ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさのソースを表示

{{要改訳}}
'''ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ'''（ナビエ–ストークスほうていしきのかいのそんざいとなめらかさ、{{lang-en|Navier–Stokes existence and smoothness}}）問題は、（例えば[[乱流]]のような）[[流体力学]]の重要な柱の一つである[[ナビエ-ストークス方程式]]の解の数学的性質に関連している。これらの方程式は空間の中の流体（つまり、液体や気体）の運動を記述する。ナビエ–ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ–ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい[[物理学の未解決問題]]の一つとして残っている。

ナビエ–ストークス方程式の解の基本的（そして一見して直感的な）性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、[[滑らかな関数|滑らかな解]]が常に存在すること、あるいはその反例が存在することのいずれも証明されていない。この問題を、''ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ''の問題という。

ナビエ–ストークス方程式の理解が、乱流のとらえどころのない現象の理解という第一段階と考えられているので、[[:en:Clay Mathematics Institute|Clay Mathematics Institute]]（[[クレイ数学研究所]]）は2000年5月にこの問題を、数学の 7つの[[ミレニアム懸賞問題]]の一つとした。最初にこの問題の解を与えたものに$1,000,000を賞金として進呈すると約束した<ref name=problem_statement>[http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf Official statement of the problem], Clay Mathematics Institute.</ref>。

{{Quotation|
'''次のステートメントを証明、もしくは反例を挙げよ''':<br>
3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義される。}}
<!---== Navier–Stokes existence and smoothness ==
The '''Navier–Stokes existence and smoothness''' problem concerns the [[mathematical]] properties of solutions to the [[Navier–Stokes equations]], one of the pillars of [[fluid mechanics]] (such as with [[turbulence]]). These equations describe the motion of a fluid (that is, a liquid or a gas) in space.  Solutions to the Navier–Stokes equations are used in many practical applications.  However, theoretical understanding of the solutions to these equations is incomplete.  In particular, solutions of the Navier–Stokes equations often include [[turbulence]], which remains one of the greatest [[unsolved problems in physics]], despite its immense importance in science and engineering.

Even much more basic properties of the solutions to Navier–Stokes have never been proven.  For the three-dimensional system of equations, and given some initial conditions, mathematicians have not yet proved that [[Smooth function|smooth solutions]] always exist, or that if they do exist, they have bounded [[energy]] per unit mass.{{fact|date=November 2013}}  This is called the ''Navier–Stokes existence and smoothness'' problem.

Since understanding the Navier–Stokes equations is considered to be the first step to understanding the elusive phenomenon of [[turbulence]], the [[Clay Mathematics Institute]] in May 2000 made this problem one of its seven [[Millennium Prize problems]] in mathematics.  It offered a [[United States dollar|US$]]1,000,000 prize to the first person providing a solution for a specific statement of the problem:<ref name=problem_statement>[http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/navierstokes.pdf Official statement of the problem], Clay Mathematics Institute.</ref>

{{Quotation|
''Prove or give a counter-example of the following statement:''<br>
In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier–Stokes equations.}}

On January 10, 2014, a Kazakh mathematician [[Mukhtarbay Otelbaev|Mukhtarbay Otelbaev]] published an article in which he claims to have provided a full solution to the problem with periodic boundary conditions in space variables.<ref>{{Citation
 |first         = M.
 |last          = Otelbaev
 |title     = The existence of the strong solution to Navier-Stokes equations
 |url        = http://www.math.kz/images/journal/2013-4/Otelbaev_N-S_21_12_2013.pdf
 |language          = ru
 |journal      = Matematicheskiy zhurnal
 |year           = 2013
 |volume           = 13
 |issue         = 4 (50)
 |pages      = 5—104
 |doi           = 
 |issn          = 1682-0525
}}</ref>.-->

==ナビエ-ストークス方程式==
{{Main|ナビエ-ストークス方程式}}
数学では、ナビエ-ストークス方程式は、任意の大きさの抽象的なベクトル場の非線型[[偏微分方程式]]系である。物理学や工学では、[[連続体力学]]を使った非圧縮な気体、もしくは液体を主とした流体（つまり、粒子の[[平均自由行程]]が十分に短く、単なる粒子の集まりではない連続体として扱えるもの）の運動のモデル化した方程式の系である。{{clarify|date=June 2013}} この方程式は[[ニュートン力学#質点に関する運動の法則|ニュートンの第二法則]]に対応し、力を粘性を持った[[ニュートン流体]]にかかる圧力、[[粘性]]応力および[[運動の第3法則|外力]]の寄与の和としてモデル化している。クレイ数学研究所によって提起されている問題の設定は、3次元の[[非圧縮性流れ|非圧縮]]で等質な流体に対してであり、以下のような条件についてのみ考えるものである。

<math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)</math> を流体の速度の 3次元のベクトル場とし、<math>p(\boldsymbol{x},t)</math> を流体の圧力の場とする。<ref group="note"> さらに詳しくは、<math>p(\boldsymbol{x},t)</math> は流体[[密度]]により圧力を割った値で、密度は流体の非圧縮性と等質性より定数である。</ref> ナビエ-ストークス方程式は、

: <math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v} +\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)</math>

である。ここに <math>\nu>0</math> は動粘性係数、<math>\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)</math> は外力項、<math>\nabla</math> は[[勾配 (ベクトル解析)|勾配(gradient)]]作用素であり、<math>\displaystyle \Delta</math> は[[ラプラス作用素]]で <math>\nabla\cdot\nabla</math> とも書く。この方程式は3次元ベクトル方程式であるので、3つのスカラー方程式を連立したものとして表現される。速度と外力の各成分を書き下すと、

: <math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,v_1(\boldsymbol{x},t),\,v_2(\boldsymbol{x},t),\,v_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)\,,\qquad \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,f_1(\boldsymbol{x},t),\,f_2(\boldsymbol{x},t),\,f_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)</math>

となるので、各々の <math>i=1,2,3</math> に対し、対応する成分のナビエ-ストークス方程式

: <math>\frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t)</math>
が存在する。
<!---==The Navier–Stokes equations==
{{Main|Navier–Stokes equations}}
In mathematics, the Navier–Stokes equations are a system of nonlinear [[partial differential equation]]s for abstract vector fields of any size. In physics and engineering, they are a system of equations that models the motion of liquids or non-[[rarefied]]{{clarify|date=June 2013}} gases using [[continuum mechanics]]. The equations are a statement of [[Newton's second law]], with the forces modeled according to those in a [[viscosity|viscous]] [[Newtonian fluid]]—as the sum of contributions by pressure, viscous stress and an external body force.
Since the setting of the problem proposed by the Clay Mathematics Institute is in three dimensions, for an incompressible and homogeneous fluid, only that case is considered below.

Let <math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)</math> be a 3-dimensional vector field, the velocity of the fluid, and let <math>p(\boldsymbol{x},t)</math> be the pressure of the fluid.<ref group="note">More precisely, <math>p(\boldsymbol{x},t)</math> is the pressure divided by the fluid [[density]], and the density is constant for this incompressible and homogeneous fluid.</ref> The Navier–Stokes equations are:

: <math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v} +\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)</math>

where <math>\nu>0</math> is the kinematic viscosity, <math>\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)</math> the external force, <math>\nabla</math> is the [[gradient]] operator and <math>\displaystyle \Delta</math> is the [[Laplacian]] operator, which is also denoted by <math>\nabla\cdot\nabla</math>. Note that this is a vector equation, i.e. it has three scalar equations. Writing down the coordinates of the velocity and the external force

: <math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,v_1(\boldsymbol{x},t),\,v_2(\boldsymbol{x},t),\,v_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)\,,\qquad \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,f_1(\boldsymbol{x},t),\,f_2(\boldsymbol{x},t),\,f_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)</math>

then for each <math>i=1,2,3</math> there is the corresponding scalar Navier–Stokes equation:

: <math>\frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t).</math>-->

速度 <math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)</math> と圧力 <math>p(\boldsymbol{x},t)</math> は未知数である。3次元では、3つの方程式と 4つの未知数（速度ベクトルの3つの成分と圧力）があるので、追加の方程式が必要である。この場合に加えるべき式は、流体の[[非圧縮性流れ|非圧縮性]]を記述する、次のような[[連続の方程式]]

: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0.</math>

である。この性質のおかげで、ナビエ-ストークス方程式の解は、[[発散 (ベクトル解析)|発散]]のない（つまり、湧出点も排出点もない）関数の集合の中に探し求めることができる。この等質な媒体の流れについて、密度と粘性は一定である。 

圧力 <math>p(\boldsymbol{x},t)</math> は、勾配のみが方程式中に出現するため、式の両辺の[[回転 (ベクトル解析)|回転]] <math>{\rm curl}</math> を取ることによって消去することができる。この場合には、ナビエ-ストークス方程式は[[渦度・流れ関数法|渦度輸送方程式]]（vorticity-transport equation）に簡約できる。
<!---The unknowns are the velocity <math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)</math> and the pressure <math>p(\boldsymbol{x},t)</math>.  Since in three dimensions, there are three equations and four unknowns (three scalar velocities and the pressure), then a supplementary equation is needed. This extra equation is the [[continuity equation]] describing the [[incompressibility]] of the fluid:

: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0.</math>

Due to this last property, the solutions for the Navier–Stokes equations are searched in the set of "[[divergence]]-free" functions. For this flow of a homogeneous medium, density and viscosity are constants.

The pressure ''p'' can be eliminated by taking an operator rot (alternative notation curl)  of both sides of the Navier–Stokes equations. In this case the Navier–Stokes equations  reduce to the [[vorticity equation|vorticity-transport equation]]s. In two dimensions (2D), these equations are well-known [6, p.&nbsp;321].-->
ナビエ-ストークス方程式は[[偏微分方程式#非線型偏微分方程式|非線形]]であるため、単純な線形の関係を持っていない。つまり、この方程式は通常の線形方程式系におけるテクニックでは解くことができず、代わりにより高度な方法を用いなければならない。この非線形性こそが衝撃波の形成のような複雑な流れを含めた幅広い流体力学における現象の記述を可能としている。

ナビエ-ストークス方程式の非線形性について理解する方法の一つは、<math>(\mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}</math> という項について考察することである。この項は速度ベクトル <math>\mathbf{v}</math> と勾配作用素 <math>\nabla</math> の積であり、流体の加速度について記述する。勾配作用素は線形作用素なので、項 <math>(\mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}</math> は速度ベクトル <math>\mathbf{v}</math> についての非線形項となっている。このことは、流体の加速度が速度ベクトルの大きさと向き、そして流体内の速度の空間分布に依存することを示している。

他にも、ナビエ-ストークス方程式の非線形性は圧力項 <math>-\frac{1}{\rho}\nabla p</math> によっても齎される。流体の圧力は流体の密度と圧力勾配に依存して決定されるため、この項は圧力についての非線形性を持つ。

より明示的にこのことを示すには、密度 <math>\rho</math> および流速 <math>\mathbf{v_0}</math> の一様流れのなかに半径 <math>R</math> の円形の障害物を置いた場合について考えれば良い。<math>\mathbf{v}(\mathbf{x},t)</math> を位置 <math>\mathbf{x}</math> および時間 <math>t</math> における流速とし、同様に <math>p(\mathbf{x},t)</math> を位置 <math>\mathbf{x}</math> および時間 <math>t</math> における圧力とする。

この場合のナビエ-ストークス方程式は次のようになる。

: <math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v}</math>
: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0</math>

ここで <math>\nu</math> は流体の動粘性係数である。

この流れが[[定常状態]]（つまり、流速と圧力は時間変化しない）であると仮定すれば、時間微分項が消去できる。

: <math> ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v}</math>
: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0</math>

いま、円形の障害物付近の流れについて考察する。この領域には障害物が存在するため、（流れが通ることのできる空間が狭まった結果として）周辺の流速は一様流れの流速 <math>\mathbf{v_0}</math> よりも速くなる。このことにより、ナビエ-ストークス方程式には流速に比例するような非線形項 <math>( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}</math> が齎される。

同時に、障害物の存在は障害物に近いほど高く、離れれば低くなるような圧力勾配を生み出す。このことは、あらゆる面を通過する流体の質量が流れ全体で一定であることを要求する連続の式について考えれば理解できる。障害物付近では流速が速まるため、単位時間に通過する質量は障害物の近くの点のほうが、障害物の遠くの点よりも多くなってしまう。しかし、障害物に近いほど高く、離れれば低くなるような圧力勾配があれば、単位時間に通過する流体の質量が流れ全体で一定となるように補正できる。

これらの非線形効果の結果として、このような場合におけるナビエ-ストークス方程式を解析的に解くことが困難となっており、近似解法や数値解法によらなければ流れ場の流速分布や圧力分布を得ることができない。流速場 <math>\mathbf{v}(x,t)</math> および圧力場 <math>p(x,t)</math> で表されるような矩形領域における2次元流れについて考察すると、[[有限要素法]]を用れば次のようなベクトル場のナビエ-ストークス方程式を解くことができる。

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) + f_x(x,y,t)</math>

解析するために、矩形領域をより小さな要素の系列に分割し、ベクトル場を次のように表現する。

<math>u(x,y,t) = \sum_{i=1}^N U_i(t) \phi_i(x,y)</math>

ここで <math>N</math> は要素数であり、 <math>\phi_i(x,y)</math> はそれぞれの要素に関連付けられた形状関数である。この表現をナビエ-ストークス方程式に置き換えて有限要素法を適用すれば、次のような常微分方程式系が得られる。

<math>\frac{d U_i}{d t} = -\frac{1}{\rho} \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)_j\int_{\Omega} \phi_j \frac{\partial \phi_i}{\partial x} d\Omega + \nu \sum_{j=1}^N \int_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)_j\phi_j \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} d\Omega + \int_{\Omega} f_x \phi_i d\Omega</math>

ここで <math>\Omega</math> は領域を表しており、積分 <math>\int_{\Omega}</math> はこの領域全体に亘って積分することを意味する。この常微分方程式系は有限要素法や[[スペクトル法]]のようなテクニックを使えば解くことができる。

ここでは、有限要素法を使う。これを解くには、時間間隔 <math>[t_0, t_f]</math> を小さな時間ステップに分割し、それぞれの時間ステップで[[差分法|有限差分法]]を用いて微分を近似する。

<math>\frac{U_{i+1} - U_i}{\Delta t} \approx -\frac{1}{\rho} \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)_j \int_{\Omega} \phi_j \frac{\partial \phi_i}{\partial x} d\Omega + \nu \sum_{j=1}^N \int_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)_j \phi_j \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} d\Omega + \int_{\Omega} f_x \phi_i d\Omega</math>

ここで <math>\Delta t = t_{i+1} - t_i</math> は時間ステップの大きさであり、 <math>U_i</math> と <math>t_i</math> は <math>U_i</math> と <math>t</math> の時間ステップ <math>i</math> における値である。

この近似を使えば、全ての時間ステップに亘って反復的に計算し、各時間ステップにおける <math>U_i</math> の値を求めることができる。例えば、時間ステップ <math>i</math> から始めて上述の近似を用いれば、時間ステップ <math>i+1</math> における <math>U_i</math> の値は以下の通り求まる。

<math>U_{i+1} = U_i + \Delta t \cdot \left(-\frac{1}{\rho} \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)_j \int_{\Omega} \phi_j \frac{\partial \phi_i}{\partial x} d\Omega + \nu \sum_{j=1}^N \int_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)_j \phi_j \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} d\Omega + \int_{\Omega} f_x \phi_i d\Omega \right)_{}</math>

この過程は開始時刻 <math>t_0</math> から始めて、最終時刻 <math>t_f</math> に達するまで繰り返すことができる。

他にも常微分方程式を解く様々な手法が存在し、それぞれ利点と欠点がある。どの手法が最も有効かは、解きたい方程式と求める解の精度と計算効率によって異なる。<!-- The Navier–Stokes equations are [[Nonlinear system|nonlinear]], meaning that the terms in the equations do not have a simple linear relationship with each other. This means that the equations cannot be solved using traditional linear techniques, and more advanced methods must be used instead. This nonlinearity allows the equations to describe a wide range of fluid dynamics phenomena, including the formation of shock waves and other complex flow patterns. 

One way to understand the nonlinearity of the Navier–Stokes equations is to consider the term <math>(\mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}</math> in the equations. This term represents the acceleration of the fluid, and it is a product of the velocity vector v and the gradient operator ∇. Because the gradient operator is a linear operator, the term (v · ∇)v is nonlinear in the velocity vector v. This means that the acceleration of the fluid depends on the magnitude and direction of the velocity, as well as the spatial distribution of the velocity within the fluid.

Another source of nonlinearity in the Navier–Stokes equations is the pressure term <math>-\frac{1}{\rho}\nabla p</math>. The pressure in a fluid depends on the density and the gradient of the pressure, and this term is therefore nonlinear in the pressure.

To see this more explicitly, consider the case of a circular obstacle of radius <math>R</math> placed in a uniform flow with velocity <math>\mathbf{v_0}</math> and density <math>\rho</math>. Let <math>\mathbf{v}(\mathbf{x},t)</math> be the velocity of the fluid at position <math>\mathbf{x}</math> and time <math>t</math>, and let <math>p(\mathbf{x},t)</math> be the pressure at the same position and time.

The Navier–Stokes equations in this case are:

: <math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v}</math>
: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0</math>

where <math>\nu</math> is the kinematic viscosity of the fluid.

Assuming that the flow is steady (meaning that the velocity and pressure do not vary with time), we can set the time derivative terms equal to zero:

: <math> ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v}</math>
: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0</math>

We can now consider the flow near the circular obstacle. In this region, the velocity of the fluid will be higher than the uniform flow velocity <math>\mathbf{v_0}</math> due to the presence of the obstacle. This results in a nonlinear term <math>( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}</math> in the Navier–Stokes equations that is proportional to the velocity of the fluid.

At the same time, the presence of the obstacle will also result in a pressure gradient, with higher pressure near the obstacle and lower pressure farther away. This can be seen by considering the continuity equation, which states that the mass flow rate through any surface must be constant. Since the velocity is higher near the obstacle, the mass flow rate through a surface near the obstacle will be higher than the mass flow rate through a surface farther away from the obstacle. This can be compensated for by a pressure gradient, with higher pressure near the obstacle and lower pressure farther away.

As a result of these nonlinear effects, the Navier–Stokes equations in this case become difficult to solve, and approximations or numerical methods must be used to find the velocity and pressure fields in the flow.
Consider the case of a two-dimensional fluid flow in a rectangular domain, with a velocity field <math>\mathbf{v}(x,t)</math> and a pressure field <math>p(x,t)</math>. We can use a finite element method to solve the Navier–Stokes equation for the velocity field:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) + f_x(x,y,t)</math>

To do this, we divide the domain into a series of smaller elements, and represent the velocity field as:

<math>u(x,y,t) = \sum_{i=1}^N U_i(t) \phi_i(x,y)</math>

where <math>N</math> is the number of elements, and <math>\phi_i(x,y)</math> are the shape functions associated with each element. Substituting this expression into the Navier–Stokes equation and applying the finite element method, we can derive a system of ordinary differential equations:

<math>\frac{d U_i}{d t} = -\frac{1}{\rho} \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) j\int{\Omega} \phi_j \frac{\partial \phi_i}{\partial x} d\Omega + \nu \sum_{j=1}^N \int_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)\phi_j \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} d\Omega + \int{\Omega} f_x \phi_i d\Omega</math>

where <math>\Omega</math> is the domain, and the integrals are over the domain. This system of ordinary differential equations can be solved using techniques such as the finite element method or spectral methods.

Here, we will use the finite difference method. To do this, we can divide the time interval <math>[t_0, t_f]</math> into a series of smaller time steps, and approximate the derivative at each time step using a finite difference formula:

<math>\frac{U_{i+1} - U_i}{\Delta t} \approx -\frac{1}{\rho} \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)j \int{\Omega} \phi_j \frac{\partial \phi_i}{\partial x} d\Omega + \nu \sum_{j=1}^N \int_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)j \phi_j \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} d\Omega + \int{\Omega} f_x \phi_i d\Omega</math>

where <math>\Delta t = t_{i+1} - t_i</math> is the size of the time step, and <math>U_i</math> and <math>t_i</math> are the values of <math>U_i</math> and <math>t</math> at time step <math>i</math>.

Using this approximation, we can iterate through the time steps and compute the value of <math>U_i</math> at each time step. For example, starting at time step <math>i</math> and using the approximation above, we can compute the value of <math>U_i</math> at time step <math>i+1</math>:
<math>U_{i+1} = U_i + \Delta t \cdot \left(-\frac{1}{\rho} \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)j \int{\Omega} \phi_j \frac{\partial \phi_i}{\partial x} d\Omega + \nu \sum_{j=1}^N \int_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)_j \phi_j \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} d\Omega + \int_{\Omega} f_x \phi_i d\Omega \right)</math>

This process can be repeated until we reach the final time step <math>t_f</math>.

There are many other approaches to solving ordinary differential equations, each with its own advantages and disadvantages. The choice of approach depends on the specific equation being solved, and the desired accuracy and efficiency of the solution. -->

==2つの設定：非有界空間と周期的な空間==
100万ドル賞であるナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題には、2つの異なった設定がある。もともとの問題は、<math>\mathbb{R}^3</math> の空間全体の中（の問題）であり、これには初期値と解の増大性の振る舞いに余剰な条件を必要とする。無限遠点での問題を度外視するために、ナビエ-ストークス方程式は周期的なフレームワークでの設定が可能であり、このことはもはや <math>\mathbb{R}^3</math> の空間全体ではなく、3次元トーラス <math>\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3</math> の中での問題である。別々にわけて取り扱うことにする。
<!---==Two settings: unbounded and periodic space==
There are two different settings for the one-million-dollar-prize Navier–Stokes existence and smoothness problem. The original problem is in the whole space <math>\mathbb{R}^3</math>, which needs extra conditions on the growth behavior of the initial condition and the solutions. In order to rule out the problems at infinity, the Navier–Stokes equations can be set in a periodic framework, which implies that they are no longer working on the whole space <math>\mathbb{R}^3</math> but in the 3-dimensional torus <math>\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3</math>. Each case will be treated separately.-->

==全体の空間での問題==
===前提条件と増大条件===
初期条件 <math>\mathbf{v}_0(x)</math> は滑らかであり、発散のない函数（[[滑らかな函数]]を参照）であり、任意の多重指数 <math>\alpha</math>（[[多重指数]]を参照）と <math>K>0</math> に対して、定数 <math>C=C(\alpha,K)>0</math> が存在して（すなわち、この「定数」は <math>\alpha</math> と K に依存する）、

: 全ての <math>\qquad x\in\mathbb{R}^3</math> に対し、<math>\vert \partial^\alpha \mathbf{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert)^K}\qquad</math> であることを前提とする。
<!---==Statement of the problem in the whole space==

===Hypotheses and growth conditions===
The initial condition <math>\mathbf{v}_0(x)</math> is assumed to be a smooth and divergence-free function (see [[smooth function]]) such that, for every multi-index <math>\alpha</math> (see [[multi-index notation]]) and any <math>K>0</math>, there exists a constant <math>C=C(\alpha,K)>0</math> (i.e. this "constant" depends on <math>\alpha</math> and ''K'') such that

: <math>\vert \partial^\alpha \mathbf{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert)^K}\qquad</math> for all <math>\qquad x\in\mathbb{R}^3.</math>-->

外力 <math>\mathbf{f}(x,t)</math> は同様に滑らかであることを前提とし、次の似たような不等式を満たす（ここでは、多重指数は同様に時間微分を意味する）。

: 全ての <math>\qquad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty)</math> に対し、<math>\vert \partial^\alpha \mathbf{f}(x,t)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert + t)^K}\qquad</math> となる。

物理的に合理的条件のため、期待される解のタイプは <math>\vert x\vert\to\infty</math> ほどは増大度を持たない滑らかな函数とする。詳しくは、次の前提を設定する。

# <math>\mathbf{v}(x,t)\in\left[C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))</math>
# ある定数 <math>E\in (0,\infty)</math> が存在し、全ての <math>t\ge 0</math> に対し <math>\int_{\mathbb{R}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 dx <E</math> となる。

条件 1 は函数が滑らかで大域的定義されていることを意味し、条件 2 は解の[[運動エネルギー]]が大域的に有界であることを意味する。
<!---The external force <math>\mathbf{f}(x,t)</math> is assumed to be a smooth function as well, and satisfies a very analogous inequality (now the multi-index includes time derivatives as well):

: <math>\vert \partial^\alpha \mathbf{f}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert + t)^K}\qquad</math> for all <math>\qquad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty).</math>

For physically reasonable conditions, the type of solutions expected are smooth functions that do not grow large as <math>\vert x\vert\to\infty</math>.  More precisely, the following assumptions are made:

# <math>\mathbf{v}(x,t)\in\left[C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))</math>
# There exists a constant <math>E\in (0,\infty)</math> such that <math>\int_{\mathbb{R}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 dx <E</math> for all <math>t\ge 0\,.</math>

Condition 1 implies that the functions are smooth and globally defined and condition 2 means that the [[kinetic energy]] of the solution is globally bounded.-->
===空間全体での予想===
'''(A) <math>\mathbb{R}^3</math> でのナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ'''

<math>\mathbf{f}(x,t)\equiv 0</math> とする。上に述べた前提を満たす初期条件 <math>\mathbf{v}_0(x)</math> に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ-ストークス方程式の解が存在する。すなわち、速度ベクトル <math>\mathbf{v}(x,t)</math> と圧力 <math>p(x,t)</math> が存在し、上の条件 1 と 2 を満たす。

'''(B) <math>\mathbb{R}^3</math> でナビエ-ストークス方程式を解けないこと'''

上の条件 1 と 2 を満たす解 <math>\mathbf{v}(x,t)</math> と <math>p(x,t)</math> が存在しないような初期条件 <math>\mathbf{v}_0(x)</math> と外力 <math>\mathbf{f}(x,t)</math> が存在する。
<!---===The Millennium Prize conjectures in the whole space===
'''(A) Existence and smoothness of the Navier–Stokes solutions in <math>\mathbb{R}^3</math>'''

Let <math>\mathbf{f}(x,t)\equiv 0</math>. For any initial condition <math>\mathbf{v}_0(x)</math> satisfying the above hypotheses there exist smooth and globally defined solutions to the Navier–Stokes equations, i.e. there is a velocity vector <math>\mathbf{v}(x,t)</math> and a pressure <math>p(x,t)</math> satisfying conditions 1 and 2 above.

'''(B) Breakdown of the Navier–Stokes solutions in <math>\mathbb{R}^3</math>'''

There exists an initial condition <math>\mathbf{v}_0(x)</math> and an external force <math>\mathbf{f}(x,t)</math> such that there exists no solutions <math>\mathbf{v}(x,t)</math> and <math>p(x,t)</math> satisfying conditions 1 and 2 above.-->

==周期的条件の問題==
===前提条件===
ここでは、問題の函数を周期 1 の空間変数の周期性を持っているとする。さらに詳しくは、次のように <math>e_i</math> を i-方向の単位ベクトルとする。

: <math>e_1=(1,0,0)\,,\qquad e_2=(0,1,0)\,,\qquad e_3=(0,0,1).</math>

<math>\mathbf{v}(x,t)</math> は、全ての <math>i=1,2,3</math> に対して、次が成立する場合、周期的である。

: 全ての <math>(x,t) \in \mathbb{R}^3\times[0,\infty)</math> に対し、<math>\mathbf{v}(x+e_i,t)=\mathbf{v}(x,t)</math> となる。

座標を [[小数部分|mod 1]]で考えることに注意する。これは空間全体 <math>\mathbb{R}^3</math> ではうまくいかないが、3次元トーラスである次の[[商位相空間|商空間]]上ではうまくいく。

: <math>\mathbb{T}^3=\{(\theta_1,\theta_2,\theta_3): 0\le \theta_i<2\pi\,,\quad i=1,2,3\}.</math>

ここで初めて、前提条件を取り出して記述することができる。初期条件 <math>\mathbf{v}_0(x)</math> は滑らかで発散のない函数であることを前提とし、外力 <math>\mathbf{f}(x,t)</math> も同様に滑らかであることを前提とする。物理的に適切な解のタイプは、次の条件を満たす解である。

3. <math>\mathbf{v}(x,t)\in\left[C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))</math>

4. ある定数 <math>E\in (0,\infty)</math> が存在し、全ての <math>t\ge 0</math> に対し、<math>\int_{\mathbb{T}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 dx <E</math> となる。

前の場合と全く同様に、条件 3 は函数が滑らかで大域的に定義されていることを意味し、条件 4 は解の[[運動方程式]]が大域的に有界であることを意味する。
<!---==Statement of the periodic problem==

===Hypotheses===
The functions sought now are periodic in the space variables of period 1. More precisely, let <math>e_i</math> be the unitary vector in the ''i''- direction:

: <math>e_1=(1,0,0)\,,\qquad e_2=(0,1,0)\,,\qquad e_3=(0,0,1)</math>

Then <math>\mathbf{v}(x,t)</math> is periodic in the space variables if for any <math>i=1,2,3</math>, then:

: <math>\mathbf{v}(x+e_i,t)=\mathbf{v}(x,t)\text{ for all } (x,t) \in \mathbb{R}^3\times[0,\infty).</math>

Notice that this is considering the coordinates [[Fractional part|mod 1]]. This allows working not on the whole space <math>\mathbb{R}^3</math> but on the [[quotient space]] <math>\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3</math>, which turns out to be the 3-dimensional torus:

: <math>\mathbb{T}^3=\{(\theta_1,\theta_2,\theta_3): 0\le \theta_i<2\pi\,,\quad i=1,2,3\}.</math>

Now the hypotheses can be stated properly. The initial condition <math>\mathbf{v}_0(x)</math> is assumed to be a smooth and divergence-free function and the external force <math>\mathbf{f}(x,t)</math> is assumed to be a smooth function as well. The type of solutions that are physically relevant are those who satisfy these conditions:

3. <math>\mathbf{v}(x,t)\in\left[C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))</math>

4. There exists a constant <math>E\in (0,\infty)</math> such that <math>\int_{\mathbb{T}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 dx <E</math> for all <math>t\ge 0\,.</math>

Just as in the previous case, condition 3 implies that the functions are smooth and globally defined and condition 4 means that the [[kinetic energy]] of the solution is globally bounded.-->
===周期的な場合の問題===
'''(C) <math>\mathbb{T}^3</math> でのナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ'''

<math>\mathbf{f}(x,t)\equiv 0</math> とする。上でのべた前提条件を満たす初期条件 <math>\mathbf{v}_0(x)</math> に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ–ストークス方程式の解が存在する、つまり、速度ベクトル <math>\mathbf{v}(x,t)</math> と圧力 <math>p(x,t)</math> が存在し、上の条件 3 と 4 を満たす。

'''(D) <math>\mathbb{T}^3</math> でナビエ–ストークス方程式が解けないこと'''

上の条件 3 と 4 を満たす解 <math>\mathbf{v}(x,t)</math> と <math>p(x,t)</math> が存在しないような初期条件 <math>\mathbf{v}_0(x)</math> と外力 <math>\mathbf{f}(x,t)</math> が存在する。
<!---===The periodic Millennium Prize theorems===
'''(C) Existence and smoothness of the Navier–Stokes solutions in <math>\mathbb{T}^3</math>'''

Let <math>\mathbf{f}(x,t)\equiv 0</math>. For any initial condition <math>\mathbf{v}_0(x)</math> satisfying the above hypotheses there exist smooth and globally defined solutions to the Navier–Stokes equations, i.e. there is a velocity vector <math>\mathbf{v}(x,t)</math> and a pressure <math>p(x,t)</math> satisfying conditions 3 and 4 above.

'''(D) Breakdown of the Navier–Stokes solutions in <math>\mathbb{T}^3</math>'''

There exists an initial condition <math>\mathbf{v}_0(x)</math> and an external force <math>\mathbf{f}(x,t)</math> such that there exists no solutions <math>\mathbf{v}(x,t)</math> and <math>p(x,t)</math> satisfying conditions 3 and 4 above.-->

==部分的結果==
# 1960年以来、2次元のナビエ–ストークスの問題は既に解けている。滑らかな大域的に定義された解は存在する<ref>{{Citation |first=O. |last=Ladyzhenskaya |title=The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows |edition=2nd |location=New York |publisher=Gordon and Breach |year=1969 }}.</ref>。
# 初期速度 <math>\mathbf{v}(x,t)</math> が充分小さい場合は、予想は正しい。ナビエ–ストークス方程式には滑らかで大域的に定義された解が存在する<ref name=problem_statement />。
# 初期速度 <math>\mathbf{v}_0(x)</math> が与えられると、<math>\mathbf{v}_0(x)</math> に依存した有限時刻 T が存在し、<math>\mathbb{R}^3\times(0,T)</math> 上のナビエ–ストークス方程式は、滑らかな解 <math>\mathbf{v}(x,t)</math> と <math>p(x,t)</math> を持つ。「爆発時刻」T を超えての解が存在するか否かはしられていない<ref name=problem_statement />。
# 1934年、[[:en:Jean Leray|ジャン・ルレイ]]は、平均値で方程式を満たすが{{仮リンク|点別|label=ポイントワイズ|en|pointwise}}(pointwise)ではない、いわゆるナビエ–ストークス方程式の[[弱解]]の存在を証明した<ref>{{citation| first=J. | last=Leray | title=Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace | journal=Acta Mathematica | volume=63 | year=1934 | pages=193–248 | doi=10.1007/BF02547354 | authorlink=Jean Leray }}</ref>。
# 2016年、[[テレンス・タオ]]は平均化された三次元ナビエ–ストークス方程式における有限時間爆発解を発表した。彼は、この結果によりナビエ–ストークス方程式の大域的正則性問題の "supercriticality barrier" が定式化できること、およびこの証明手法がナビエ–ストークス方程式の爆発解を構成する為の手がかりとなることを主張した<ref>[http://terrytao.wordpress.com/2014/02/04/finite-time-blowup-for-an-averaged-three-dimensional-navier-stokes-equation Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation] Blog post by Terence Tao, with link to [https://arxiv.org/abs/1402.0290 Arxiv preprint] of paper.</ref>。

==脚注==
===注釈===
{{Reflist|group=note}}

==参考文献==
{{Reflist}}

==外部リンク==
*[http://www.claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation The Clay Mathematics Institute's Navier–Stokes equation prize]
* [http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard  Why global regularity for Navier–Stokes is hard] — Possible routes to resolution are scrutinized by [[Terence Tao]].
* [http://sgrajeev.com/fuzzy-fluids/  Fuzzy Fluid Mechanics]
* [http://vimeo.com/18185364/ Navier–Stokes existence and smoothness (Millennium Prize Problem)] A lecture on the problem by [[Luis Caffarelli]].

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