ナポレオンの問題のソースを表示

'''ナポレオンの問題'''（ナポレオンのもんだい、英：Napoleon's problem）とは、有名な[[定規とコンパスによる作図|コンパスのみによる作図]]問題の一つである。

一つの[[円 (数学)|円]]とその中心が与えられているとき、[[コンパス]]のみを使ってその円を四つの等しい[[弧 (幾何学)|弧]]に分割する、という問題である。
[[ナポレオン・ボナパルト]]は、数学愛好家としても知られているが、ナポレオン自身がこの問題を創作したのか、あるいは単に解いたのみに過ぎないのかは不明である。

ナポレオンの友人である[[イタリア]]の[[数学者]][[ロレンツォ・マスケローニ]]は、定規とコンパスで作図可能な図形は、コンパスのみで作図可能であることを示した（[[モール-マスケローニの定理]]）。
これは、マスケローニに先立ち、モール（[[w:Georg Mohr|Georg Mohr]]）がその著作Euclides Danicus の中で[[1672年|1672 年]]で示したが、その本は [[1928年|1928 年]]に再発見された。

上に示したナポレオンの問題は、中心が未知の円が与えられたとき、コンパスのみを用いて四つの等しい弧に分割するという'''真のナポレオンの問題'''よりも簡単である。
以下では、真のナポレオンの問題の解とその略証を記す。

== 所与の円の中心の作図 ==
[[Image:Pb_napoleon.png|400px|right]]

<math>\mathcal C</math> を、中心 O が未知の与えられた円とする。
<math>\mathcal C</math> の半径 ''r'' も、未知である。

<math>\mathcal C</math> 上に、任意の点 A を取る。
目検討で <math>\mathcal C</math> の半径 ''r'' に近い長さ ''R'' を選び、A を中心とする半径 ''R'' の弧 <math>\mathcal C_1</math> を描き、<math>\mathcal C</math> との二交点を、B、B' とする。

B と B' を中心とする半径 ''R'' の二つの弧 <math>\mathcal C_2</math> を描き、A でない方の交点を C とする。
OA=OB=''r''、AB=BC=''R''、∠OAB=∠CAB だから、△OAB∽△BAC である。
よって、AC=''R''<sup>2</sup>/''r'' である。

C を中心、AC=''R''<sup>2</sup>/''r'' を半径とする弧 <math>\mathcal C_3</math> を描き、<math>\mathcal C_1</math> との交点を D、D' とする。

AD=''R'' を半径、D と D' を中心とする二つの弧 <math>\mathcal C_4</math> を描き、A でない方の交点を X とする。
DA=DX=''R''、CA=CD=''R''<sup>2</sup>/''r''、∠XAD=∠CAD だから、△DAX∽△CAD である。
AX=''R''<sup>2</sup>/(''R''<sup>2</sup>/''r'')=''r'' だから、X は <math>\mathcal C</math> の中心 O に一致する。

※　この作図のためには、弧 <math>\mathcal C_1</math> の半径 ''R'' は、大き過ぎても小さ過ぎてもいけない。
より正確には、''r''/2＜''R''＜2''r'' でなければならない。

== 中心が与えられた円を四つの等しい弧に分割する作図 ==
[[Image:Nap4.png|right|300px]]

円 <math>\mathcal {C}</math> 上の任意の点 X を中心に取り、<math>\mathcal {C}</math> の中心 O を通る弧を描き、<math>\mathcal {C}</math> との二交点を V と Y とする。
同様に、Y を中心に取り、O の中心を通る弧を描き、<math>\mathcal {C}</math> との X 以外の交点を Z とする。
OV、OX、OY、OZ、VX、XY、YZ は、すべて円 <math>\mathcal {C}</math> の半径 ''r'' に等しい。

V を中心とし Y を通る弧と、Z を中心とし X を通る弧を描き、交点を T とする。
VY、VT、XZ、ZT は、<math>\sqrt{3}r</math> に等しい。
△OVT で、∠VOT=90°、OV=''r''、VT=<math>\sqrt{3}r</math> だから、OT=<math>\sqrt{2}r</math> である。

中心 Z、半径 OT の弧と円 <math>\mathcal {C}</math> との交点を U、W とする。
四角形 UVWZ は正方形であり、弧 UV、VW、WZ、ZU の長さは <math>\mathcal {C}</math> の周の四分の一に等しい。

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