ナプキンリング問題のソースを表示

[[ファイル:Sphere_bands.svg|サムネイル|高さ''h''の穴が球の中心を通りまっすぐに空けられている場合、残ったバンドの体積は球の大きさによらない。大きな球のとき、バンドは薄くなるが長くなる。]]
[[ファイル:Cut_Napkin_ring_problem_Animation_created_with_openscad.gif|サムネイル|一定の高さのカットナプキンリングのアニメーション]]
'''ナプキンリング問題'''(napkin-ring problem)とは、球に穴を開けた形状を持つ[[立体]]に関する問題である。この立体には「[[曲線]]・[[曲面 (数学)|曲面]]を持ちながら、その[[径]]が分からなくても体積を求められる」という直感に反した性質がある。

名前の由来は当該形状が[[ナプキンリング]]に似ていることから。

== 説明 ==
[[円柱 (数学)|直円柱]]の軸が半径Rの球の中心を通り、hが球の内側にある円柱部分の高さ（軸に[[平行]]な方向な距離として定義される）を表すと仮定する。「バンド」は円柱の外側にある球の部分である。バンドの体積はhに依存するが、Rに依存しない。

: <math> V=\frac{\pi h^3}{6}. </math>

''球の半径R''を小さくすると、''h''を一定に保つためには円柱の直径も小さくなる必要がある。すると、バンドが太くなり体積が増える。しかし、円周も短くなり体積が減る。この2つの効果が互いに相殺しあう。極端な例で可能な限り小さい球の場合、円柱は消え（半径は0になる）、高さhは球の直径に等しくなる。この場合、バンドの体積は球の体積であり、上記の式と一致する。

この問題に関する初期の研究は[[和算|和算家]]の[[関孝和]]により行われた。{{Harvtxt|Smith|Mikami|1914}}によると、関はこの立体を「弧環」と呼んだ<ref>{{cite book|和書|title=日本数学史 A History of JAPANESE MATHEMATICS|author=David Eugene Smith & Yoshio Mikami|page=77|url=https://books.google.co.jp/books?id=k9DnSAO9Au8C&pg=PA77&lpg=PA77#v=onepage&q&f=false|accessdate=2020-02-13}}</ref>
。

== 解法 ==
球の半径を<math>R</math>とし、円柱（トンネル）の高さを<math>h</math>とする。

[[ピタゴラスの定理]]より、円柱の半径は
[[ファイル:Ring_cross-sections.svg|サムネイル|水平断面でリングを求める。]]

: <math> \sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2},\qquad\qquad(1) </math>

となる。「赤道」より上の高さ''y''での球の水平断面の半径は

: <math> \sqrt{R^2 - y^2}.\qquad\qquad(2) </math>

である。高さ''y''の平面を持つバンドの[[断面]]は、(2)で与えられる半径の大きい円の内側と(1)で与えられる半径の小さい円の外側の領域である。よって、断面積は大きい円の面積から小さい円の面積を引いたものとなる。

: <math>
\begin{align}
& {}\quad \pi(\text{larger radius})^2 - \pi(\text{smaller radius})^2 \\
& = \pi\left(\sqrt{R^2 - y^2}\right)^2 - \pi\left(\sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2\,{}}\,\right)^2 = \pi\left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 - y^2\right).
\end{align}
</math>

半径''R''は最後の結果には出てこない。よって''y'' &#x2264; {{Sfrac|''h''|2}} &#x2264; ''R''である限り高さyにおける水平断面積はRによらない。バンドの体積は

: <math> \int_{-h/2}^{h/2} (\text{area of cross-section at height }y) \, dy, </math>

であり、これも''R''によらない。

これは[[カヴァリエリの原理]]の適用したものである。実際、断面積は体積が

: <math>\frac{4}{3}\pi\left(\frac{h}{2}\right)^3 = \frac{\pi h^3}{6}.</math>

となる半径''h''/2の球の断面積と等しい。
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==

* [[:en:Visual calculus]] この種の問題を解決する直感的な方法で、元々は[[弦 (数学)|弦]]の長さのみを与えられたときの[[アニュラス]]の面積を求めるのに適用された。
* [[:en:String girdling Earth]] 球や円の半径が直感に反して無関係である他の問題

== レファレンス ==

* {{Citation|first1=Keith|last=Devlin|author-link=Keith Devlin|title=The Napkin Ring Problem|url=http://www.maa.org/devlin/devlin_04_08.html|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=2008|archiveurl=https://webcitation.org/60rIio0jC|archivedate=11 August 2011}}
* {{Citation|first1=Keith|last=Devlin|author-link=Keith Devlin|title=Lockhart's Lament|url=http://www.maa.org/devlin/devlin_05_08.html|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=2008|archiveurl=https://webcitation.org/60rJGphT5|archivedate=11 August 2011}}
* {{Citation|contribution=Hole in the Sphere|first1=Martin|last=Gardner|author-link=マーティン・ガードナー|page=8|title=My best mathematical and logic puzzles|publisher=[[Dover Publications]]|year=1994}}
* {{Citation|title=Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners|first1=Samuel I.|last=Jones|year=1912|publisher=J. B. Cushing Co.|place=Norwood, MA}} Problem 132 asks for the volume of a sphere with a cylindrical hole drilled through it, but does not note the invariance of the problem under changes of radius.
* {{Citation|first1=Mark|last=Levi|contribution=6.3 How Much Gold Is in a Wedding Ring?|title=The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=978-0-691-14020-9|pages=102–104}}. Levi argues that the volume depends only on the height of the hole based on the fact that the ring can be swept out by a half-disk with the height as its diameter.
* {{Citation|first1=L.|last=Lines|title=Solid geometry: With Chapters on Space-lattices, Sphere-packs and Crystals|publisher=Dover|year=1965}}. Reprint of 1935 edition. A problem on page 101 describes the shape formed by a sphere with a cylinder removed as a "napkin ring" and asks for a proof that the volume is the same as that of a sphere with diameter equal to the length of the hole.
* {{Citation|first1=George|last=Pólya|author-link=George Pólya|title=[[Mathematics and plausible reasoning|Mathematics and Plausible Reasoning]], Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics|publisher=Princeton University Press|year=1990|pages=191–192}}. Reprint of 1954 edition.
* {{Citation|last=Smith|first1=David E.|author-link=David Eugene Smith|last2=Mikami|first2=Yoshio|author2-link=三上義夫|title=A History of Japanese Mathematics|year=1914|publisher=Open Court Publishing Company|url=https://archive.org/details/historyofjapanes00smitiala|pages=121–123}}. Republished by Dover, 2004, {{ISBN2|0-486-43482-6}}. Smith and Mikami discuss the napkin ring problem in the context of two manuscripts of Seki on the mensuration of solids, ''Kyuseki'' and ''Kyuketsu Hengyo So''.

== 外部リンク ==
{{commonscat|Napkin ring problem}}
* {{mathworld|title=Spherical Ring|urlname=SphericalRing}}

{{DEFAULTSORT:なふきんりんくもんたい}}
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