ナビエ–ストークス方程式のソースを表示

{{連続体力学}}

'''ナビエ–ストークス方程式'''（ナビエ–ストークスほうていしき、{{lang-en-short|Navier–Stokes equations}}）は、[[流体]]の運動を記述する2階[[非線型|非]][[線型]][[偏微分方程式]]であり、[[流体力学]]で用いられる。<ref name="cf">Constantin, P., & Foias, C. (1988). Navier-stokes equations. [[シカゴ大学出版局|University of Chicago Press]].</ref><ref name="kozono">[[小薗英雄]]. (2002). Navier-Stokes 方程式. 数学, 54(2), 178-202.</ref>[[アンリ・ナビエ]]と[[ジョージ・ガブリエル・ストークス]]によって導かれた<ref>C. L. M. H. Navier, "Mémoire sur les lois du mouvement des fluides,"  ''Mémoires Acad. Roy. Sci. Inst. France'', '''6''', pp.389-440 (1823)</ref><ref>G. G. Stokes, "On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids," ''Trans. Camb. Phil. Soc.'', '''8''', pp.287-319(1845）[https://archive.org/details/cbarchive_39179_onthetheoriesoftheinternalfric1849 original paper]</ref>。[[日本語]]の文献だと「NS方程式」とも略される<ref>児玉良明. (1996). CFD 入門 (その 1)− NS 方程式の様々な形 とモデル方程式 一. 日本造船学会誌, (805).</ref>。ナビエ・ストークス方程式は、[[ニュートン力学]]における[[運動の第2法則]]に相当する。

== 導出 ==
[[流体]]の[[質量保存の法則]]と[[運動量保存の法則]]を表す[[連続の方程式]]
{{Indent|
<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} +\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v}) =0</math>
}}
{{Indent|
<math>\frac{\partial(\rho\boldsymbol{v})}{\partial t} +\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v}\boldsymbol{v})
 =\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma} +\rho\boldsymbol{g}</math>
}}
を用いると、流れの[[速度]]場 <math>\boldsymbol{v}</math> の[[物質微分]]は
{{Indent|
<math>\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v}
 =\frac{1}{\rho} \operatorname{div}\boldsymbol{\sigma} +\boldsymbol{g}</math>
}}
と導かれる。ここで、 <math>\rho</math> は[[密度]]場、 <math>\boldsymbol{\sigma}</math> は[[応力]]場、 <math>\boldsymbol{g}</math> は流体の単位質量あたりに作用する外力場（[[加速度]]場）である。

ここで、[[ニュートン流体]]を仮定すれば、応力場が
{{Indent|
<math>\boldsymbol{\sigma} =\left(-p +\chi\Theta \right) \mathbf{1}
 +\mu\left(\boldsymbol{e} -\frac{2}{3}\, \Theta\, \mathbf{1} \right)
 = (-p +(\chi -\frac{2}{3}\, \mu)\Theta) \mathbf{1} + \mu\boldsymbol{e}</math>
}}
で与えられる。ただし、 <math>p</math> は[[圧力]]（[[静圧]]）、 <math>\chi</math> は[[体積粘性率]]、 <math>\mu</math> は[[剪断粘性率]]である。 <math>\boldsymbol{e}</math> は[[対称化]]した{{仮リンク|速度勾配|en|Velocity gradient}}で、[[デカルト座標]]の下で成分表示をすれば
{{Indent|
<math>e_{ab} = \frac{\partial v_a}{\partial x_b} +\frac{\partial v_b}{\partial x_a}</math>
}}
で表され、 <math>\Theta</math> は速度場の[[発散 (ベクトル解析)|発散]]
{{Indent|
<math>\Theta =\operatorname{div} \boldsymbol{v} =\frac{1}{2}\operatorname{tr} \boldsymbol{e}</math>
}}
である。

この形の応力場 <math>\boldsymbol{\sigma}</math> を用いると、速度場 <math>\boldsymbol{v}</math> の物質微分が
{{Indent|
<math>\begin{align}
\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v} = &-\frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p
 +\frac{\mu}{\rho}\Delta\boldsymbol{v}
 +\frac{\chi +\frac{1}{3}\, \mu}{\rho} \operatorname{grad} \Theta
 +\frac{\Theta}{\rho} \operatorname{grad}(\chi +\frac{1}{3}\, \mu) \\
 &+\frac{1}{\rho} \operatorname{grad}(\boldsymbol{v}\cdot \operatorname{grad} \mu)
 +\frac{1}{\rho} \operatorname{rot}(\boldsymbol{v}\times \operatorname{grad} \mu)
 -\frac{1}{\rho}\, \boldsymbol{v} \Delta\mu +\boldsymbol{g} \\
\end{align} </math>
}}
で与えられる。この方程式が'''ナビエ–ストークス方程式'''である<ref name="cf"/><ref name="kozono"/><ref name="fujita">[[藤田宏]]. (1962). Navier-Stokes 方程式の数学的プロフイル. 日本物理学会誌, 17(4), 260-264.</ref><ref group="注">前述の通り、ナビエ・ストークス方程式は[[流体]]が[[ニュートン流体]]であることを前提としているため、[[非ニュートン流体]]に対しては成立しない。</ref>。この3本<ref group="注">見かけは1本だが、x成分, y成分, z成分に分割すると3本となる。</ref>の[[連立方程式|連立]][[偏微分方程式]]を解いて[[3次元]][[ベクトル]] <math>\boldsymbol{v}</math> と[[スカラー]] <math>p</math> の計4つの[[未知関数]]の[[一般解]]が常に存在する（もしくは[[反例|一般解が存在しないケース]]がある）ことを証明せよ、という問題が「[[ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ]]（[[ミレニアム懸賞問題]]の1つ）」である。加えて、それらの解が「時間大域的かつ滑らかな解」なのかどうかも、非常に重要な論点となる。

なお、速度場の物質微分の第二項は「対流項」あるいは「移流項」と呼ばれ、ベクトル解析の公式により、
{{Indent|
<math>(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v} =\operatorname{grad}\left( \frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2 \right)
 -\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega}</math>
}}
と変形することができる。ここで {{mvar|'''&omega;'''}} は速度場の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]
{{Indent|
<math>\boldsymbol{\omega} =\operatorname{rot} \boldsymbol{v}</math>
}}
であり、[[渦度]]と呼ばれる<ref>{{Kotobank|渦度}}</ref>。

== 単純化した方程式 ==
ナビエ–ストークス方程式は非線形であり、複雑過ぎるので解を求めることは困難である<ref name="cf"/><ref name="kozono"/><ref name="fujita"/>。このため、いくつかの仮定をして問題を簡単化することが多い<ref name="terasawa">{{cite|和書|editor=[[寺沢寛一]]|title=自然科学者のための数学概論 応用編 |publisher=岩波書店 |year=1960 |ISBN=4-00-005481-3 |page=640}}</ref>。しかし簡単化された方程式ですら解析的な方法では解が得られないことが普通であり、解の存在性などの定性的な議論<ref>柴田良弘、久保隆徹：「非線形偏微分方程式」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11771-4 (2012年)</ref>を超えて、具体的な解の様子を知るためには、ほとんどの場合に数値的な近似解法が必要になる<ref group="注">単純化された方程式を上手く選べば、数値計算の負荷を小さくできるため、依然これらの近似方程式は重要である（Ferziger, Peri&#x107;, 2003）。</ref><ref name="jpcfd">{{cite|和書 |title=コンピュータによる流体力学 |author=Joel H. Ferziger |author2=Milovan Peri&#x107; |translator=小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京 |year=2003 |isbn=4-431-70842-1 |pages=12–15}}</ref>。

=== 非圧縮性流れ ===
[[非圧縮性流れ]]<ref name="if">Panton, R. L. (2013). Incompressible flow. John Wiley & Sons.</ref>では、速度場の発散 {{mvar|&Theta;}} がゼロなので、速度場の発散を含む項を落として
:<math>\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v} =-\frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p
 +\frac{\mu}{\rho} \Delta\boldsymbol{v}
 +\frac{1}{\rho} \operatorname{grad}(\boldsymbol{v}\cdot \operatorname{grad} \mu)
 +\frac{1}{\rho} \operatorname{rot}(\boldsymbol{v}\times \operatorname{grad} \mu)
 -\frac{1}{\rho} \boldsymbol{v}\, \Delta\mu
 +\boldsymbol{g}</math>
となる。

=== 粘性率が一定の流れ ===
[[粘性率]] {{mvar|&mu;}} や {{mvar|&chi;}} は[[温度]]や[[圧力]]の関数であり一定ではないが、粘性率を[[定数]]と仮定する場合は、粘性率の勾配を含む項を落として、
:<math>\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v} =-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p
 +\frac{\mu}{\rho} \Delta\boldsymbol{v}
 +\frac{\chi +\frac{1}{3}\, \mu}{\rho} \operatorname{grad} \Theta
 +\boldsymbol{g}</math>
となる。また、体積粘性率 {{mvar|&chi;}} は非常に小さいので、{{math|1=''&chi;'' = 0}} と仮定すると、
:<math>\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v} =-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p
 +\nu \Delta\boldsymbol{v} +\frac{\nu}{3} \operatorname{grad} \Theta
 +\boldsymbol{g}</math>
となる（'''ストークスの仮説'''）。ここで {{math|1=''&nu;'' = ''&mu;''/''&rho;''}} は[[動粘性率]]である。

=== 粘性率が一定の非圧縮性流れ ===
[[粘性率]]が一定の[[非圧縮性流れ]]では、
:<math>\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v}
 =-\frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p +\nu \Delta\boldsymbol{v} +\boldsymbol{g}</math>
となる。ここで {{math|1=''&nu;'' = ''&mu;''/''&rho;''}} は動粘性率である。各項はそれぞれ、
* 左辺 - 第1項：時間[微分]項、第2項：移流項（対流項）
* 右辺 - 第1項：圧力項、第2項：粘性項（拡散項）、第3項：外力項
と呼ばれる。外力項は、状況によって、[[重力]]をはじめ[[浮力]]・[[表面張力]]・[[電磁気力]]などが該当する。

;ストークス流れ（クリープ流れ）
:粘性率が一定の非圧縮性流れのうち、流体の速度が遅かったりスケールが小さいなど、レイノルズ数が小さい[[流れ]]を特に'''ストークス流れ'''あるいは'''クリープ流れ'''という。ストークス流れでは、非線型である対流項 <math>( \boldsymbol{v} \cdot \nabla ) \boldsymbol{v}</math> が無視できて、
: <math>\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} =-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p
 +\nu\Delta\boldsymbol{v} +\boldsymbol{g}</math>
:となる。この式はストークス方程式（Stokes equations）と呼ばれ<ref>Pironneau, O. (1973). On optimum profiles in Stokes flow. Journal of Fluid Mechanics, 59(1), 117-128.</ref><ref>Pozrikidis, C. (2001). Interfacial dynamics for Stokes flow. Journal of Computational Physics, 169(2), 250-301.</ref>、線形方程式のため[[基本解]]が知られている<ref>{{cite|和書 |editor= |author=岡本久 |title=ナヴィエ-ストークス方程式の数理 |edition= |publisher=東京大学出版会 |year=2009 |isbn=978-4-13-061308-8 |page=29-38}}</ref>。例として[[クエット流れ]]や[[ハーゲン・ポアズイユ流れ]]がある。

=== オイラー方程式 ===
粘性のない（{{math|1=''&chi;'' = ''&mu;'' = 0}}）流れでは
:<math>\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v} =-\frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p +\boldsymbol{g}</math>
となる。この式は[[オイラー方程式 (流体力学)|オイラー方程式]]と呼ばれている。<ref>{{cite journal|doi=10.1090/S0273-0979-07-01181-0|last=Christodoulou|first=Demetrios|title=The Euler Equations of Compressible Fluid Flow|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=44|issue=4|date=October 2007|url=http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01181-0/S0273-0979-07-01181-0.pdf|pages= 581–602|ref=harv}}</ref><ref>{{cite journal|journal=Mémoires de l'académie des sciences de Berlin |volume=11|date= 1757|pages= 274–315|title=Principes généraux du mouvement des fluides|first= Leonhard |last=Euler|url= https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/226|ref=harv|lang=fr}}</ref>

=== ポテンシャル流れ ===
渦度（速度場の回転）がない流れ
:<math>\boldsymbol{\omega} =\operatorname{rot}\boldsymbol{v} =\mathbf{0}</math>
の場合には、ベクトル解析の定理により
:<math>\boldsymbol{v} =\operatorname{grad}\Phi</math>
となる[[速度ポテンシャル]] {{mvar|&Phi;}} が存在する。

=== 近似 ===
;ブシネスク近似
:[[熱輸送]]を伴う流れにおいて、[[温度]]による[[密度]]変化が大きくないとして扱う近似法を[[ブシネスク近似]]という。<ref>Zeytounian, R. K. (2003). Joseph Boussinesq and his approximation: a contemporary view. Comptes Rendus Mecanique, 331(8), 575-586.</ref>

;境界層近似
:流れが[[主流]]方向を持ち（[[逆流]]、[[再循環]]および[[剥離]]がない）、幾何的な変形が緩やかなときに行う近似法を[[境界層]]近似という。

== 数値シミュレーション ==
もし一般解が求まれば、流体の挙動を完全に知る事ができることになるが、未だに一般解は発見されていない。また、解の存在可能性についても明らかとはなっておらず、[[物理学]]と[[数学]]の両方にまたがる重要な課題の一つとなっている<ref name="cf"/><ref name="kozono"/>（詳細は、[[ミレニアム懸賞問題]]、[[ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ]]を参照）<!--{{疑問点|date=2009年12月}}-->。従って、極めて特殊な制約条件の問題を除いて[[数値解析]]によって近似的に解を求める<ref>Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis (Vol. 343). American Mathematical Society.</ref><ref>Girault, V., & Raviart, P. A. (2012). Finite element methods for Navier-Stokes equations: theory and algorithms (Vol. 5). Springer Science & Business Media.</ref>。

流体の数値シミュレーション（[[数値流体力学]]、CFD）では、このナビエ–ストークス方程式と[[連続の式]]、その他必要に応じて[[エネルギー保存の法則]]（熱対流）や[[マクスウェルの方程式]]（[[磁気流体力学]]）、[[状態方程式 (熱力学)|状態方程式]]などを連立して、数値的に解くことで流体の挙動を予測する。<ref name="jpcfd"/><ref>Anderson, John D. (1995). Computational Fluid Dynamics: The Basics With Applications. Science/Engineering/Math. McGraw-Hill Science. ISBN 978-0-07-001685-9.</ref><ref>Chung, T. J. (2010). Computational fluid dynamics. Cambridge University Press.</ref><ref>Wesseling, P. (2009). Principles of computational fluid dynamics. Springer Science & Business Media.</ref>
<!-- N-Sに特有というわけでもないのでここに書くことはないかと
解法としては最も基本的な[[有限差分法]]（差分法、FDM）をはじめ、[[有限体積法]] (FVM)、[[有限要素法]] (FEM) のような格子を使用する手法、あるいは格子を使用しない[[粒子法]]（SPH, MPS) など様々なものが開発されている。
-->

移流と拡散両方に関係している現象であるので、[[CFL条件|クーラン数]]、[[拡散数]]の両方を満たすようにシミュレーションを行う必要がある。

== 性質 ==

=== 乱流 ===
[[乱流]]は流体の多くの流れで見られる時間依存の[[カオス理論|カオス的な]]振る舞いである。<ref>{{Kotobank|乱流}}</ref><ref>H. Tennekes、J. L. Lumley、藤原仁志、荒川忠一訳『乱流入門』[[東海大学出版会]]、1998年。ISBN 978-4-486-01440-9。</ref><ref>Lesieur, M. (2012). Turbulence in fluids (Vol. 40). Springer Science & Business Media.</ref><ref>Davidson, P. A. (2015). Turbulence: an introduction for scientists and engineers. Oxford University Press.</ref>全体としての流体の[[慣性]]にそれがしたがうことが一般に信じられている。それゆえ慣性の効果が小さな流れは[[層流]]となる傾向がある。<ref>{{Kotobank|層流}}</ref>移流と粘性の強さの比率は[[レイノルズ数]]と呼ばれる[[無次元量]]であり、レイノルズ数がある[[閾値]]を越えると、微小な[[かく乱]]が移流項の非線型性により拡大していき、流れ場は非定常な乱流となる<ref>{{Kotobank|レイノルズ数}}</ref>。

一方、右辺の粘性率を含む項（粘性項）は乱流の変動を抑制する効果を持つ。あまり深く理解されていないにもかかわらず、ナビエ‐ストークス方程式が乱流の性質を正確に記述することが信じられている<ref>Foias, C., Manley, O., Rosa, R., & Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations and turbulence (Vol. 83). Cambridge University Press.</ref><ref>{{cite book |title = Encyclopaedia of Physics| author1= R. G. Lerner| author2= G. L. Trigg | publisher = VHC publishers | year = 1991 | ISBN = 0-89573-752-3 | edition = 2nd}}</ref>。計算に対して計算時間が有意味に解き得るようになるちょうどよい[[計算メッシュ]]による解のようなこの要求条件の'''安定した解'''または[[直接数値シミュレーション]]の、乱流に関するナビエ‐ストークス方程式の数値解は、極度に困難である。<ref> 大宮司久明, 三宅裕, & 吉澤徴. (1998). 乱流の数値流体力学. [[東京大学出版会]].</ref><ref>梶島, & 岳夫. (2014). 乱流の数値シミュレーション. 養賢堂.</ref><ref>Wilcox, D. C. (1998). Turbulence modeling for CFD (Vol. 2, pp. 103-217). La Canada, CA: DCW industries.</ref><ref>Chen, C. J. (1997). Fundamentals of turbulence modelling. CRC Press.</ref>難易度はその乱流に含まれている'''混合長さの尺度'''の違いに強く依存する。適当に変換するのに役立たない、層流を解くものを用いて乱流の流れを解く試みは、'''非定常解'''で典型的な結果を残す。

これに反して、[[レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式]]（RANS）のような、乱流モデルを補った'''時間平均方程式'''は、乱流をモデル化するときに実用的な[[数値流体力学]]（CFD）の応用で用いられる。追加の方程式を加えてRANSを導く、{{仮リンク|Spalart-Allmaras乱流モデル|en|Spalart-Allmaras turbulence model}}、<ref>Spalart, P. R. and Allmaras, S. R., 1992, "A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows" AIAA Paper 92-0439</ref>{{仮リンク|k‐ω乱流モデル|en|K-omega turbulence model}}、<ref>{{citation |title=Formulation of the k–ω Turbulence Model Revisited |last=Wilcox |first=D. C. |publisher=AIAA Journal |volume=46 |issue=11 |year=2008 |pages=2823–2838 |doi=10.2514/1.36541 |bibcode = 2008AIAAJ..46.2823W }}</ref>{{仮リンク|k‐ε乱流モデル|en|Turbulence kinetic energy}}を含む幾つかのモデルは、{{仮リンク|Large eddyシミュレーション|en|Large eddy simulation}}（LES）<ref>Piomelli, U. (1999). Large-eddy simulation: achievements and challenges. Progress in Aerospace Sciences, 35(4), 335-362.</ref><ref>Mason, P. J. (1994). Large‐eddy simulation: A critical review of the technique. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 120(515), 1-26.</ref><ref>Zhiyin, Y. (2015). Large-eddy simulation: Past, present and the future. Chinese journal of Aeronautics, 28(1), 11-24.</ref><ref>Sagaut, P. (2006). Large eddy simulation for incompressible flows: an introduction. Springer Science & Business Media.</ref>がこれらの方程式を数値的に解くように用いるようにもできる。RANSよりも計算時間と計算機メモリーの面で、これらのアプローチは電子計算機で行うには大変コストがかかる。しかし、それは陽的に大きな乱流の尺度を分解するのでより良い結果を生み出すのである。

== 脚注 ==
<references group="注"/>
== 参考文献 ==
{{reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ]]
* [[ミレニアム懸賞問題]]
* [[流体力学]]
* [[バーガース方程式]]
* [[移流拡散方程式]]
* [[gifted/ギフテッド]]（[[2017年]]のアメリカ映画。ナビエ–ストークス方程式を題材として扱っている）
* [[偏微分方程式]]
* [[微分方程式]]

== 外部リンク ==
* [http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~okamoto/NS/proj05.html 京都大学 Navier-Stokes方程式の数理とその応用プロジェクト]

{{authority control}}

{{DEFAULTSORT:なひえすとおくすほうていしき}}
[[Category:流体力学の方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:水理学]]
[[Category:物理学の未解決問題]]
[[Category:ジョージ・ガブリエル・ストークス]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:物理学のエポニム]]