soc.|year= 1925 |pages= 481–519| doi=10.1112/plms/s2-23.1.481|volume=s2-23 }}
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*{{citation|first=C.|last= Loewner|title= Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises /z/ < 1, die durch Funktionen mit nicht verschwindender Ableitung geliefert werden|journal=Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig|volume= 69|year= 1917|pages= 89–106}}
*{{citation|first=C. |last=Loewner|title=Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I|journal=Math. Ann. |volume=89|year=1923|pages= 103–121|id= [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?49.0714.01 JFM 49.0714.01]|doi=10.1007/BF01448091}}
*{{Citation | last1=Milin | first1=I. M. | title=Univalent functions and orthonormal systems | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | mr=0369684 | year=1977}} (Translation of the 1971 Russian edition)
*{{citation|last=Nevanlinna|first= R.|title=Über die konforme Abbildung von Sterngebieten|journal=Ofvers. Finska Vet. Soc. Forh. |volume=53 |year=1921|pages=1–21}}
*{{Citation | last1=Robertson | first1=M. S. | title=A remark on the odd schlicht functions | url=http://www.ams.org/bull/1936-42-06/S0002-9904-1936-06300-7/ | doi=10.1090/S0002-9904-1936-06300-7  | year=1936 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | volume=42 | pages=366–370 | issue=6}}
* 楠 幸男、須川敏幸：「複素解析学特論」、現代数学社、ISBN 978-4768705209（2019年11月21日）の第3章"ビーベルバッハ予想"。

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