ニールセンの不動点定理のソースを表示

[[数学]]における'''ニールセンの不動点定理'''（ニールセンのふどうてんていり、{{Lang-en-short|Nielsen fixed point theorem}}）は、[[位相幾何学]]的な[[不動点定理]]に関する数学の一結果である。核となるアイデアはデンマークの[[数学者]]である{{仮リンク|ヤコブ・ニールセン (数学者)|label=ヤコブ・ニールセン|en|Jakob Nielsen (mathematician}}によって考えられたもので、定理の名も彼にちなむ。

[[コンパクト空間]]からそれ自身への[[写像]] ''f'' のいわゆる極小数 (minimal number) の研究において、ニールセンの理論は展開された。そのような極小数 ''MF''[''f''] は次で定義される：

:<math>\mathit{MF}[f] = \min \{ \# \operatorname{Fix}(g) \mid g \sim f \},</math>

ここで ''~'' は写像が[[ホモトピー|ホモトピック]]であることを意味し、#Fix(''g'') は ''g'' の不動点の数を表す。ニールセンの時代において極小数を計算することは非常に困難であったが、それは今日でも変わらない。ニールセンの手法は、不動点の集合を、ホモトピーによって除去可能かどうかで「本質的」か「本質的ではない」かの二種類に分類するものであった。

ニールセンの元々の理論では、次の様な概念が導入された：空間 ''X'' 上の自己写像 ''f'' の不動点の集合について[[同値関係]]を定義する。''x'' が ''y'' と同値であるとは、''x'' から ''y'' への[[道 (位相幾何学)|道]] ''c'' で、''f''(''c'') が ''c'' と道としてホモトピックであるようなものが存在することを言う。この関係についての同値類は ''f'' の'''ニールセン類'''（Nielsen class）と呼ばれ、{{仮リンク|不動点指数|en|fixed point index}}の和がゼロでないニールセン類の数を'''ニールセン数''' ''N''(''f'') とする。 

ニールセンは次の不等式を証明した。

:<math>N(f) \le \mathit{MF}[f].</math>

このことより、計算の難しい ''MF''[''f''] を評価することが可能となった。これより、現在'''ニールセンの不動点定理'''として知られる次の定理が直ちに従う：任意の写像は少なくとも ''N''(''f'') 個の不動点を持つ。

{{仮リンク|不動点指数|en|fixed point index}}に関する定義より、ニールセン数は[[レフシェッツ不動点定理|レフシェッツ数]]と密接に関連している。実際、ニールセンの仕事のすぐ後、これら二つの[[不変量]]はウェッケンと{{仮リンク|クルト・ライデマイスター|label=ライデマイスター|en|Kurt Reidemeister}}によって「一般化レフシェッツ数」として一つにまとめられた。これは、より最近ではライデマイスター跡 (Reidemeister trace) とも呼ばれる。

== 参考文献 ==
*{{cite book
 | last=[[:en:Werner Fenchel|Fenchel]]
 | first=[[:en:Werner Fenchel|Werner]]
 | coauthors=[[:en:Jakob Nielsen (mathematician)|Nielsen, Jakob]]; edited by Asmus L. Schmidt
 | title=Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane
 | series=De Gruyter Studies in mathematics
 | volume=29
 | publisher=Walter de Gruyter & Co.
 | location=Berlin
 | year=2003
}}

== 外部リンク ==
*[http://at.yorku.ca/t/a/i/c/39.htm Survey article on Nielsen theory] by Robert F. Brown at Topology Atlas

{{DEFAULTSORT:にいるせんのふとうてんていり}}
[[Category:不動点定理]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]